Início » Análise de Capacidade » 2 - Índices de Capacidade e Performance do Processo para Dados Normais

2.1 - Índices de capacidade do processo: Cp e Cpk

Para cumprir mais adequadamente com a função de predizer quanto dos produtos do processo vão satisfazer às especificações foi criado o índice Cp, chamado Índice de Capacidade Potencial do Processo, que consegue relacionar a variabilidade inerente ao processo com suas especificações.

O índice Cp é definido, quando os dados seguem uma distribuição normal, por

$$C_p = \dfrac{\mbox{Variabilidade Permitida do Processo}}{\mbox{Variabilidade Inerente}}$$

ou seja,

$$C_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\sigma}$$

em que LSE é o Limite Superior de Engenharia e LIE o Limite Inferior de Engenharia.


Um processo centrado, isto é, μ = (1/2)(LIE + LSE) com uma distribuição (estável) normal e com um Cp = 1 produzirá 0,27% dos itens fora de especificação. Também, para um processo centrado e capaz (Cp = 1), os limites de controle de $ \overline{X} $ e de especificação estão relacionados da seguinte forma

$$LSC = \dfrac{LSE}{\sqrt{n}} ~~~~~ \mbox{e} ~~~~~ LIC = \dfrac{LIE}{\sqrt{n}}$$

em que n é o tamanho dos subgrupos racionais no gráfico de controle. Temos assim que, a menos da constante $ \sqrt{n} $, os dois limites coincidem para processos com Cp = 1.

O índice Cp é uma medida da capacidade do processo e pode ser estimado por

$$\widehat{C}_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}}$$

Na aplicação do índice Cp deve-se também levar em conta que muitas vezes os processos são avaliados em experimentos de curta duração (PPAP) e realizados sob condições especiais: máquinas novas, matéria-prima especialmente preparada, etc. Estas condições fazem com que as operações de qualificação do processo e as de produção corrente sejam bem diferentes.

Com isso, a maioria das empresas adotam o valor Cp = 1,67 (ou Cp = 1,33) para análises de curto prazo segundo recomendação de Juran e Gryna (1980). Este valor dá certa garantia de que, quando as causas adicionais de variabilidade atuarem, o Cp real do processo seja maior ou igual a 1,00. Baseados no mesmo tipo de argumento, outros autores sugerem um Cp = 1,5 para a fase de qualificação em equipamentos novos.

Um índice utilizado por outros autores e empresas, equivalente ao Cp, é a "Razão de Capacidade" Rc que é definida como o recíproco do Cp. Em porcentagem o Rc é dado por

• Rc = % da especificação usada

• Rc = [6σ/(LSE - LIE)]×100% 
 

• Rc = (1/Cp)×100%

 

Para Cp = 1,33 temos um valor correspondente de Rc = 75%. Quanto menor o Rc de um processo melhor o seu comportamento.


Para avaliar mais eficientemente a capacidade do processo foi introduzido no Japão o índice Cpk, que leva em conta não somente a variabilidade do processo como também sua localização com respeito aos limites de especificação.

Antes de entrar na análise do índice Cpk consideremos dois outros índices, que juntos com Cp e Cpk revelam diferentes aspectos do processo. 

Para especificação unilateral superior definimos

$$CPS = \dfrac{LSE - \mu}{3\sigma} = \dfrac{LSE - \mu}{\dfrac{\mbox{variabilidade inerente}}{2}}$$

Analogamente, para especificação unilateral inferior temos

$$CPI = \dfrac{\mu - LIE}{3\sigma}$$

em que μ é a média do processo.

A relação entre Cp e a dupla (CPI, CPS) é dada por

$$C_p = \dfrac{CPI + CPS}{2}$$

Podemos definir também uma generalização para o caso de especificações bilaterais por

$$C_{pk} = \mbox{mínimo entre $CPI$ e $CPS$}$$

$$C_{pk} = \min\{CPI, CPS\}$$

No caso de especificações bilaterais, o índice Cpk permite a avaliação da capacidade do processo na "pior situação possível". Neste sentido, a utilização do Cpk determina a estratégia "mais conservadora". Assim, um processo com Cpk alto oferece garantias de um comportamento satisfatório, enquanto a estabilidade seja mantida.

A relação entre Cp e Cpk é definida por

$$C_{pk} = C_p(1-k)$$

em que k é o fator que representa o quanto o processo está centrado

$$k = \dfrac{\mid m - \mu \mid}{(LSE - LIE)/2}$$

sendo m = (LSE - LIE)/2 o ponto central da especificação.

