Início » Inferência » 5 - Testes de hipóteses

5.5 - Teste para variância

Seja X1, X2, ..., Xn uma amostra aleatória de tamanho n retirada de uma população normal N(μ,σ2). Suponha que desejamos testar uma hipótese sobre a variância σ2 desta população.

Usando o Corolário 2.3.3, sabemos que a estatística

\[Q=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\]

tem distribuição qui-quadrado com (n-1) graus de liberdade. Denotamos Q ~ $ \chi_{(n-1)}^2 $. Para executar este tipo de teste, podemos seguir os passos:

1. Estabelecer uma das hipóteses (bilateral, unilateral à direita ou unilateral à esquerda)

\[\left\{\begin{array}{l}H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\\H_1:\sigma^2\neq\sigma_0^2\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\\H_1:\sigma^2 \ \textgreater \ \sigma_0^2\end{array}\right. \ \hbox{ou} \ \left\{\begin{array}{l}H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\\H_1:\sigma^2 \ \textless \ \sigma_0^2\end{array}\right.\]

OBS: As hipóteses H0 podem ser substituídas por $ H_0:\sigma^2 \geq \sigma_0^2 $, $ H_0:\sigma^2\leq\sigma_0^2 $, $ H_0:\sigma^2 \ \textgreater \ \sigma_0^2 $ ou $ H_0:\sigma^2 \ \textless \ \sigma_0^2 $.

2. Fixar o nível de significância α.

3. Determinar a região crítica.

  • Se o teste é bilateral, devemos determinar os pontos críticos $ Q_{\alpha/2} $ e $ Q_{1-\alpha/2} $ tais que $ P[Q \ \textless \ Q_{\alpha/2}]=\alpha/2 $ e $ P[Q \ \textgreater \ Q_{1-\alpha/2}]=\alpha/2 $ utilizando a tabela da distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.

  • Se o teste é unilateral à direita, devemos determinar o ponto crítico $ Q_{1-\alpha} $ tal que $ P[Q \ \textgreater \ Q_{1-\alpha}]=\alpha $. 

  • Se o teste é unilateral à esquerda, devemos determinar o ponto crítico $ Q_{\alpha} $ tal que $ P[Q \ \textless \ Q_{\alpha}]=\alpha $.

4. Calcular, sob a hipótese nula, o valor

\[Q_{obs}=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\]

5. Critério:

  • Teste bilateral: Se $ Q_{obs} \ \textgreater \ Q_{\alpha/2} $ ou se $ Q_{obs} \ \textless \ Q_{1-\alpha/2} $, rejeitamos H0. Caso contrário, aceitamos H0.
  • Teste unilateral à direita: se $ Q_{obs} \ \textgreater \ Q_{1-\alpha} $, rejeitamos H0. Caso contrário, aceitamos H0.
  • Teste unilateral à esquerda: se $ Q_{obs} \ \textless \ Q_{\alpha} $, rejeitamos H0. Caso contrário, aceitamos H0.

6. O p-valor é dado por

\[P-valor = 2\min(P[Q \ \textgreater \ Q_{obs}|H_0],P[Q \ \textless \ Q_{obs}|H_0])\]

no caso bilateral.

No caso unilateral à direita, o p-valor é dado por

\[P-valor = P[Q \ \textgreater \ Q_{obs}|H_0]\]

e, no caso unilateral à esquerda, o p-valor é dado por

\[P-valor = P[Q \ \textless \ Q_{obs}|H_0].\]

7. Como vimos na Seção 4.4, o intervalo de confiança para a variância populacional $ \sigma^2 $ é dado por

\[IC(\sigma^2,1-\alpha)=\left(\frac{(n-1)s^2}{Q_{1-\alpha/2}};\frac{(n-1)s^2}{Q_{\alpha/2}}\right)\]

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à direita, o intervalo de confiança é dado por

\[IC(\sigma^2,1-\alpha)=\left(\frac{(n-1)s^2}{Q_{1-\alpha}};\infty\right)\]

e se o teste é unilateral à esquerda, o intervalo de confiança é dado por

\[IC(\sigma^2,1-\alpha)=\left(0;\frac{(n-1)s^2}{Q_{\alpha}}\right).\]

Exemplo 5.5.1: Uma máquina de preenchimento automático é utilizada para encher garrafas com detergente líquido. Uma amostra aleatória de 20 garrafas resulta em uma variância da amostra do volume de enchimento de s2 = 0,0153 (onça fluída)2. Se a variância do volume de enchimento exceder 0,01 (onças fluídas)2, existirá uma proporção inaceitável de garrafas cujo enchimento não foi completo ou foi em demasia. Há evidência nos dados da amostra sugerindo que o fabricante tenha um problema com garrafas com falta ou excesso de detergente? Use α = 0,05 e considere que o volume de enchimentos tem distribuição normal.

O parâmetro de interesse é a variância da população

1. Primeiro vamos estabelecer as hipóteses:

\[\left\{\begin{array}{l}H_0:\sigma^2=0,01\\H_1:\sigma_2 \ \textgreater \ 0,01\end{array}\right.\]

2. Como α = 0,05 temos que Q0,95 = 30,14.

3. Critério: Rejeitar H0 se Qobs > 30,14.

4. Calcular Qobs:

\[Q_{obs}=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\frac{19(0,0153)}{0,01}=29,07\]

5. Conclusão: como Qobs = 29,07 < 30,14, a hipótese nula não deve ser rejeitada. Ou seja, não há evidências de que a variância do volume de enchimento exceda 0,01 (onça fluída)2.

6. Vamos agora calcular o p-valor:

\[P-valor = P[Q \ \textgreater \ Q_{obs}] = P[Q \ \textgreater \ 29,07] = 0,064892.\]

7. Como n = 20, s2 = 0,0153 e Q0,95 = 30,14, segue que o intervalo de confiança para $ \sigma^2 $ com 95% de confiança é dado por

\[IC(\sigma^2,95\%)=\left(\frac{(n-1)s^2}{Q_{0,95}};\infty\right)=(0,00964,\infty).\]