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3.4 Teste de Scheffe

O método proposto por Scheffe (1959) é também conhecido como teste de Scheffe da diferença completamente significativa (fully significant difference (FSD)) e como teste de Scheffe da diferença globalmente significativa (globally significant difference(GSD)). É um método exato no sentido em que, para as famílias (finitas) envolvendo todos os contrastes das $ k $ médias, a FWER é exatamente $ \alpha $.

O Teste de Scheffe pode ser usado quando as comparações são selecionadas depois de olhar para os dados e  incluem os contrastes, que nem todos  são  aos pares. Também pode ser utilizado quando um grande número de contrastes, nem todos aos pares, são especificados antes de coletar os dados.

Dada uma FWER de valor $ \alpha $, o intervalo de confiança para o contraste $ \sum\limits_{i=1}^{k}c_i\mu_i $, em que $ \sum\limits_{i=1}^{k}c_i=0 $ é calculado utilizando a seguinte fórmula

$$\sum\limits_{i=1}^{k}c_i\bar{y_{i}}\pm\sqrt{(k-1)F_{(\alpha,k-1,N-k)}}\sqrt{QME\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{c_{i}^{2}}{n_{1}}},$$

em que o quantil $ F_{\alpha,k-1,v} $ é da distribuição $ F $ com parâmetros $ k-1 $ e $ v $  (ver Tabela do Teste de Scheffe no apêndice). A margem de erro da expressão anterior não depende do número de contrastes, mas sim do número de médias no contraste.

O método de Sheffe também pode  ser usado para a família de todas as comparações duas a duas, mas quase sempre resultará em intervalos de confiança maiores que os métodos estudados anteriormente (Tukey, Tukey-Kramer, Fisher e Bonferroni). Dado uma FWER de $ \alpha $, o intervalo de confiança para $ \mu_i-\mu_j $ é calculado usando a seguinte expressão

$$\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}\pm\sqrt{(k-1)F_{\alpha,k-1,N-k}}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}.$$

Dessa forma, temos que o Teste de Scheffe considera duas médias significativamente diferentes se o valor absoluto de suas diferenças amostrais ultrapassar

$$FSD=\sqrt{(k-1)F_{(\alpha,k-1,N-k)}}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}.$$

Em outras palavras, rejeitamos a igualdade da média de dois níveis se

$$|\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}|\textgreater FSD$$

Uma observação trazida por alguns autores é que, pelo fato desse procedimento ser extremamente conservador, quando o interesse está apenas na comparação duas a duas, o teste de Scheffe não é adequado. Recomendam ainda que se o número de contrastes utilizados no estudo não é consideravelmente maior que o número de grupos, e os contrastes não foram sugeridos pelos dados, o procedimento de Bonferroni, provavelmente será  mais poderoso que Scheffe. Contudo, se os contrastes forem sugeridos pelos dados, o método de Scheffe deve ser empregado ao invés de Bonferroni, desde que todos os contrastes possíveis tenham sido considerados implicitamente.

 

Exemplo 3.4.1

Para os dados do Exemplo 1, vamos calcular o valor de TSD e verificar quais níveis são iguais.

 

Fator Resistência_da_Fibra
15 7
15 7
15 15
15 11
15 9
20 12
20 17
20 12
20 18
20 18
25 14
25 18
25 18
25 19
25 19
30 19
30 25
30 22
30 19
30 23
35 7
35 10
35 11
35 15
35 11

