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5.1.3 - Poder do teste

Seja T um teste estatístico com região crítica C para avaliarmos hipóteses a respeito do parâmetro θ. A função poder do teste é a probabilidade de rejeitarmos H0 dado o valor de θ. Neste caso, temos que

\[\pi(\theta)=P[\hbox{rejeitar} \ H_0|\theta]=P[T\in C|\theta],\]

para todo valor de θ.

Suponha que queremos testar a hipótese H0 : μ = μ0 contra a hipótese alternativa H1 : μ ≠ μ0. De forma ideal, nós gostaríamos de rejeitar a hipótese H0 para todo valor de μ em H1 com probabilidade 1, e da mesma forma, nós gostaríamos de aceitar (não rejeitar) a hipótese H0 para todo valor de μ em H0 com probabilidade 1 (figura a seguir).

O Poder do Teste tem como objetivo conhecer o quanto o teste de hipóteses controla um erro do tipo II, ou qual a probabilidade de rejeitar a hipótese nula se realmente for falsa. Na prática, é importante que se tenham testes com nível de significância próximos do nível de significância nominal e que o poder seja alto, mesmo em situações de amostras pequenas.

O poder de um teste de hipóteses é afetado por três fatores:

  • Tamanho da amostra: Mantendo todos os outros parâmetros iguais, quanto maior o tamanho da amostra, maior o poder do teste.
  • Nível de Significância: Quanto maior o nível de significância, maior o poder do teste. Se você aumenta o nível de significância, você reduz a região de aceitação. Como resultado, você tem maior chance de rejeitar a hipótese nula. Isto significa que você tem menos chance de aceitar a hipótese nula quando ela é falsa, isto é, menor chance de cometer um erro do tipo II. Então, o poder do teste aumenta.
  • O verdadeiro valor do parâmetro a ser testado: Quanto maior a diferença entre o "verdadeiro" valor do parâmetro e o valor especificado pela hipótese nula, maior o poder do teste.

 

Novamente, consideremos a estatística

\[Z=\cfrac{\overline{X}-\mu_0}{\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}\]

e o teste de hipóteses

\[\left\{\begin{array}{l}H_0: \mu=\mu_0\\H_1:\mu\neq \mu_0\end{array}\right.\]

O Erro do tipo II é o erro cometido ao aceitar a hipótese nula H0 quando esta é falsa (H1 é verdadeira).

P[Erro do tipo II] = P[aceitar H0 | H1  é verdadeira] = β

Para que isto seja possível, suponha que a hipótese nula é falsa e que o verdadeiro valor da média é μ = μ0 + δ. Então, a estatística do teste é

\[Z_0=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-(\mu_0+\delta)}{\sigma/\sqrt{n}}+\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{n}}.\]

Portanto, a distribuição de $ Z_0 $ quando $ \mu=\mu_0+\delta $ é

\[Z_0\sim N\left(\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{n}},1\right).\]

E, com isso, para um teste bilateral, temos que a probabilidade de erro do tipo II é a probabilidade de que $ Z_0 $ esteja entre $ -z_{\alpha/2} $ e $ z_{\alpha/2} $ dado que $ H_1 $ é verdadeira. Esta probabilidade é calculada da seguinte maneira

\[\beta=\Phi\left(z_{\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\right)-\Phi\left(-z_{\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\right)\]

onde $ \Phi $ é a função distribuição acumulada da distribuição normal padrão.

Para os testes unilaterais à direita e à esquerda, temos que as probabilidades de erro do tipo II são dadas, respectivamente por

\[\Phi\left(z_{\alpha}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\left) \quad \hbox{e} \quad 1-\Phi\left(-z_{\alpha}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\right).\]

O Poder do Teste é calculado como: 1 menos a probabilidade do erro do tipo II, ou seja, 1 - β. Neste caso, as fórmulas utilizadas para o cálculo do poder são

\[P=1-\Phi\left(z_{\alpha/2}-\frac{\delta}{\sigma}\sqrt{n}\right)+\Phi\left(-z_{\alpha/2}-\frac{\delta}{\sigma}\sqrt{n}\right)\]

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à esquerda a fórmula utilizada é

\[P=\Phi\left(-z_{\alpha/2}-\frac{\delta}{\sigma}\sqrt{n}\right)\]

e se é unilateral à direita, então

\[P=1-\Phi\left(z_{\alpha}-\frac{\delta}{\sigma}\sqrt{n}\right)\]

onde $ \Phi $ é a função distribuição acumulada de uma variável aleatória Normal padrão.

 

Considere novamente o Exemplo 5.1.1.1. Suponha que queiramos calcular o poder do teste de hipóteses em detectar uma diferença δ = 1 entre as hipóteses nula e alternativa. Como n = 35, α = 0,05 e σ = 2,1, temos que a probabilidade de erro do tipo II é dada por

\[\beta=\Phi\left(z_{\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\right)-\Phi\left(-z_{\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\right)=\Phi(-0,8572)-\Phi(-4,7772)=0,1957.\]

Deste modo, temos que o poder P do teste de hipóteses em detectar uma diferença δ = 1 entre as hipóteses nula e alternativa é dado por

\[P=1-\beta=1-0,1957=0,8043,\]

portanto, o poder do teste de hipóteses em detectar uma diferença  δ = 1 entre as hipóteses nula e alternativa é de, aproximadamente, 80,43%.