3.6.1 - Experimentos

Experimento 1: Variação no Copo

Aqui, estamos interessados em avaliar se a variação na medição do copo é significativa. Este experimento segue o seguinte procedimento:

Amostrar um copo e medir três vezes no mesmo ponto;

Repetir o procedimento em 10 copos.

Para obtermos a estimativa da variabilidade dentro do copo, vamos utilizar a técnica de ANOVA 1 fator (Copo) - efeito aleatório.

Experimento 2: Variação devido ao deslocamento da medição

Aqui, estamos interessados em avaliar se o deslocamento da medição no mesmo copo (radial e axial) é significativo. Este experimento segue o seguinte procedimento:

Amostrar um copo e medir três vezes em cada ponto, deslocando no sentido altura, radial e axial;
Repetir o procedimento em três copos.

Para obtermos a estimativa da variabilidade devido ao deslocamento, vamos utilizar as técnicas de componentes de variância e Anova 2 fatores (Copo e Deslocamento) - efeito aleatório.

Experimento 3: Variação devido ao ângulo de medição

Aqui, estamos interessados em avaliar se o ângulo formado entre a boca do copo e a base de medição é significativo. Este experimento segue o seguinte procedimento:

Amostrar um copo e medir três vezes em cada ponto variando o número de lâminas posicionadas no fundo do copo na medição de um ponto para o outro;
Repetir o procedimento em três copos.

Para obtermos a estimativa da variabilidade devido ao ângulo, vamos utilizar as técnicas de componentes de variância e ANOVA 2 fatores (Copo e Deslocamento) - efeito aleatório.

Experimento 4: Variação devido a temperatura ambiente

Aqui, estamos interessados em avaliar se a temperatura ambiente influencia no resultado das mediçãos. Este experimento segue o seguinte procedimento:

Amostrar um copo e medir três vezes em cada ponto e anotar a temperatura ambiente;

Repetir o procedimento em três copos.

Para obtermos a estimativa da variabilidade devido a temperatura, vamos utilizar a técnica de regressão linear simples.

Estimação das Fontes de Incerteza Obtidas nos Experimentos para copos tipo PS

Variabilidade do copo $u_c(\epsilon_2)$

Aqui, vamos utilizar a técnica de anova com 1 fator para estimar a variabilidade no mesmo copo.

A Tabela 3.6.1.1 apresenta as medições realizadas no copo PS.

Copo	Copo PS			Média
1	1,017	0,906	0,891	0,938
2	1,118	0,921	0,922	0,987
3	1,058	1,008	0,981	1,016
4	1,099	1,034	1,032	1,055
5	1,127	0,971	0,962	1,02
6	1,053	0,914	0,881	0,949
7	1,156	1,036	1,025	1,072
8	0,999	0,889	0,872	0,92
9	1,142	1,03	1,02	1,064
10	1,151	1,053	1,005	1,07
Média Geral				1,009

Tabela 3.6.1.1: Medições de Resistência no Copo PS.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

O modelo estatístico para este experimento é:

$Y_{ij}=\alpha+\beta_i+\varepsilon_{ij}~~~~~~~~\left\{\begin{array}{cc}i=1,\cdots,c ~~~\mbox{copo}\\j = 1, \cdots, n ~~~\mbox{Réplica}\end{array} \right.$

onde:

$Y_{ij}$ representa a j-ésima medição no i-ésimo copo;
$\alpha$ é a média das medições;
$\beta_i$ é o efeito do copo;
$\varepsilon_{ij}$ é o erro de replicação.

Para calcularmos a $SQ_T$ , vamos calcular primeiramente a variância amostral de todos os dados, ou seja,

$S^2_g=\frac{(1,017 - 1,009)^2~+~(0,906 -1,009)^2~+~\cdots~+~(1,053 - 1,009)^2~+~(1,005 - 1,009)^2}{30~-~1}$

$=0,007$

Com isso, temos que

$SQ_T = (c * n - 1)~S^2_g$

$= (10 * 3 - 1)~0,007$

$= 0,20538$

Para calcularmos a soma de quadrados devido ao copo ( $SQ_C$ ), vamos calcular primeiramente a variância amostral da coluna média, ou seja,

