4.1.2 - Distribuição de Weibull

A distribuição de Weibull foi proposta originalmente por W. Weibull em 1954 em estudos relacionados ao tempo de falha devido a fadiga de metais. Ela é frequentemente usada para descrever o tempo de vida de produtos industriais. A sua popularidade em aplicações práticas deve-se ao fato dela apresentar uma grande variedade de formas, todas com uma propriedade básica: a sua função de taxa de falha é monótona, isto é, ela é estritamente crescente, estritamente decrescente ou constante. Ela descreve adequadamente a vida de mancais, componentes eletrônicos, cerâmicas, capacitores e dielétricos. Sua função densidade de probabilidade é dada por


$$f(t) = \dfrac{\delta}{\alpha^\delta}~t^{\delta-1}\exp\left[-\left(\dfrac{t}{\alpha}\right)^{\delta}\right]~~~~t~\textgreater~0,~~~~~~~~~~~~~~~(4.1.2.1)$$

sendo $ \delta~\textgreater~0 $ e $ \alpha~\textgreater~0 $ os parâmetros de forma e de escala, respectivamente.

Observe que se tomarmos o parâmetro de forma $ \delta = 1 $ na equação (4.1.2.1), obtemos a densidade de probabilidade da Exponencial com parâmetro $ \alpha $, isto é, a distribuição de Weibull é uma generalização da distribuição Exponencial.

Figura 4.1.2.1: Funções densidade de probabilidade da distribuição de Weibull com $ \alpha = 1. $

 

A função de confiabilidade da distribuição de Weibull é dada por


$$R(t) = \exp\left\{-\left(\dfrac{t}{\alpha}\right)^{\delta}\right\}~~~~t~\textgreater~0~~~~~~~~~~~~~~~(4.1.2.2)$$

Figura 4.1.2.2: Funções de confiabilidade para a distribuição de Weibull com $ \alpha=1. $

 

A função de risco é dada por


$$h(t) = \dfrac{\delta}{\alpha}\left(\dfrac{t}{\alpha}\right)^{\delta-1},~~~~~t~\textgreater~0.$$

A Figura 4.1.2.3 mostra algumas formas da função de risco para a distribuição de Weibull. Observe que h(t) é estritamente crescente para $ \delta~\textgreater~1 $ e estritamente decrescente para $ \delta~\textless~1 $. Como a distribuição exponencial é um caso particular da distribuição de Weibull quando $ \delta = 1 $, a taxa de falha fica constante neste caso.

Figura 4.1.2.3: Taxa de falha da distribuição de Weibull com $ \alpha=1. $

 

O tempo médio de vida (MTTF) e a variância da distribuição de Weibull são obtidos pelas equações


$$\mbox{MTTF}=\alpha~\Gamma\left[1 + \dfrac{1}{\delta}\right]~~~~~~~~~~~~~~~(4.1.2.3)$$


$$Var(T)=\alpha^2~\left\{\Gamma\left[1+\dfrac{2}{\delta}\right]-\Gamma^2\left[1+\dfrac{1}{\delta}\right]\right\},$$

sendo $ \Gamma(\cdot) $ denominada função Gamma e definida como


$$\Gamma(x) = \int_0^{\infty} u^{x-1}~e^{-u}du,~~~~~~~x \geq 0$$

Quando x é um número natural positivo, temos que


$$\Gamma(x) = (x - 1)!$$

O quantil 100×p% é obtido a partir da equação (4.1.2.2) como


$$t_p = \alpha\left[-\log(1-p)\right]^{1/\delta}~~~~~~~~~~~~~~~(4.1.2.4).$$

Exemplo 4.1.2.1:

Suponha que o tempo de vida de um capacitor obedeça a uma distribuição de Weibull com parâmetros $ \alpha = 100.000 $ e $ \delta = 0,5 $.

A confiabilidade para um ano, t = 8.760, é obtida a partir da equação (4.1.2.2) como


$$R(t)=\exp\left[-\left(\dfrac{8.760}{100.000}\right)^{0,5}\right] = \exp\left[-0,2960\right] = 0,7438,$$

isto é, a probabilidade do capacitor operar por mais de um ano é de 74%.

O tempo médio de vida (MTTF) deste capacitor é obtido a partir da equação (4.1.2.3) como


$$\mbox{MTTF}=100.000 \ast \Gamma\left(1+\dfrac{1}{0,5}\right)=100.000 \ast \Gamma(3) = 200.000,$$

isto é, em média esse capacitor dura 200.000 horas.

Da equação (4.1.2.4) obtemos o quantil 10% como


$$t_{0,10}=100.000 \asp \left[-\log(0,9)\right]^{1/0,5}=100.000 \ast \left[0,1054\right]^{2} = 1.110,92,$$

isto é, espera-se que 10% das unidades falhem antes de atingir 1.111 horas de uso.

Para uma visão geral das características da distribuição Weibull em confiabilidade você pode utilizar também o Software Action, mais especificamente a ferramenta Overview para confiabilidade.

 

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