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5.1.1 - Erros cometidos nos testes de hipóteses

São dois os tipos de erros que podemos cometer na realização de um teste de hipóteses:

  1. Rejeitar a hipótese H0, quando ela é verdadeira.
  2. Não rejeitar a hipótese H0, quando ela é falsa.

A Tabela a seguir resume as situações acima.

  Aceitar H0 Rejeitar H0
H0 verdadeira Decisão correta Erro do tipo I
H0 falsa Erro do tipo II Decisão correta

Se a hipótese H0 for verdadeira e aceita, ou for falsa e rejeitada, a decisão estará correta. No entanto, se a hipótese H0 for rejeitada sendo verdadeira, ou se for aceita sendo falsa, a decisão estará errada. O primeiro destes erros é chamado de Erro do Tipo I e a probabilidade de cometê-lo é denotada pela letra grega α (alfa); o segundo é chamado de Erro do Tipo II e a probabilidade de cometê-lo é denotada pela letra grega β (beta). Assim temos,

\[\alpha=P(\hbox{Erro do tipo I})=P(\hbox{rejeitar} \ H_0 \ \hbox{dado} \ H_0 \ \hbox{verdadeira});\]

\[\beta=P(\hbox{Erro do tipo II})=P(\hbox{aceitar} \ H_0 \ \hbox{dado} \ H_0 \ \hbox{falsa}).\]

Considere um teste unilateral dado pelas hipóteses:

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: \mu=\mu_0\\H_1: \mu \ \textless \ \mu_0\end{array}\right.\]

Neste caso, a região de rejeição é determinada por $ \{\overline{X} \ \textless \ X_C\} $, e a interpretação dos erros pode ser vista como:

\[\alpha=P(\overline{X} \ \textless \ X_C|\mu=\mu_0);\]

\[\beta=P(\overline{X} \ \textgreater \ X_C|\mu \ \textless \ \mu_0).\]

A situação ideal é aquela em que ambas as probabilidades, α e β, são próximas de zero. No entanto, é fácil ver que a medida que diminuimos α, β aumenta. A Figura a seguir apresenta esta relação.

Para um teste de hipóteses do tipo acima, onde estamos interessados em testar a média de uma população, utilizamos a expressão

\[Z=\cfrac{\overline{X}-\mu_0}{\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}},\]

que é a estatística do teste de hipóteses. A partir do Teorema Central do Limite, sabemos que, desde que tenhamos um tamanho amostral suficientemente grande, esta estatística tem distribuição Normal padrão, isto é,

\[Z\sim N(0,1).\]

A partir dos valores de Z e da especificação do erro cometido, podemos definir a região crítica.

Vamos considerar que o erro mais importante a ser evitado seja o Erro do Tipo I. A probabilidade de ocorrer o erro do tipo I (α) é denominada nível de signifi cância do teste. O complementar do nível de significância (1 - α) é denominado nível de confi ança. Supondo que o nível de signifi cância α seja conhecido, temos condições de determinar o(s) valor(es) crítico(s). Se considerarmos o teste bilateral

\[\left\{\begin{array}{l}H_0:\mu=\mu_0\\H_1: \mu\neq\mu_0\end{array}\right.,\]

a figura a seguir representa a região de rejeição para um valor fixo de α.

Se considerarmos o teste unilateral à direita

\[\left\{\begin{array}{l}H_0:\mu=\mu_0\\H_1: \mu \ \textgreater \ \mu_0\end{array}\right.,\]

a região crítica é representada segundo a figura abaixo.

E, se considerarmos o teste unilateral à esquerda

\[\left\{\begin{array}{l}H_0:\mu=\mu_0\\H_1: \mu \ \textless \ \mu_0\end{array}\right.,\]

a região crítica é representada segundo a figura abaixo.

Os valores -Zα e Zα nas duas últimas figuras são tais que as áreas à esquerda e à direita, respectivamente, sob a curva Normal padrão, valem α. Agora, os valores -Zα/2 e Zα/2, na primeira figura, são tais que as áreas à esquerda e à direita, respectivamente, sob a curva Normal padrão, valem $ \frac{\alpha}{2} $.

Como foi dito inicialmente, o objetivo do teste de hipótese é determinar, através de uma estatística, se a hipótese nula é aceitável ou não. Essa decisão é tomada considerando a região de rejeição ou região crítica (RC). Caso o valor observado da estatística pertença à região de rejeição, rejeitamos H0; caso contrário, não rejeitamos H0. Analogamente, definimos a região de aceitação (complementar da região de rejeição): caso o valor observado pertença à região de aceitação, não rejeitamos H0; se não pertencer, rejeitamos.

Se o nível de significância é 0,05, os valores críticos são -1,645 ou 1,645 para as alternativas unilaterais e -1,96 e 1,96 para a alternativa bilateral; se o nível de significância é 0,01, os valores críticos são -2,33 ou 2,33 para as alternativas unilaterais e -2,575 e 2,575 para a alternativa bilateral (valores obtidos na Tabela da distribuição Normal). A tabela a seguir apresenta alguns critérios para o teste de hipótese.

Hipótese Alternativa Rejeita H0 se Aceita H0 se
$ \mu \ \textless \ \mu_0 $
 $ Z \ \textless \ -Z_{\alpha} $ $ Z\geq -Z_{\alpha} $
$ \mu \ \textgreater \ \mu_0 $
 $ Z \ \textgreater \ Z_{\alpha} $  $ Z\leq Z_{\alpha} $
$ \mu\neq\mu_0 $ $ Z \ \textless \ -Z_{\alpha/2} $ ou $ Z \ \textgreater \ Z_{\alpha/2} $  $ -Z_{\alpha/2}\leq Z\leq Z_{\alpha/2} $

Exemplo 5.1.1.1: Um supervisor da qualidade quer testar, com base numa amostra aleatória de tamanho n = 35 e para um nível de significância α = 0,05, se a profundidade média de um furo numa determinada peça é 72,4mm. O que podemos falar se ele obteve $ \overline{x} $ = 73,2mm e se sabe, de informações anteriores, que σ = 2,1mm?

1. Primeiro vamos estabelecer as hipóteses:

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: \mu=72,4\\H_1:\mu\neq 72,4\end{array}\right.\]

2. Como α = 0,05, temos que $ Z_{\alpha/2}=Z_{0,025}=1,96 $.

3. Critério: rejeitar H0 se Xobs < -1,96 ou  se Xobs > 1,96, onde

\[Z_{obs}=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\]

4. Substituindo μ0 = 72,4, σ = 2,1, n = 35, $ \overline{x} $ = 73,2 na equação acima, obtemos

\[Z_{obs}=\frac{73,2-72,4}{\frac{2,1}{\sqrt{35}}}=2,25\]

5. Conclusão: Como Xobs = 2,25 > 1,96, a hipótese nula deve ser rejeitada. Em outras palavras, a diferença entre $ \overline{x} $=73,2 e μ = 72,4 é significativa. Veja a figura abaixo