$S^2_c=\frac{(0,938 - 1,009)^2~+~(0,987-1,009)^2~+~\cdots~+~(1,064 - 1,009)^2~+~(1,070 - 1,009)^2}{10~-~1}$

$=0,003$

Com isso, temos que

$SQ_C =n~(c - 1)~S^2_c$

$=3~(10 - 1)~0,003$

$=0,09001$

Logo, temos que

$SQ_E =SQ_T - SQ_C$

$=0,20538 - 0,09001$

$=0,11537$

Os graus de liberdade são:

Com isso, o quadrado médio é:

$QM_C =\frac{SQ_C}{c - 1}$

$=\frac{0,09001}{9}$

$=0,010$

$QM_E=\frac{SQ_E}{c (n - 1)}$

$=\frac{0,115371}{20}$

$=0,005769$

A Figura 3.6.1.1 apresenta o resumo da análise de variância.

Figura 3.6.1.1: Análise de Variância (ANOVA).

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

manual do usuário

video demons

Aqui, temos que p-valor é dado por:

$P(F_{9;~20}\textgreater~1,73)=0,1463$

Portanto, temos que a estimativa da variabilidade dentro do copo é:

$u_c(\epsilon_2)=\sqrt{\frac{QM_{copo}-QM_{Erro}}{r}}$

$=\sqrt{\frac{0,01 - 0,005769}{3}}$

$=0,037562409$

Fonte de variação devido ao deslocamento da medição $u_c(\epsilon_3)$

Nesta aplicação usaremos novamente uma anova, porém, uma ANOVA two-way, ou seja, dois fatores.

A Tabela 3.6.1.2 apresenta as medições realizadas no copo PS, a coluna Ponto representa o ponto de medição.

Copo de PS
Copo	Ponto	Resistência em 10 mm (N)
1	1	1,079
	2	1,024
	3	1,062
	4	1,005
	5	1,035
2	1	1,066
	2	0,888
	3	0,962
	4	1,005
	5	1,045
3	1	1,119
	2	0,984
	3	1,107
	4	1,069
	5	1,042
4	1	1,126
	2	1,022
	3	1,149
	4	1,09
	5	1,073
5	1	1,182
	2	1,078
	3	1,025
	4	1,168
	5	1,013
Média		1,057

Tabela 3.6.1.2: Tabela de Dados com relação ao Deslocamento do Ponto de Medição.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

O modelo estatístico para este experimento é:

$Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \varepsilon_{ijk}~~~~~~~~\left\{\begin{array}{cc}i = 1, \cdots, p ~~~\mbox{Copo}~~~~~~~~~~\\~j = 1, \cdots, o ~~~\mbox{Deslocamento}\\k = 1, \cdots, r ~~~\mbox{R{\'e}plicas}~~~~~~\end{array} \right.$

onde:

$Y_{ijk}$ representa a k-ésima medição no j-ésimo Fator 2 no i-ésima copo;

$\mu$ é a média das medições;

$\alpha_i$ é o efeito do copo;

$\beta_j$ é o efeito do Fator Deslocamento;

$\varepsilon_{ijk}$ é o erro de replicação.

Para calcularmos as somas de quadrados, precisamos primeiramente calcular as seguintes variâncias amostrais :

$S^2_=\frac{1}{p~o~r~-~1}\sum^{p~o~r}_{l=1}(y_{l}~-~\bar{y})^2=0,00435$

$S^2_p=\frac{1}{p~-~1}\sum^{p}_{l=1}(y_{l}~-~\bar{y}_p)^2=0,00173$

$S^2_o=\frac{1}{o~-~1}\sum^{o}_{l=1}(y_{l}~-~\bar{y}_o)^2=0,00175$

onde sabemos que

$\left\{\begin{array}{cr}p = 1, \cdots, 5~~~\mbox{Copo}\\o = 1, \cdots, 5 \mbox{Deslocamento}\\r = 1~~~\mbox{Réplica}\\\end{array} \right.$

$SQ_{Total}=(p~o~r - 1)~S^2_g = (24)~S^2_g = 0,104484$

$SQ_{Copo}=o~r~(p - 1)~S^2_p = 5~(4)~S^2_p=0,034567$

$SQ_{Deslc}=p~r~(o - 1)~S^2_o = 5~(4)~S^2_o=0,034983$

$SQ_{Erro}=SQ_T - SQ_D - SQ_C=0,034934$

Os graus de liberdade são:

Efeito	Graus de Liberdade
Copo	$p-1=4$
Deslocamento	$o-1=4$
Erro	$por-p-o-1=16$
Total	$por-1=24$

Com isso, o quadrado médio é:

$QM_{Copo}=\frac{SQ_{Copo}}{p - 1}=\frac{0,034567}{4}$

$=0,008642$

$QM_{Deslc}=\frac{SQ_{Deslc}}{o - 1}=\frac{0,034983}{4}$

$=0,008746$

$QM_{Erro}=\frac{SQ_{Erro}}{p~o~r~-~p~-~o~+~1}=\frac{0,034934}{16}$

$=0,002183$

A tabela abaixo apresenta o resumo da análise de variância.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

manual do usuário

video demons

Aqui, temos que p-valor é dado por:

$Copo~~P(F_{4;~16}~\texgreater 3,95)= 0,02029$

$Deslocamento~~P(F_{4;~16}\textgreater 4,00)=0,01943$

Desta forma, como o deslocamento não é significativo para o modelo, temos que a estimativa de incerteza associada ao deslocamento é dada como zero.

Portanto, a incerteza associada ao deslocamento é dada por:

$u_c(\epsilon_3) = 0,00$

Fonte de variação devido ao ângulo de medição $u_c(\epsilon_4)$

Aqui, também usaremos a técnica de anova dois fatores. A Tabela 3.6.1.3 apresenta as medições realizadas no copo PS.

Copo de PS
Copo	Nº Placas	Resistência em 10 mm (N)
1	-1	0,973
	0	0,988
	1	1,01
2	-1	1,085
	0	0,976
	1	1,091
3	-1	0,969
	0	0,913
	1	1,091
4	-1	0,91
	0	0,892
	1	1,028
5	-1	1,193
	0	1,276
	1	1,33
Média		1,048

Tabela 3.6.1.3: Tabela de dados com relação ao ângulo do ponto de medição.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

O modelo estatístico para este experimento é:

$Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j  + \varepsilon_{ijk}~~~~~~~~\left\{\begin{array}{cc}i =1, \cdots, p ~~~\mbox{Copo}~~~~~~~~~~~~~~\\j=1,\cdots,o~~~\mbox{Placas(Ângulo)}\\k=1,\cdots,r ~~~\mbox{Réplicas}~~~~~~~~~~\end{array}\right.$

onde:

$Y_{ijk}$ representa a k-ésima medição no j-ésimo Fator 2 no i-ésimo copo;
$\mu$ é a média das medições;
$\alpha_i$ é o efeito do copo;
$\beta_j$ é o efeito do fator placas (ângulo);
$\varepsilon_{ijk}$ é o erro de replicação.

Para calcularmos as somas de quadrados, precisamos primeiramente calcular as seguintes variâncias amostrais:

$S^2_g=\frac{1}{p~o~r~-~1}\sum^{p~o~r}_{l=1}(y_{l}~-~\bar{y})^2 = 0,017264214$

$S^2_p=\frac{1}{p~-~1}\sum^{p}_{l=1}(y_{l}~-~\bar{y}_p)^2 = 0,01630$

$S^2_o=\frac{1}{o~-~1}\sum^{o}_{l=1}(y_{l}~-~\bar{y}_o)^2 = 0,0029243$

onde sabemos que

$\left\{\begin{array}{cr}p=1,\cdots,5~~\mbox{Copo}\\o=1,\cdots, 3~~\mbox{Placas}\\r=1~~\mbox{Réplica}\\\end{array} \right.$

$SQ_{Total}=(p~o~r - 1)~S^2_g = (14)~S^2_g = 0,241697$

$SQ_{Copo}=o~r~(p - 1)~S^2_p = 3~(4)~S^2_p = 0,1956$

$SQ_{Placas}=p~r~(o - 1)~S^2_o = 5~(2)~S^2_o = 0,029243$

$SQ_{Erro}=SQ_T - SQ_P - SQ_O = SQ_T - SQ_P - SQ_O = 0,016837$

Os graus de liberdade são:

