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5.5 - Teste para variância

Seja $ X_1,X_2,\ldots,X_n $ uma amostra aleatória de tamanho $ n $ retirada de uma população normal $ N(\mu,\sigma^2) $Suponha que desejamos testar uma hipótese sobre a variância $ \sigma^2 $ desta população.

Usando o Corolário 2.3.3, sabemos que a estatística

\[Q=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\]

tem distribuição qui-quadrado com $ n-1 $ graus de liberdade. Denotamos $ Q \sim \chi_{(n-1)}^2 $Para executar este tipo de teste, podemos seguir os passos:

1. Estabelecer uma das hipóteses (bilateral, unilateral à direita ou unilateral à esquerda)

\[\left\{\begin{array}{l}H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\\H_1:\sigma^2\neq\sigma_0^2\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\\H_1:\sigma^2 \ \textgreater \ \sigma_0^2\end{array}\right. \ \hbox{ou} \ \left\{\begin{array}{l}H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\\H_1:\sigma^2 \ \textless \ \sigma_0^2\end{array}\right.\]

OBS: As hipóteses $ H_0 $ podem ser substituídas por $ H_0:\sigma^2 \geq \sigma_0^2 $, $ H_0:\sigma^2\leq\sigma_0^2 $, $ H_0:\sigma^2 \ \textgreater \ \sigma_0^2 $ ou $ H_0:\sigma^2 \ \textless \ \sigma_0^2 $.

2. Fixar o nível de significância $ \alpha $.

3. Determinar a região crítica.

  • Se o teste é bilateral, devemos determinar os pontos críticos $ Q_{\alpha/2} $ e $ Q_{1-\alpha/2} $ tais que $ \mathbb{P}[Q \ \textless \ Q_{\alpha/2}]=\alpha/2 $ e $ \mathbb{P}[Q \ \textgreater \ Q_{1-\alpha/2}]=\alpha/2 $ utilizando a tabela da distribuição qui-quadrado com $ n-1 $ graus de liberdade.

  • Se o teste é unilateral à direita, devemos determinar o ponto crítico $ Q_{1-\alpha} $ tal que $ \mathbb{P}[Q \ \textgreater \ Q_{1-\alpha}]=\alpha $

  • Se o teste é unilateral à esquerda, devemos determinar o ponto crítico $ Q_{\alpha} $ tal que $ \mathbb{P}[Q \ \textless \ Q_{\alpha}]=\alpha $.

4. Calcular, sob a hipótese nula, o valor

\[Q_{\text{obs}}=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\]

5. Critério:

  • Teste bilateral: Se $ Q_{\text{obs}} \ \textgreater \ Q_{\alpha/2} $ ou se $ Q_{\text{obs}} \ \textless \ Q_{1-\alpha/2} $, rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.
  • Teste unilateral à direita: se $ Q_{\text{obs}} \ \textgreater \ Q_{1-\alpha} $, rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.
  • Teste unilateral à esquerda: se $ Q_{\text{obs}} \ \textless \ Q_{\alpha} $, rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.

6. O p-valor é dado por

\[\text{p-valor} = 2\min(\mathbb{P}[Q \ \textgreater \ Q_{\text{obs}}|H_0],\mathbb{P}[Q \ \textless \ Q_{\text{obs}}|H_0])\]

no caso bilateral.

No caso unilateral à direita, o p-valor é dado por

\[\text{p-valor} = \mathbb{P}[Q \ \textgreater \ Q_{\text{obs}}|H_0]\]

e, no caso unilateral à esquerda, o p-valor é dado por

\[\text{p-valor} = \mathbb{P}[Q \ \textless \ Q_{\text{obs}}|H_0].\]

7. Como vimos na Seção 4.4, o intervalo de confiança para a variância populacional $ \sigma^2 $ é dado por

\[IC(\sigma^2,1-\alpha)=\left(\frac{(n-1)s^2}{Q_{1-\alpha/2}};\frac{(n-1)s^2}{Q_{\alpha/2}}\right)\]

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à direita, o intervalo de confiança é dado por

\[IC(\sigma^2,1-\alpha)=\left(\frac{(n-1)s^2}{Q_{1-\alpha}};\infty\right)\]

e se o teste é unilateral à esquerda, o intervalo de confiança é dado por

\[IC(\sigma^2,1-\alpha)=\left(0;\frac{(n-1)s^2}{Q_{\alpha}}\right).\]

Exemplo 5.5.1: Uma máquina de preenchimento automático é utilizada para encher garrafas com detergente líquido. Uma amostra aleatória de $ 20 $ garrafas resulta em uma variância da amostra do volume de enchimento de $ s^2 = 0,0153 \ \text{onça fluída}^2 $. Se a variância do volume de enchimento exceder $ 0,01 \ \text{onças fluídas}^2 $, existirá uma proporção inaceitável de garrafas cujo enchimento não foi completo ou foi em demasia. Há evidência nos dados da amostra sugerindo que o fabricante tenha um problema com garrafas com falta ou excesso de detergente? Use $ \alpha = 0,05 $ e considere que o volume de enchimentos tem distribuição normal.

O parâmetro de interesse é a variância da população

1. Primeiro vamos estabelecer as hipóteses:

\[\left\{\begin{array}{l}H_0:\sigma^2=0,01\\H_1:\sigma_2 \ \textgreater \ 0,01\end{array}\right.\]

2. Como $ \alpha = 0,05 $ temos que $ Q_{0,95} = 30,14 $.

3. Critério: Rejeitar $ H_0 $ se $ Q_{\text{obs}} \ \textgreater \ 30,14 $.

4. Calcular $ Q_{\text{obs}} $, dado por

\[Q_{\text{obs}}=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\frac{19(0,0153)}{0,01}=29,07\]

5. Conclusão: como $ Q_{\text{obs}} = 29,07 \ \textless \ 30,14 $, a hipótese nula não deve ser rejeitada. Ou seja, não há evidências de que a variância do volume de enchimento exceda $ 0,01 \ \text{onça fluída}^2 $.

6. Vamos agora calcular o p-valor:

\[\text{p-valor} = \mathbb{P}[Q \ \textgreater \ Q_{\text{obs}}] = \mathbb{P}[Q \ \textgreater \ 29,07] = 0,064892.\]

7. Como $ n = 20 $, $ s^2 = 0,0153 $ e $ Q_{0,95} = 30,14 $, segue que o intervalo de confiança para $ \sigma^2 $ com 95% de confiança é dado por

\[IC(\sigma^2,95\%)=\left(\frac{(n-1)s^2}{Q_{0,95}};\infty\right)=(0,00964,\infty).\]