Início » Inferência » 4 - Intervalos de confiança » 4.2 - Intervalo de confiança para proporção

4.2.1 - Aproximação normal

Vejamos como construir intervalos de confiança para a proporção p, utilizando a aproximação Normal. Consideremos $ \hat{p} $ a proporção amostral. Pelo Teorema Central do Limite temos que para um tamanho de amostra grande podemos considerar a proporção amostral $ \hat{p} $ como tendo aproximadamente distribuição Normal com média p e variância p(1-p)/n. Desse modo segue que

\[\hat{p}\sim N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right).\]

Observemos que a variância de $ \hat{p} $ depende do parâmetro desconhecido p. No entanto, pelo fato de n ser grande, podemos substituir p por $ \hat{p} $. Com isso temos que

\[\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}}\sim N(0,1).\]

Considerando o mesmo procedimento de montagem do intervalo para a média, construímos o intervalo com 100(1 - α)% de confiança para a proporção p:

\[IC(p,1-\alpha)=\left(\hat{p}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\hat{p}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right).\]

Exemplo 4.2.1.1: Numa amostra aleatória de tamanho n=700 foram encontrados 68 elementos defeituosos. Achar um intervalo de confiança, com α = 0,05, para a proporção p de defeituosos.

Temos que $ \hat{p}=68/700=0,0971 $. Para α=0,05, temos pela tabela da distribuição normal que Z0,025=1,96. Então o intervalo de confiança é dado por

\[\left(0,0971-1,96\sqrt{\frac{0,0971(0,9028)}{700}};0,0971+1,96\sqrt{\frac{0,0971(0,9028)}{700}}\right)=(0,0752;0,119).\]