Efeito	Graus de Liberdade
Copo	$p-1=4$
Placas	$o-1=2$
Erro	$por-p-o-1=8$
Total	$por-1=14$

Com isso, o quadrado médio é:

$QM_{Copo}=\frac{SQ_{Copo}}{p - 1}$

$=\frac{0,1956}{4}$

$= 0,0489$

$QM_{Placa}=\frac{SQ_{Deslc}}{o - 1}$

$=\frac{0,029243}{2}$

$=0,0146$

$QM_{Erro}=\frac{SQ_{Erro}}{p~o~r~-~p~-~o~+~1}$

$=\frac{0,016837}{8}$

$=0,002105$

A tabela abaixo apresenta o resumo da analise de variância.

Figura 3.6.1.4: Tabela de Análise de Variância

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

manual do usuário

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Aqui, temos que p-valor é dado por:

$Copo ~~P(F_{4;~9}\textgreater 12,76600)= 0,00094$

$Placas ~~ P(F_{1;~9}\textgreater 3,02895)=0,11578$

Aqui, verificamos que o fator placas, ou seja, o ângulo de medição não é significativo.

Portanto, a estimativa da incerteza devido ao ângulo é:

$u_c(\epsilon_4) = 0,000$

Fonte de variação devido à temperatura ambiente $u_c(\epsilon_5)$

Aqui, usaremos a técnica de regressão linear para determinar as fontes de incerteza para o experimento. A Tabela 3.6.1.4 apresenta as medições de resistência, levando-se em consideração o valor da temperatura ambiente.

Copo Tipo PS
Copo	Compressão	Temperatura
1	1,065	25,9
1	1,057	23,1
1	1,021	22,2
2	1,078	26
2	1,069	23
2	1,071	22,3
3	1,163	26,1
3	1,182	22,8
3	1,23	22,3
Média	1,104	23,7

Tabela 3.6.1.4: Tabela de dados com relação a Temperatura Ambiente.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Primeiramente, determinamos as médias das variáveis resistência ( $Y$ ) e temperatura ( $X$ ). Facilmente, obtemos $\overline{x}=23,744$ e $\overline{y} = 1,104$ . Assim, podemos encontrar as somas de quadrados empíricas.

$S_{xx}=\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2= 23,7022$

$S_{yy}=\sum^n_{i=1}(y_i-\overline{y})^2= 0,03905$

$S_{xy}=\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\bar{y})=-0,0272$

a seguir, utilizamos as somas de quadrados empíricas para encontrarmos as estimativas dos parâmetros da reta de regressão.

$\hat{\beta_1}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{-0,0272}{23,7022}=-0,00114757$

$\hat{\beta}_0=\overline{y} - \hat{\beta}_1\overline{x} = 1,104-0,0011475 \times 23,744 = 1,1312484$

O modelo ajustado é dado por:

$\hat{Y}~=~1,1312484~ -~ 0,00114757~X$

A Figura 3.6.1.5 apresenta a relação entre as variáveis, bem como, a reta ajustada.

Figura 3.6.1.5: Gráfico do modelo ajustado.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

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A estimativa da variabilidade associada à regressão é dada por:

$QM_E=\frac{SQ_E}{n-2}$

Temos que $SQ_E$ é a soma de quadrados devido ao erro aleatório, e é calculada por:

$SQ_E=\sum^n_{i=1}(y_i-\bar{y})^2 - \hat{\beta_1}S_{xy}$

$=\sum^n_{i=1} (y_i - 1,104)^2-(-0,0282)(-0,0011475)=0,039018786$

Com isso, temos que

$QM_E=\frac{SQ_E}{n-2}=\frac{0,039018786}{7}=0,00557411$

A Tabela 3.6.1.7 apresenta os valores dos coeficientes para o modelo apresentado, como também a análise da significância dos coeficientes.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Figura 3.6.1.7: Tabela dos Coeficientes.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

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Aqui, temos que p-valor é dado por:

$Temperatura~~~P(T_{7}\textgreater-0,075)=0,9424$

Podemos verificar na Figura 3.6.1.7 que o p-valor do coeficiente da temperatura apresenta valor acima de 5%. Logo, podemos concluir que a temperatura não é significativa.

3.6.1 - Experimentos

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