Início » Inferência » 5 - Testes de hipóteses

5.1 - Introdução

Neste capítulo, vamos discutir as idéias fundamentais sobre testes de hipóteses. Ao ser feita determinada afirmação sobre uma população, mais especificamente sobre um parâmetro dessa população, é natural desejar saber se os resultados experimentais provenientes de uma amostra contrariam, ou não, tal afirmação. Para isso, fazemos um teste de hipóteses. Nesta seção vamos estudar o procedimento básico de teste de hipótese sobre determinado parâmetro de uma população.

Vamos supor uma situação em que um fabricante quer saber se um determinado tipo de barra produzido por sua fábrica atende a exigência de ter um comprimento médio de 70 cm. Na verdade, o que o fabricante está fazendo é levantando hipóteses sobre uma característica (parâmetro), neste caso a média μ (média do comprimento), de sua produção (população) de barras. Eventualmente ele poderia fazer conjecturas a respeito da distribuição da variável comprimento de barra, ou ainda, poderia estar questionando a proporção de defeituosas, etc. Essas conjecturas ou suposições são chamadas de hipóteses estatísticas. De maneira genérica, podemos enunciar: hipótese estatística é uma a firmação ou conjectura sobre um parâmetro, ou parâmetros; pode também referir-se ao tipo ou natureza da população.

Uma hipótese estatística, como a formulada acima em relação a média dos comprimentos das barras, é chamada de Hipótese Nula e será denotada por H0. O termo "Hipótese Nula" é usado para ver se alguma hipótese estabelecida inicialmente pode ser rejeitada ou não. A idéia de se estabelecer uma hipótese nula é comum mesmo em um raciocínio não-estatístico. É exatamente o que é feito em processos criminais, onde um acusado (réu) é dito ser inocente até que se prove o contrário. A pressuposição de inocência é uma hipótese nula.

Vamos supor, por exemplo, que queremos mostrar que um método de fabricação é tão eficiente quanto outro. Para isso poderíamos formular a hipótese de que os dois métodos são igualmente eficientes e buscar evidências (nos dados) contra ou a favor desta hipótese.

A hipótese que usamos como alternativa à hipótese nula, isto é, a hipótese que aceitamos quando a hipótese nula é rejeitada é chamada Hipótese Alternativa e será denotada por H1. Assim, considerando o exemplo do réu, formulamos as hipóteses:

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: \ \hbox{O réu é inocente}\\H_1: \ \hbox{O réu é culpado}\end{array}\right.\]

Observação: Alguns autores denotam H1 por HA.

Agora voltemos ao exemplo introdutório do fabricante de barras. O tal fabricante está interessado em decidir se as barras tem uma média igual a 70 cm ou diferente de 70 cm. Nesse caso, as hipóteses seriam:

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: \mu=70\\H_1: \mu\neq 70\end{array}\right.\]

Ainda com relação a esse exemplo poderíamos ter hipóteses do tipo:

\[(1)\left\{\begin{array}{l}H_0: \mu=70\\H_1: \mu \ \textgreater \ 70\end{array}\right. \quad (2)\left\{\begin{array}{l}H_0: \mu=70\\H_1: \mu \ \textless \ 70\end{array}\right. \quad (3)\left\{\begin{array}{l}H_0: \mu=70\\H_1: \mu\neq 70\end{array}\right. \quad (4)\left\{\begin{array}{l}H_0: \mu=70\\H_1: \mu=75\end{array}\right.\]

Em todas as situações a hipótese nula H0 é do tipo "simples", enquanto que H1 é do tipo "composta" em (1), (2), (3), e do tipo "simples" em (4). Casos como as situações (1) e (2) são chamados de testes unilaterais. Consideremos, agora, um exemplo para ilustrarmos a situação (1).

Exemplo 5.1.1: Um gerente de produção está estudando a possibilidade de comprar uma nova máquina de estampar partes metálicas. Seja μ0 o número médio de partes estampadas por hora pela máquina velha e μ a média da máquina nova. O gerente não quer comprar a máquina nova a menos que ela seja mais produtiva que a máquina velha. Vamos encontrar as hipóteses.

O gerente deve usar a hipótese nula μ = μ0 e a hipótese alternativa μ > μ0. Ou seja,

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: \mu=\mu_0\\H_1: \mu \ \textgreater \ \mu_0\end{array}\right.\]

Assim, o gerente deve optar por comprar a máquina nova somente se a hipótese nula for rejeitada.

Regra de decisão: A regra de decisão nos permite distinguir entre as duas hipóteses. Esta é definida a partir do estimador de máxima verossimilhança do parâmetro e está sempre baseada na hipótese H1.

Região de Rejeição: A região de rejeição ou região crítica (RC) é o conjunto de valores assumidos pela estatística de teste para os quais a hipótese nula é rejeitada. Seu complementar é a região de aceitação (RA).

No Exemplo 5.1.1, tomamos o estimador $ \overline{X} $ para o parâmetro de interesse μ para determinarmos a regra de decisão, que é definida por: rejeitamos H0 se $ \overline{X} \ \textgreater \ X_C $, no qual XC é o valor crítico para a média amostral. Se a média amostral for maior que o valor crítico XC, temos evidência para assumir que a média da população é maior que μ0. Assim, no caso do Exemplo 5.1.1 temos evidência para assumir que a nova máquina apresenta uma média de produção maior que a máquina velha. A região $ R_C= \{\overline{X} \ \textgreater\ X_C\} $ que nos leva a rejeição da hipótese H0 é a região de rejeição (ou região crítica).

 

Para cada tipo de hipótese determinamos uma região de rejeição apropriada, sempre conforme a hipótese H1. Por exemplo, para testarmos as hipóteses

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: \mu=\mu_0\\H_1: \mu\neq\mu_0,\end{array}\right.\]

tomamos como região crítica $ R_C=\{\overline{X} \ \textgreater \ X_{C_2}~~\mbox{ou}~~\overline{X} \ \textless \ X_{C_1}\} $. Os valores $ X_{C_1} $ e $ X_{C_2} $ são os valores críticos para o teste.

Independente dos valores críticos utilizados para determinar a região crítica, as decisões que tomamos estão sujeitas a erros. Através da discussão destes erros, definiremos um método para encontrar valores críticos apropriados.