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3.3 Teste de Bonferroni

O segundo método de comparação múltipla proposto por Fisher e usualmente chamado de teste ou procedimento de Bonferroni, consiste na realização de um teste $ t $ para cada par de médias a uma  taxa de erro por comparação (TPC)  de $ \alpha/\binom{k}{2} $. Usando esse teste, o nível de significância da família é no máximo $ \alpha $, para qualquer configuração (formação) das médias da população. Dessa forma, temos que o teste de Bonferroni protege a taxa de erro da família dos testes. Isso ilustra a taxa de erro conhecida como taxa de erro por família, que como vimos representa o valor esperado de erros na família.

O teste de Bonferroni pode ser usado para quaisquer que sejam os dados balanceados ou não balanceados. Não é um teste exato, sendo baseado em uma aproximação conhecida como primeira desigualdade de Bonferroni. Em algumas situações, o teste de Bonferroni se mostra bastante "conservativo" (fraco), isto é, a taxa de erro da família de testes (FWER) é muito menor do que o nível de significância $ \alpha $ estabelecido. Para  a família de todas as comparações duas a duas, irá produzir intervalos de confiança maiores que o teste de Tukey ou Tukey-Kramer.

Para tamanhos de amostras iguais (dados balanceados), o teste de Bonferroni considera duas médias significativamente diferentes se o valor absoluto de suas diferenças amostrais ultrapassar

$$LSD=t_{(\alpha^{,},N-k)}\sqrt{2\frac{QME}{n}},$$

e para tamanhos de amostras diferentes (dados não balanceados)

$$LSD=t_{(\alpha^{,},N-k)}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{j}}\right)}$$

em que $ \alpha^{,}=\frac{1}{2}(\alpha/c) $ e  $ c $ é o número de comparações duas a duas (ou também podemos dizer que é o número de intervalos em estudo). O quantil $ t_{(\alpha^{,},N-k)} $ é da distribuição de probabilidade $ t $-Student com parâmetro $ N-k $ (ver Tabela do Teste de Bonferroni no apêndice). Temos assim que a margem de erro da equação anterior depende do número de comparações.

Dado uma família de taxa de erros (FWER) de $ \alpha $, o intervalo de confiança para $ \mu_i-\mu_j $ é calculado usando a  seguinte expressão

$$\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}-t_{(\alpha^{,},N-k)}\sqrt{QME\left(\dfrac{1}{n_{i}}+\dfrac{1}{n_{j}}\right)}\leq\mu_{i}-\mu_{j}\\\leq\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}+t_{(\alpha^{,},N-k)}\sqrt{QME\left(\dfrac{1}{n_{i}}+ \dfrac{1}{n_{j}}\right)},$$

 Exemplo 3.3.1:

Voltando ao Exemplo 1 (resistência da fibra sintética), vamos calcular o valor de LSD para o Teste de Bonferroni e verificar quais níveis são iguais.

Fator Resistência_da_Fibra
15 7
15 7
15 15
15 11
15 9
20 12
20 17
20 12
20 18
20 18
25 14
25 18
25 18
25 19
25 19
30 19
30 25
30 22
30 19
30 23
35 7
35 10
35 11
35 15
35 11

