Início » Inferência » 5 - Testes de hipóteses » 5.7 - Teste para comparação de duas médias

5.7.2 - 2º Caso: variâncias desconhecidas e diferentes

Vejamos agora como realizar um teste para igualdade das médias tendo variâncias desconhecidas e diferentes (σ12 ≠ σ22).

Para isto consideramos a variável T tal que

\[T=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}\sim t_{\nu}\]

ou seja, a variável T dada tem distribuição t de Student com $ \nu $ graus de liberdade, onde

\[\nu=\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}.\]

Na prática, podemos seguir os passos

1. Estabelecer as hipóteses

\[\left\{\begin{array}{l}H_0:\mu_1 = \mu_2\\H_1:\mu_1\neq \mu_2\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0:\mu_1=\mu_2\\H_1:\mu_1 \ \textgreater \ \mu_2\end{array}\right. \ \hbox{ou} \ \left\{\begin{array}{l}H_0:\mu_1=\mu_2\\H_1:\mu_1 \ \textless \ \mu_2\end{array}\right.\]

ou as hipóteses equivalentes

\[\left\{\begin{array}{l}H_0:\mu_1-\mu_2=0\\H_1:\mu_1-\mu_2\neq0\end{array}\right. \quad \left\{ \begin{array}{l}H_0:\mu_1-\mu_2=0\\H_1:\mu_1-\mu_2 \ \textgreater \ 0\end{array}\right. \ \hbox{ou} \ \left\{\begin{array}{l}H_0:\mu_1-\mu_2=0\\H_1:\mu_1-\mu_2 \ \textless \ 0\end{array}\right.\]

2. Fixar o nível de significância α.

3. Determinar a região crítica.

  • Se o teste é bilateral, devemos determinar os pontos críticos $ -t_{\alpha/2} $ e $ t_{\alpha/2} $ da distribuição t de Student com $ \nu $ graus de liberdade tais que $ P[T \ \textgreater \ t_{\alpha/2}]=P[T \ \textless \ -t_{\alpha/2}]=\alpha/2 $.

  • Se o teste é unilateral à direita, determinamos o ponto crítico $ t_{\alpha} $ tal que $ P[T \ \textgreater \ t_{\alpha}]=\alpha $.

  • Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o ponto crítico $ -t_{\alpha} $ tal que $ P[T \ \textless \ -t_{\alpha}] = \alpha $.

4. Calcular, sob H0,

\[T_{obs}=\frac{(\overline{x}-\overline{y})}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}.\]

5. Conclusão:

  • Teste bilateral: Se $ T_{obs} \ \textless \ -t_{\alpha/2} $ ou $ T_{obs} \ \textgreater \ t_{\alpha/2} $, rejeitamos H0. Caso contrário, não rejeitamos H0.
  • Teste unilateral à esquerda: Se $ T_{obs} \ \textless \ -T_{\alpha} $ rejeitamos H0. Caso contrário, não rejeitamos H0.
  • Teste unilateral à direita: Se $ T_{obs} \ \textgreater \ T_{\alpha} $ rejeitamos H0. Caso contrário, não rejeitamos H0.

6. Temos que o p-valor é dado por

\[\hbox{P-valor} = P[|t| \ \textgreater \ |T_{obs}||H_0]=2P[t \ \textgreater \ |T_{obs}| | H_0]\]

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à direita o p-valor é dado por

\[\hbox{P-valor} = P[t \ \textgreater \ T_{obs}|H_0]\]

e se o teste é unilateral à esquerda, o p-valor é dado por

\[\hbox{P-valor} = P[t \ \textless \ T_{obs}|H_0]\]

onde $ t $ tem distribuição t de Student com $ \nu $ graus de liberdade.

7. O intevalo de confiança, como visto na Seção 4.6.3 é dado por

\[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}};(\overline{X}-\overline{Y})+t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right)\]

se o teste é bilateral. Caso o teste seja unilateral à esquera, o intervalo de confiança é dado por

\[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left(-\infty;(\overline{X}-\overline{Y})+t_{(\nu,\alpha)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right)\]

e, se o teste é unilateral à direita, então o intervalo de confiança é dado por

\[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-t_{(\nu,\alpha)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}};\infty\right).\]

Exemplo 5.7.3.1: Compare as médias das amostras dadas no Exemplo 5.7.1.1, considerando que as variâncias são desconhecidas e diferentes.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

1. Inicialmente estabelecemos as hipóteses

 

\[\left\{\begin{array}{l}H_0:\mu_1=\mu_2\\H_1:\mu_1\neq\mu_2\end{array}\right.\]

que são equivalentes às hipóteses 

\[\left\{\begin{array}{l}H_0:\mu_1-\mu_2=0\\H_1:\mu_1-\mu_2\neq0\end{array}\right.\]

A partir dos dados, temos que a média e o desvio padrão da amostra 1 são $ \overline{x} $ = 19,3267 e s1 = 1,36228, respectivamente. A média e o desvio padrão da amostra 2 são $ \overline{y} $ = 25,0664 e s2 = 2,37289, respectivamente. O tamanho de cada amostra é n1 = 25 e n2 = 30. Com isso, temos que o grau de liberdade é dado por:

\[\nu=\frac{\left(\frac{(1,36228)^2}{25}+\frac{(2,37289)^2}{30}\right)^2}{\frac{\left(\frac{(1,36228)^2}{25}\right)^2}{25-1}+\frac{\left(\frac{(2,37289)^2}{30}\right)^2}{30-1}}=52,09473.\]

2. Fixamos o nível de significância α = 0,05.

3. Como o teste é bilateral e temos $ \nu=52,09473 $ graus de liberdade, segue que os pontos críticos são -t0,025 = -2,007 e t0,025 = 2.007.

4. Calculamos a estatística $ T_{obs} $.

\[T_{obs}=\frac{(19,3267-25,0664)}{\sqrt{\left(\frac{(1,36228)^2}{25}+\frac{(2,37289)^2}{30}\right)}}=-8,6651172.\]

5. Como Tobs < -2,007, podemos dizer que rejeitamos a hipótese de que as médias são iguais.

O p-valor é dado por

\[\hbox{P-valor}=P[|t| \ \textgreater \ |T_{obs}||H_0]=2P[t \ \textgreater \ |T_{obs}| |H_0]=1,1323E - 11.\]

Já o intervalo de confiança é

\[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}};(\overline{X}-\overline{Y})+t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right),\]

ou seja,

\[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=(-4,04;-2,52).\]

 

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.