5.1 - Análise de performance para dados binomiais

Dados com distribuição binomial estão associados com o número registrado de itens defeituosos em relação ao total de itens presentes na amostra.

O resultado de cada item avaliado deve ser obtido nas mesmas condições de avaliação dos demais itens.
Os resultados dos itens são independentes.
O resultado da avaliação de cada item é classificado em sucesso ou fracasso.

A proporção média é dada por

$\overline{p} = \dfrac{D_{Tot}}{N_{Tot}}$

em que

D_Tot = Soma das quantidades de itens defeituosos em cada amostra.

N_Tot = Quantidade de itens avaliados.

A porcentagem de defeituosos é dada por

$\%~\mbox{Defeituosos} = \overline{p} \ast 100$

Intervalo de confiança para porcentagem de defeituosos

Os limites inferior e superior (LI e LS) são dados por

$LI = \dfrac{\nu_{1} \ast F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1},~\nu_{2}\right)}}{\nu_2 +\nu_1 \ast F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1},~\nu_{2}\right)}}$

$LS = \dfrac{\nu_{3} \ast F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},~\nu_{3},~\nu_{4}\right)}}{\nu_4 +\nu_3 \ast F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},~\nu_{3},~\nu_{4}\right)}}$

$\%~\mbox{Defeituosos} ~LI = LI \ast 100$

$\%~\mbox{Defeituosos} ~LS = LS \ast 100$

em que

• $\nu_1 = 2 \ast D_{Tot}$

• $\nu_2 = 2 \ast (N_{Tot} - D_{Tot} + 1)$

• $\nu_3 = 2 \ast (D_{Tot} + 1)$

• $\nu_4 = 2 \ast (N_{Tot} - D_{Tot})$

• $F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_1,~\nu_2\right)}$ = quantil da distribuição F com $\nu_1$ e $\nu_2$ graus de liberdade e que deixa uma área de $\alpha/2$ à esquerda.

• $F_{\left(1 - \frac{\alpha}{2},~\nu_3,~\nu_4\right)}$ = quantil da distribuição F com $\nu_3$ e $\nu_4$ graus de liberdade e que deixa uma área de $1 - \alpha/2$ à esquerda.

Intervalo de confiança para PPM

PPM: É o número esperado de peças defeituosas em um milhão de peças produzidas.

$\mbox{Limite~inferior} = 1.000.000 \ast (LI)$

$\mbox{Limite~superior} = 1.000.000 \ast (LS)$

Índice de capacidade (Z)

Quanto maior o valor do índice de capacidade (Z) melhor é a performance do processo.

$\mbox{Processo~Z} = -1 \ast \phi^{-1}(\overline{p})$

em que

$\phi^{-1}(\overline{p})$ : quantil da distribuição normal padrão (0,1) com área acumulada igual a $\overline{p}$ . Essa função pode ser calculada diretamente pelo Software Action, para saber mais clique aqui.

Intervalo de confiança para o índice de capacidade (Z)

$\mbox{Limite~inferior} = -1 \ast \phi^{-1}(LI)$

$\mbox{Limite~superior} = -1 \ast \phi^{-1}(LS)$

Exemplo 5.1.1: Uma indústria está interessada em analisar a capacidade do processo no qual verifica-se a proporção de peças defeituosas em lotes de 1000 peças. Os dados estão na Tabela 5.1.1.

Tabela 5.1.1: Dados de lotes de peças.

Amostra	Peças defeituosas	Total de peças na amostra
1	432	1000
2	392	1000
3	497	1000
4	459	1000
5	433	1000
6	424	1000
7	470	1000
8	455	1000
9	427	1000
10	424	1000
11	410	1000
12	386	1000
13	496	1000
14	424	1000
15	425	1000
16	428	1000
17	392	1000
18	460	1000
19	425	1000
20	405	1000
TOTAL	8664	20000

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

$\overline{p} = \dfrac{D_{Tot}}{N_{Tot}} = \dfrac{8664}{20000} = 0,4332$

$\%~\mbox{Peças~defeituosas} = 43,32.$

Intervalo de confiança para % peças defeituosas

Calculando os valores de $\nu$ e F temos

$\nu_1 = 2 \ast D_{Tot} = 2 \ast (8664) = 17328$

$\nu_2 = 2 \ast (N_{Tot} - D_{Tot} + 1) = 2 \ast (20000 - 8664 + 1) = 22674$

$\nu_3 = 2 \ast (D_{Tot} + 1) = 2 \ast (8664 + 1) = 17330$

$\nu_4 = 2 \ast (N_{Tot} - D_{Tot}) = 2 \ast (20000 - 8664) = 22672$

$F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_1,~\nu_2\right)} = 0,9723927$

$F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},~\nu_3,~\nu_4\right)} = 1,028336$

Com isso, os limites são dados por

$\mbox{Limite inferior}~(LI) = \dfrac{\nu_{1} \ast F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1},~\nu_{2}\right)}}{\nu_2 + \nu_1 \ast F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1},~\nu_{2}\right)}}$

isto é,

$LI = \dfrac{17328 \ast 0,972}{22674 + (17328 \ast 0,972)} = \dfrac{16842,82}{22674 + 16842,82} = 0,426219$

$\%~LI~\mbox{para peças defeituosas} = LI \ast 100 = 0,426219 \ast 100 = 42,6219$

Já para o limite superior temos

$\mbox{Limite superior}~(LS) = \dfrac{\nu_{3} \ast F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},~\nu_{3},~\nu_{4}\right)}}{\nu_4 +\nu_3 \ast F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},~\nu_{3},~\nu_{4}\right)}}$