Observemos os índices de capacidade na Figura 2.1.1.


Figura 2.1.1: Índices de capacidade do processo.

 

Estimativa do desvio padrão

A seguir vamos apresentar diversos métodos para estimar o desvio padrão, que é parte fundamental da Capacidade do Processo.

Variabilidade a curto prazo

• Método 1: Tradicionalmente, ao estimar a variabilidade em um gráfico $ \overline{X} $ e R temos

$$\widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{R}}{d_2}$$

em que $ \overline{R} $ é a média das amplitudes dos subgrupos e a constante d2 é tabelada no Apêndice.

A seguir são analisadas algumas situações práticas:

  • Situação 1: Quando os dados são obtidos via um gráfico $ \overline{X} $ e R a estimativa tradicional ($ \overline{R}/d_2 $) não é influenciada pela variabilidade ocorrida entre os subgrupos.
  • Situação 2: Quando retiramos uma amostra de uma população o desvio padrão amostral (s) é a única forma de estimarmos a variabilidade.

 

• Método 2: Outra maneira de estimar a variabilidade a curto prazo é definida por

$$\widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{s}}{c_4}$$

em que $ \overline{s} $ é a média dos desvios padrão amostral dos subgrupos e c4 uma constante tabelada no Apêndice.

 

• Método 3: Desvio padrão agrupado

Outro método utilizado para estimarmos a variabilidade a curto prazo. É usado quando as amostras têm subgrupos de tamanhos variáveis, sendo definido por

$$\widehat{\sigma} = s_p$$

em que sp representa o desvio padrão agrupado (Spooled) e é dado por

$$s_p = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\overline{x}_i)^2}{\sum_{i=1}^{m}(n_i-1)}}$$

sendo

$$\overline{x}_i = \sum_{j=1}^{n_i}\dfrac{x_{ij}}{n_i}$$

Podemos também utilizar um fator de correção c4(d) com o objetivo de reduzir o vício da estimativa, com isso temos

$$\widehat{\sigma} = \dfrac{s_p}{c_{4}(d)}$$

em que

$$d = \left(\sum_{i=1}^{m}n_i\right) - m + 1$$

Os valores de c4(d) podem ser determinados através da relação

$$c_4(d) = \sqrt{\dfrac{2}{d-1}}\left(\dfrac{\Gamma(d/2)}{\Gamma((d-1)/2)}\right)$$

sendo $ \Gamma(\cdot) $ a função gama.

 

A seguir apresentamos um exemplo envolvendo os conceitos discutidos.

Exemplo 2.1.1: Consideremos um processo sob controle cujos dados seguem distribuição normal. Para este processo temos as seguintes especificações:

LSE = 10,9 , VN = 10,7  e  LIE = 10,5

Vamos supor que a média amostral do processo seja dada por $ \overline{x} $ = 10,662 e $ \overline{R} $ = 0,2, para um amostra com 3 elementos em cada subgrupo.

Vamos calcular a capacidade do processo como discutido acima. Primeiramente calcula-se o desvio padrão

$$\widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{R}}{d_2} = \dfrac{0,2}{1,693} = 0,118$$

em que d2 = 1,693 (para n = 3) tabelado no Apêndice.

A pior situação (aquela em que o processo gera a maior porcentagem de defeitos) é avaliada pelo Cpk, ou seja,

$$CPS = \dfrac{LSE - \mu}{3\widehat{\sigma}} = \dfrac{10,9 - 10,662}{3 \ast 0,118} = 0,67$$

$$CPI = \dfrac{\mu - LIE}{3\widehat{\sigma}} = \dfrac{10,662 - 10,5}{3 \ast 0,118} = 0,46$$

Assim,

$$C_{pk} = \min\{CPI, CPS\} = \min\{0,46; ~0,67\} = 0,46.$$

 

Tratamento de tolerâncias unilaterais

Em alguns casos, temos apenas limites superiores ou inferiores de engenharia. Assim, não temos como calcular o índice Cp. Nestes casos, o manual de CEP (2ª Edição) propõe a seguinte estratégia:

  • Apenas limite Superior 
    • Cpk = CPS; 
    • Cp não se aplica; 
    • CPI não se aplica.
  • Apenas limite Inferior
    •  Cpk = CPI; 
    • Cp não se aplica; 
    • CPS não se aplica.