Como os dados são balanceados, temos que

$$LSD=t_{(\alpha^{,},N-k)}\sqrt{2\frac{QME}{n}}$$

$$LSD= t_{(\frac{1}{2}(\alpha/\binom{5}{2}),25-5)}\sqrt{2\frac{8,06}{5}}$$

$$LSD= t_{(\frac{1}{2}(0,05/10),20)}\sqrt{2\frac{8,06}{5}}$$

$$LSD= 3,153\sqrt{3,224}$$

$$LSD= 5,662$$

Rejeitamos a igualdade entre os níveis se

$ \mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid\textgreater 5,662 $

$ \mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid $ $ \mbox{Resultado} $ $ \mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid $ $ \mbox{Resultado} $
$ \mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{20}\mid $ $ 5,6 $ $ \mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{30}\mid $ $ 6,2 $
$ \mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{25}\mid $ $ 7,8 $ $ \mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{35}\mid $ $ 4,6 $
$ \mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{30}\mid $ $ 11,8 $ $ \mid\overline{y}_{25}-\overline{y}_{30}\mid $ $ 4,0 $
$ \mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{35}\mid $ $ 1,0 $ $ \mid\overline{y}_{25}-\overline{y}_{35}\mid $ $ 6,8 $
$ \mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{25}\mid $ $ 2,2 $ $ \mid\overline{y}_{30}-\overline{y}_{35}\mid $ $ 10,8 $

Conclusão: Ao considerarmos um nível de significância de $ 5\% $, não rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias dos níveis: (15,35); (20,25); (20,35) e (25,30).

 

Exemplo 3.3.2:  

 Voltando ao Exemplo 3.2.1 (modelos de pacotes e volumes de vendas), vamos calcular o valor de LSD e verificar quais tratamentos são iguais.

Fator Vendas
1 11
1 17
1 16
1 14
1 15
2 12
2 10
2 15
2 19
2 11
3 23
3 20
3 18
3 17
4 27
4 33
4 22
4 26
4 28

Como os dados não são balanceados, temos que

$$LSD=t_{(\alpha^{,},N-k})\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{j}}\right)},$$

em que $ \alpha^{,}=\frac{1}{2}(\alpha/c) $, $ c=\binom{4}{2} $ e $ \alpha=0,05 $.

Observemos que n1= n2= n4 . Dessa maneira, teremos aqui dois valores distintos para LSD, o valor para comparar o nível 3 com os demais e o valor que compara os níveis com mesmo tamanho  de amostras  (1, 2 e 4). Calculemos aqui para ilustrar, o valor da LSD para as diferenças entre as médias $ \mu_1 $  e $ \mu_2 $ e  para $ \mu_1 $ e $ \mu_3 $.

$$LSD=t_{(\alpha^{,},N-k})\sqrt{2\frac{QME}{n}}=t_{(\frac{1}{2}(\alpha/c),19-4})\sqrt{2 \frac{10,55}{5}}=3,036\sqrt{2\frac{10,55}{5}}=6,236.$$

$$LSD=t_{(\alpha^{,},N-k})\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{3}}\right)}=t_{(\frac{1}{2}(\alpha/c),19-4})\sqrt{10,55\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\right)}=6,615.$$

Rejeitamos as igualdades entre as médias dos níveis se $ |\bar{y_{1}}-\bar{y_{2}}|\textgreater6,236 $; $ |\bar{y_{1}}-\bar{y_{3}}|\textgreater6,615 $; $ |\bar{y_{1}}-\bar{y_{4}}|\textgreater6,236 $; $ |\bar{y_{2}}-\bar{y_{3}}|\textgreater6,615 $; $ |\bar{y_{2}}-\bar{y_{4}}|\textgreater6,236 $ e $ |\bar{y_{3}}-\bar{y_{4}}|\textgreater6,615. $

 

$ |\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}| $ Resultado $ |\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}| $ Resultado
$ |\bar{y_{1.}}-\bar{y_{2.}}| $ $ 1,2 $ $ |\bar{y_{2.}}-\bar{y_{3.}}| $ $ 6,1 $
$ |\bar{y_{1.}}-\bar{y_{3.}}| $ $ 4,9 $ $ |\bar{y_{2.}}-\bar{y_{4.}}| $ $ 13,8 $
$ |\bar{y_{1.}}-\bar{y_{4.}}| $ $ 12,6 $ $ |\bar{y_{3.}}-\bar{y_{4.}}| $ $ 7,7 $

Conclusão: Ao considerarmos um nível de significância de $ 5\% $, não rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias dos níveis (1,2), (1,3) e (2,3).