1.6 Medidas de Associação

1.6.1 Coeficiente de Determinação

Uma das formas de avaliar a qualidade do ajuste do modelo é através do coeficiente de determinação. Basicamente, este coeficiente indica quanto o modelo foi capaz de explicar os dados coletados. O coeficiente de determinação é dado pela expressão

$R^2=\dfrac{SQR}{SQT}=1-\dfrac{SQE}{SQT}=\dfrac{\widehat\beta_1\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})Y_i}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2},$

ou seja, é a razão entre a soma de quadrados da regressão e a soma de quadrados total. No modelo com intercepto, podemos escrever

$R^2=\dfrac{\widehat{\beta}_{1}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})Y_i}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2}=\dfrac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})Y_i\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})Y_i}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2}=\dfrac{\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})Y_i\right)^2}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2}.$

Notemos que

$0 \leq R^2 \leq 1.$

O $R^2$ é, portanto, uma medida descritiva da qualidade do ajuste obtido. Em geral referimo-nos ao $R^2$ como a quantidade de variabilidade nos dados que é explicada pelo modelo de regressão ajustado. Entretanto, o valor do coeficiente de determinação depende do número de observações $(n)$ , tendendo a crescer quando $n$ diminui. Se $n = 2$ , tem-se sempre $R^2 = 1.$

O $R^2$ deve ser usado com precaução, pois é sempre possível torná-lo maior pela adição de um número suficiente de termos ao modelo. Assim, se, por exemplo, não há dados repetidos (mais do que um valor $y$ para um mesmo $x$ ) um polinômio de grau $(n - 1)$ dará um ajuste perfeito $(R^2 = 1)$ para $n$ dados. Quando há valores repetidos, o $R^2$ não será nunca igual a 1, pois o modelo não poderá explicar a variabilidade devido ao erro puro.

Embora $R^2$ aumente com a adição de termos ao modelo, isto não significa necessariamente que o novo modelo é superior ao anterior. A menos que a soma de quadrados residual do novo modelo seja reduzida por uma quantidade igual ao quadrado médio residual original, o novo modelo terá um quadrado médio residual maior do que o original, devido a perda de 1 grau de liberdade. Na realidade esse novo modelo poderá ser pior do que o anterior.

A magnitude de $R^2$ , também, depende da amplitude de variação da variável regressora ( $x$ ). Geralmente, $R^2$ aumentará com maior amplitude de variação dos $x$ 's e diminuirá em caso contrário. Pode-se mostrar que

$E[R^2]\cong \dfrac{\widehat{\beta}^2_1 \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{\widehat{\beta}_1^2\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2+\sigma^2}.$

Assim, um valor grande de $R^2$ poderá ser grande simplesmente porque $x$ variou em uma amplitude muito grande. Por outro lado $R^2$ poderá ser pequeno porque a amplitude dos $x$ 's foi muito pequena para permitir que uma relação com $y$ fosse detectada. Em geral, também, $R^2$ não mede a magnitude da inclinação da reta. Um valor grande de $R^2$ não significa uma reta mais inclinada. Além do mais, ele não leva em consideração a falta de ajuste do modelo; ele poderá ser grande, mesmo que $y$ e $x$ estejam não linearmente relacionados. Dessa forma, vê-se que $R^2$ não deve ser considerado sozinho, mas sempre aliado a outros diagnósticos do modelo.

Exemplo 1.6.1

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Vamos calcular agora o coeficiente de determinação $R^2$ com os dados do exemplo na "Motivação 1".
Solução:

$R^2=\dfrac{(S_{xy})^2}{S_{xx}S_{yy}}=\dfrac{(-645)^2}{625*706,8}=\dfrac{416025}{441750}=0,9417.$

1.6.2 Coeficiente de Determinação Ajustado

Para evitar dificuldades na interpretação de $R^2$ , alguns estatísticos preferem usar o $R_a^2$ ( $R^2$ ajustado), definido para uma equação com p coeficientes como