1.2 - Distribuição exata da estatística de Wilcoxon

Para encontrar a distribuição exata de T⁺ sob H₀, considere B o número de Z_i's positivos (Z_i = X_i - θ₀) e sejam r₁ < ... < r_B os ranks (posições) ordenadas dos valores absolutos destes Z_i's positivos. Podemos obter a distribuição diretamente da representação $T^+=\sum_{i=1}^Br_i$ . Sob a hipótese de que as distribuições de cada Z_i são todas contínuas, a probabilidade de que os valores absolutos de Z_i's sejam iguais ou que algum Z_i seja 0 é zero. Além disso, sob H₀ as distribuições de todos os Z_i's são simétricas em torno de θ = θ₀. Portanto, se temos uma amostra de n elementos, temos 2ⁿ possibilidades para a configuração (r₁, r₂, ..., r_B) e cada uma delas ocorre com probabilidade (1/2)ⁿ. Neste caso, temos que

$P(T^+=t)=\frac{u(t)}{2^n}$

onde u(t) é o número de maneiras de atribuir valores para as configurações (r₁, r₂, ..., r_B) de forma que

$\sum_{i=1}^Br_i=t.$

Exemplo 1.2.1: Considere o caso em que temos uma amostra de n = 3 elementos.

Neste caso, temos 2³ = 8 possíveis configurações para (r₁, r₂, ..., r_B) e os valores associados de T⁺ são dados na seguinte tabela.

B	(r₁, r₂, ..., r_B)	Probability under H₀	$T^+=\sum_{i=1}^Br_i$
0		1/8	0
1	r₁ = 1	1/8	1
1	r₁ = 2	1/8	2
1	r₁ = 3	1/8	3
2	r₁ = 1, r₂ = 2	1/8	3
2	r₁ = 1, r₂ = 3	1/8	4
2	r₁ = 2, r₂ = 3	1/8	5
3	r₁ = 1, r₂ = 2_,r₃ = 3	1/8	6

Assim, para este exemplo, a probabilidade de T⁺ ser igual a 3 (P[T⁺ = 3]) é igual a 2/8 já que o evento T⁺ = 3 ocorre quando B = 1 (r₁ = 3) ou quando B = 2 (r₁ = 1, r₂ = 2) e cada uma dessas ocorrências ocorre com probabilidade 1/8.

T⁺	Probabilidade sob H₀
0	1/8
1	1/8
2	1/8
3	2/8
4	1/8
5	1/8
6	1/8

Em um teste de Wilcoxon em que o tamanho amostral n é pequeno (geralmente n < 50) utilizamos a distribuição exata da estatística T⁺ e, a partir desta distribuição, calculamos os valores críticos do teste, o p-valor e o intervalo de confiança.

1. Cálculo dos valores críticos.

Se estamos realizando um teste bilateral, então devemos encontrar os valores críticos t₁ e t₂ tais que

$P[T^+ \ \textless \ t_1] = P[T^+ \ \textgreater \ t_2]\approx \frac{\alpha}{2}.$

Se o teste é unilateral à direita, então devemos encontrar o valor crítico t tal que

$P[T^+ \ \textgreater \ t] \approx \alpha$

e se o teste é unilateral à esquerda, então devemos encontrar o valor crítico t tal que

$P[T^+ \ \textless \ t] \approx \alpha.$

2. Critério.

Se o teste é bilateral e T⁺_obs < t₁ ou T⁺_obs > t₂ então rejeitamos H₀, caso contrário não rejeitamos H₀. Ou seja, se t₁ ≤ T⁺_obs ≤ t₂, não rejeitamos a hipótese nula H₀.

No caso do teste unilateral à direita, se T⁺ > t, rejeitamos a hipótese H₀, caso contrário não rejeitamos H₀. Isto é, se T⁺ ≤ t não rejeitamos a hipótese nula H₀.

Se o teste é unilateral à esquerda e T⁺ < t, rejeitamos a hipótese H₀, caso contrário não rejeitamos H₀. Isto é, se T⁺ ≥ t não rejeitamos a hipótese nula H₀.

