Início » Inferência » 4 - Intervalos de confiança » 4.6 - Intervalo de confiança para a diferença de médias

4.6.2 - 2º Caso: Variâncias desconhecidas - porém iguais

Consideremos agora duas amostras aleatórias, X1, X2, ..., Xn1 de tamanho n1 e Y1, Y2, ..., Yn2 de tamanho n2, com apenas uma diferença do caso anterior: as variâncias desconhecidas, porém iguais, isto é, σ12 = σ22. Como

\[\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n_1-1}^2 \quad \hbox{e} \quad \frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma_2}\sim\chi_{n_2-1}^2\]

onde $ s_1^2 $ é a variância amostral da população 1 e $ s_2^2 $ é a variância amostral da população 2, temos que

\[T=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t__{n_1+n_2-2}\]

onde

\[s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}.\]

Daí, utilizando a tabela da distribuição t de Student com a = n1 + n2 - 2 graus de liberdade, obtemos o valor de $ t_{(a,\alpha/2)} $. Então temos que

\[-t_{(a,\alpha/2)} \ \textless \ \frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \ \textless \ t_{(a,\alpha/2)}.\]

Reescrevendo esta desigualdade, obtemos o intervalo de confiança para a diferença das médias μ1 - μ2 quando as variâncias são desconhecidas, porém iguais.

\[(\overline{X}-\overline{Y})-t_{(a,\alpha/2)}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\leq\mu_1-\mu_2\leq (\overline{X}-\overline{Y}+t_{(a,\alpha/2)}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\]

ou seja,

\[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-t_{(a,\alpha/2)}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}};(\overline{X}-\overline{Y})+t_{(a,\alpha/2)}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right)\]

e podemos afirmar que se pudéssemos construir uma quantidade grande de intervalos IC(μ1 - μ2, 1 - α), todos baseados em amostras de tamanho n, 100(1-α)% deles conteriam a diferença das médias populacionais.