Início » Inferência » 4 - Intervalos de confiança » 4.6 - Intervalo de confiança para a diferença de médias

4.6.1 - 1º Caso: Variâncias conhecidas

Consideremos duas amostras aleatórias, X1, X2, ..., Xn1 de tamanho n1 e Y1, Y2, ..., Yn2 de tamanho n2, ambas com distribuição Normal e médias μ1, μ2 e variâncias σ12, σ22, respectivamente. Assim,

\[\overline{X}\sim N\left(\mu_1,\frac{\sigma_1^2}{n_1}\right) \ \hbox{e} \ \overline{Y}\sim N\left(\mu_2,\frac{\sigma_2^2}{n_2}\right).\]

Daí, temos que,

\[\overline{X}-\overline{Y}\sim N\left(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}\right)\]

o que implica que

\[Z=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1).\]

Consideremos que a probabilidade da variável Z tomar valores entre $ -Z_{\alpha/2} $ e $ Z_{\alpha/2} $ é (1 - α ). Observando a equação

\[-Z_{\alpha/2}\leq Z\leq Z_{\alpha/2}\]

vemos que podemos substituir Z pela expressão acima e assim obtemos

\[-Z_{\alpha/2}\leq\frac{\overline{X}-\overline{Y}-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\leq Z_{\alpha/2}.\]

Reescrevendo esta desigualdade, obtemos o intervalo de confiança para a diferença das médias μ1 - μ2,

\[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-Z_{\alpha/2}\left(\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right);(\overline{X}-\overline{Y})+Z_{\alpha/2}\left(\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right)\right)\]

e podemos afirmar que se pudéssemos construir uma quantidade grande de intervalos $ IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha) $, todos baseados em amostras de tamanho n, 100(1-α)% deles conteriam a média populacional.