4.2.1 Estimativas dos parâmetros do modelo

Para obter as estimativas para vetor $\beta=(\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_p)$ dos parâmetros do modelo e a matriz de covariâncias será utilizado o método de máxima verossimilhança, da seguinte forma:

$\L~(\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_p|(x_i;m_i;y_i))=\sum^n_{i=1} \left[ y_i~ g(X) -m_i \, \ln (1+g(X))\right],~~~~(4.2.1.1)$

em que g(X) é dado por 4.2.1.

Derivando (4.2.1.1) em relação aos parâmetros, temos:

$\frac{\partial}{\partial\beta_0} \L(\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_p) = \sum^n_{i=1} y_i - \sum^n_{i=1} m_i \, \frac{e^{g(X)}}{1 + e^{g(X)}}.$

$\frac{\partial}{\partial\beta_j} ~\L(\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_p)=\sum^n_{i=1} y_i~x_j - \sum^n_{i=1} m_i \, x_j \, \frac{e^{g(X)}}{1 + e^{g(X)}}.$

Igualando a zero e substituindo os parâmetros pelos estimadores tem-se as seguintes equações:

$\sum^n_{i=1}~y_i~(1+ e^{g(X)}) - \sum^n_{i=1}m_i~e^{g(X)} = 0$

$\sum^n_{i=1}~y_i~x_i~(1+ e^{g(X)})-\sum^n_{i=1}m_i~x_i~e^{g(X)} = 0$

A solução dessas equações fornece as estimativas dos parâmetros do modelo, utilizando processos iterativos, análoga à estimação dos parâmetros do modelo de regressão logística simples.

Após obter as estimativas dos parâmetros do modelo podemos calcular as probabilidades ajustadas:

$\widehat{\pi}_i = \frac{e^{\hat{g}(X_i)}}{1 + e^{\hat{g}(X_i)}},$

em que

$\hat{g}(X_i)=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 X_{1i} + \ldots + \hat{\beta_p} X_{pi}.$

Exemplo 4.2.1.1:

Em uma empresa são fabricadas peças de ferro que são moldadas em moldes de areia. Entre as peças produzidas as que apresentam uma grande quantidade de areia incrustada são consideradas Refugo. A Volatilidade da Areia e o coeficiente RFV (Resistência ao Fluido Verde) influenciam na quantidade de areia incrustada. A partir dos dados da Tabela (4.2.1.1) avaliar a significância das variáveis e interação entre elas.

Observação	Quantidade Produzida	Refugo	Volatilidade	RFV
1	832	270	1,906	5,642
2	996	152	1,766	7,63
3	1224	289	1,673	5,253
4	712	2	1,982	5,223
5	2072	11	2	5,064
6	544	14	2,12	5,395
7	700	5	2,085	6,138
8	3840	47	1,97	5,82
9	1940	101	2,15	4,498
10	1005	17	2,37	6,478
11	1260	26	2,37	5,826
12	1815	308	2,597	6,052
13	1340	79	2,44	5,839
14	1485	134	2,473	5,08
15	1585	127	2,493	5,313
16	1095	83	2,43	5,21
17	1370	81	3,42	5,04
18	1405	58	3,607	5,2222

Tabela 4.2.1.1: Dados do molde de areia.

O seguinte modelo é proposto para o exemplo

$\mbox{Probabilidade de refugo}=\pi_i=\frac{e^{\beta_0 + \beta_1 \, x_1 +\beta_2 \, x_2+\beta_3 \,x^2_1 + \beta_4 \, x^2_2 + \beta_5 \, x_1x_2}}{1+e^{\beta_0 + \beta_1 \, x_1 +\beta_2 \,x_2+\beta_3 \,x^2_1 + \beta_4 \, x^2_2 + \beta_5 \, x_1x_2}}$

As estimativas dos parâmetros do modelo são:

$\widehat{\beta}_0$ = 30,3389   (Intercepto)
$\widehat{\beta}_1$ = -14,1496 (Volatilidade)
$\widehat{\beta}_2$ = -6,26927 (RFV)
$\widehat{\beta}_3$ = 1,101     (Efeito quadrático da Volatilidade)
$\widehat{\beta}_4$ = 0,2819    (Efeito quadrático do RFV)
$\widehat{\beta}_5$ = 1,5376    (Interação entre a Volatilidade e o RFV)

E as estimativas do odds ratio, como mostradas no caso do modelo de regressão logística simples, são:

$OR(\widehat{\beta}_1)$ = $\exp(-14,1496) = 0,00$
$OR(\widehat{\beta}_2)$ = $\exp(-6,26927) = 0,00$
$OR(\widehat{\beta}_3)$ = $\exp(1,101) = 3,01$
$OR(\widehat{\beta}_4)$ = $\exp(0,2819) = 1,33$
$OR(\widehat{\beta}_5)$ = $\exp(1,5376) = 4,65$