Como os dados são balanceadoos, temos que:

$$FSD=\sqrt{(k-1)F_{(\alpha,k-1,N-k)}}\sqrt{2\frac{QME}{n}}$$

$$FSD=\sqrt{(5-1)F_{(0.05,5-1,25-4)}}\sqrt{2\frac{8,06}{5}}$$

$$FSD= \sqrt{(5-1)2,866}\sqrt{3,224}$$

$$FSD=6,079$$

Rejeitamos a igualdade entre dois níveis se

$ \mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid\textgreater 6,079 $

$ \mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid $ $ \mbox{Resultado} $ $ \mid\overline{y}_{i.}-\overline{y}_{j.}\mid $ $ \mbox{Resultado} $
$ \mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{20}\mid $ $ 5,6 $ $ \mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{30}\mid $ $ 6,2 $
$ \mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{25}\mid $ $ 7,8 $ $ \mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{35}\mid $ $ 4,6 $
$ \mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{30}\mid $ $ 11,8 $ $ \mid\overline{y}_{25}-\overline{y}_{30}\mid $ $ 4,0 $
$ \mid\overline{y}_{15}-\overline{y}_{35}\mid $ $ 1,0 $ $ \mid\overline{y}_{25}-\overline{y}_{35}\mid $ $ 6,8 $
$ \mid\overline{y}_{20}-\overline{y}_{25}\mid $ $ 2,2 $ $ \mid\overline{y}_{30}-\overline{y}_{35}\mid $ $ 10,8 $

Conclusão: Ao considerarmos um nível de significância de $ 5\% $, não rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias dos níveis: $ (15,35); (20,25); (20,35); (25,30) $

Exemplo 3.4.2

Voltando ao Exemplo 3.2.1 (modelos de pacotes e volumes de vendas), vamos calcular o valor de LSD e verificar quais tratamentos são iguais.

Fator Vendas
1 11
1 17
1 16
1 14
1 15
2 12
2 10
2 15
2 19
2 11
3 23
3 20
3 18
3 17
4 27
4 33
4 22
4 26
4 28

Como os dados não são balanceados, temos que

$$FSD=\sqrt{(k-1)F_{\alpha,k-1,N-k}}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}.$$

Observemos que n1= n2= n4 . Dessa maneira, teremos aqui dois valores distintos para FSD, o valor para comparar o nível 3 com os demais e o valor que compara os níveis com mesmo tamanho  de amostras  (1, 2 e 4). Calculemos aqui para ilustrar, o valor da FSD para as diferenças entre as médias $ \mu_1 $  e $ \mu_2 $ e  para $ \mu_1 $ e $ \mu_3 $.

$$FSD=\sqrt{(k-1)F_{(\alpha,k-1,N-k)}}\sqrt{2\frac{QME}{n}}=\sqrt{3\times F_{(0.05,3,15)}}\sqrt{2\frac{10,55}{5}}=6,450$$

$$FSD=\sqrt{(k-1)F_{\alpha,k-1,N-k}}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}=\sqrt{3\times F_{(0.05,3,15)}}\sqrt{10,55\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\right)}=6,841$$

Rejeitamos as igualdades entre as médias dos níveis se $ |\bar{y_{1}}-\bar{y_{2}}|\textgreater6,450 $;  $ |\bar{y_{1}}-\bar{y_{3}}|\textgreater6,841 $; $ |\bar{y_{1}}-\bar{y_{4}}|\textgreater6,450 $; $ |\bar{y_{2}}-\bar{y_{3}}|\textgreater6,841 $; $ |\bar{y_{2}}-\bar{y_{4}}|\textgreater6,450 $ e $ |\bar{y_{3}}-\bar{y_{4}}|\textgreater6,841 $

 

$ |\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}| $ Resultado $ |\bar{y_{i.}}-\bar{y_{j.}}| $ Resultado
$ |\bar{y_{1.}}-\bar{y_{2.}}| $ $ 1,2 $ $ |\bar{y_{2.}}-\bar{y_{3.}}| $ $ 6,1 $
$ |\bar{y_{1.}}-\bar{y_{3.}}| $ $ 4,9 $ $ |\bar{y_{2.}}-\bar{y_{4.}}| $ $ 13,8 $
$ |\bar{y_{1.}}-\bar{y_{4.}}| $ $ 12,6 $ $ |\bar{y_{3.}}-\bar{y_{4.}}| $ $ 7,7 $

Conclusão: Ao considerarmos um nível de significância de $ 5\% $, não rejeitamos a hipótese de igualdade entre as médias dos níveis (1,2), (1,3) e (2,3).