3. Cálculo do p-valor.

Se o teste é bilateral, o p-valor do teste exato é dado por

$P-valor = \left\{\begin{array}{l}2P(T^+ \ \textgreater \ T^+_{obs}-1) \ \hbox{se} \ T^+_{obs} \ \textgreater \ \dfrac{n(n+1)}{4}\\ 2P(T^+\leq T^+_{obs}) \ \hbox{se} \ T^+_{obs} \leq \dfrac{n(n+1)}{4}\end{array}\right.$

Se o teste é unilateral à direita, o p-valor do teste exato é dado por

$P-valor=P(T^+ \ \textgreater \ T^+_{obs}-1)$

e se o teste é unilateral à esquerda, o p-valor do teste exato é dado por

$P-valor=P(T^+ \leq \ T^+_{obs}).$

4. Intervalo de Confiança para o parâmetro de posição.

De forma análoga à estimativa do parâmetro de posição, consideramos as médias (X_i+X_j)/2 entre as observações X_i e X_j tal que i ≤ j. Neste caso, se temos n observações da população, segue que temos M = n(n+1)/2 médias desse tipo.

Sejam W⁽¹⁾, W⁽²⁾, ..., W^(M) os valores ordenados desta médias.

Se o teste é bilateral e o nível de significância é α encontramos os valores L e U tais que

$P(T^+ \leq L)\approx \frac{\alpha}{2} \qquad U = \frac{n(n+1)}{2}-L$

e o intervalo de confiança 100(1-α)% para o parâmetro de posição θ é então dado por

$IC_{1-\alpha}(\theta)=(W^{(L)},W^{(U+1)}).$

Se o teste é unilateral à direita, encontramos o valor L tal que

$P(T^+ \leq L)\approx \alpha$

e o intervalo de confiança 100(1-α)% para o parâmetro de posição θ é então dado por

$IC_{1-\alpha}(\theta)=(W^{(L)},\infty).$

Se o teste é unilateral à esquerda, encontramos os valores L e U tais que

$P(T^+ \leq L)\approx \alpha \qquad U = \frac{n(n+1)}{2}-L$

e o intervalo de confiança 100(1-α)% para o parâmetro de posição θ é então dado por

$IC_{1-\alpha}(\theta)=(-\infty,W^{(U+1)}).$

Exemplo 1.2.2: Considere a seguinte amostra

126	142	156	228	245	246
370	419	433	454	478	503

Vamos testar, com um nível de significância α = 0,05, se os dados estão distribuídos simetricamente em torno de θ₀ = 220.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

1. Estabelecemos as hipóteses

$\left\{\begin{array}{l}H_0: \theta=220\\H_1: \theta\neq 220\end{array}\right.$

já que queremos testar se os dados estão ou não distribuídos simetricamente em torno θ₀ = 220.

Como já vimos no Exemplo 1.1, o valor da estatística T⁺ é dado por T⁺ = 63.

2. Cálculo dos valores críticos.

Como estamos realizando um teste bilateral, devemos encontrar os valores t₁ e t₂ tais que

$P(T^+ \ \textless \ t_1) = P(T^+ \ \textgreater \ t_2)\approx \frac{\alpha}{2}.$

Neste caso, temos que os valores t₁ e t₂ são dados por t₁ = 14 e t₂ = 64. Como t₁ = 14 < T⁺_obs = 63 < t₂ = 64, então não rejeitamos a hipótese nula de que os dados estão distribuídos simetricamente em torno de θ₀ = 220.

3. Cálculo do p-valor.

Como o teste é bilateral, o p-valor do teste exato é dado por

Temos que n(n+1)/4 = 52 e como T⁺_obs = 63 > 52, segue que

$P-valor = 2P(T^+ \ \textgreater \ T^+_{obs}-1) = 2P(T^+ \ \textgreater \ 62) = 0,06396484.$

4. Intervalo de confiança.

Para se calcular o intervalo de confiança, consideramos os valores ordenados das médias (X_i+X_j)/2 com i ≤ j. Estes valores estão calculados na tabela abaixo:

Médias ordenadas (X_i+X_j)/2
126	134	141	142	149	156
177	185	185,5	186	192	193,5
194	200,5	201	228	236,5	237
245	245,5	246	248	256	263
272,5	279,5	280,5	287,5	287,5	290
294,5	298	299	302	305	307,5
308	310	314,5	317	322,5	323,5
329,5	330,5	332	332,5	339	339,5
341	349,5	350	353	361,5	362
365,5	370	374	374,5	394,5	401,5
412	419	424	426	433	436,5
436,5	443,5	448,5	454	455,5	461
466	468	478	478,5	490,5	503