3.3 Diagnóstico de Independência

Para verificar se os resíduos são independentes, podemos utililizar técnicas gráficas e testes. A seguir, temos o diagnóstico de independência por essas duas formas.

3.3.1 Gráfico dos Resíduos versus a Ordem de Coleta

Uma análise gráfica para verificar a hipótese de independência dos resíduos pode ser feita por meio do gráfico dos resíduos versus a ordem da coleta dos dados. Se ao avaliar o gráfico, percebemos uma tendência dos pontos, ou seja, se os pontos tiverem um comportamento que se repete em determinado ponto do gráfico, temos indícios de dependência dos resíduos.

Exemplo 3.3.1.1

Para os dados do exemplo na "Motivação 1", fazer o gráfico dos resíduos do modelo ajustado versus a ordem da coleta e avaliar a suposição de independência dos resíduos.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Usando o software Action temos o seguinte resultado:

Figura 3.3.1.1: Gráfico dos resíduos versus a ordem da coleta considerando os dados do exemplo na Motivação 1.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Analisando o gráfico vemos que os pontos não parecem ter uma tendência e por isso temos indícios de independência dos erros.

Exemplo 3.3.1.2

Considerando os dados transformados do exemplo na "Motivação 2", fazer o gráfico dos resíduos do modelo ajustado versus a ordem da coleta e avaliar a suposição de independência dos resíduos.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Usando o software Action temos o seguinte resultado:

Figura 3.3.1.2: Gráfico dos resíduos versus a ordem da coleta para os dados do exemplo na Motivação 2.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Novamente, verificamos pelo gráfico que os pontos não parecem ter uma tendência e por isso temos indícios de independência dos erros.

3.3.2 Teste de Durbin-Watson

O teste de Durbin-Watson é utilizado para detectar a presença de autocorrelação (dependência) nos resíduos de uma análise de regressão. Este teste é baseado na suposição de que os erros no modelo de regressão são gerados por um processo autoregressivo de primeira ordem, de acordo com

$\varepsilon_i=\rho\varepsilon_{i-1}+a_i,$

em que $\varepsilon_i$ é o termo do erro do modelo na i-ésima observação, $a_i\overset{iid}{\sim}N(0,\sigma_{a}^2)$ e $\rho$ ( $|\rho|\textless 1$ ) é o parâmetro de autocorrelação. Testamos a presença de autocorrelação por meio das hipóteses

$\left\{\begin{array}{cc}\mbox{H}_{0}:\rho=0.\\\mbox{H}_{1}:\rho \neq 0.\\\end{array} \right.$

Sendo $e_i$ o resíduo associado à i-ésima observação, temos que a estatística do teste de Durbin-Watson é dada por

$dw=\frac{\sum\limits_{i=2}^n(e_i-e_{i-1})^2}{\sum\limits_{i=1}^{n}e_i^2},$

em que $0 \leq dw \leq 4.$ A distribuição de $dw$ depende da matriz X. Entretanto, podemos tomar a decisão comparando o valor de $dw$ com os valores críticos $d_L$ e $d_U$ da Tabela de Durbin-Watson (Tabela 3.3.2.1). Assim,

se $0~\leq~dw~\textless~d_L \Rightarrow \mbox{rejeitamos}~H_0~\mbox{(dependência)};$
se $d_L~\leq~dw~\leq~d_U \Rightarrow \mbox{o~teste~é~inconclusivo};$
se $d_U~\textless~dw~\textless~4-d_U \Rightarrow \mbox{não~rejeitamos}~H_0~\mbox{(independência)};$
se $4-d_U~\leq~dw~\leq~4-d_L \Rightarrow \mbox{o~teste~é~inconclusivo};$
se $4-d_L~\textless~dw~\leq~4 \Rightarrow \mbox{rejeitamos}~H_0~\mbox{(dependência)}.$

Quando $0~\leq~dw~\textless~d_L$ temos evidência de uma correlação possitiva. Já quando $4-d_L ~\textless~dw~\leq~4$ , a correlação é negativa. No caso em que não rejeitamos $H_0$ , temos que não existe autocorrelação, ou seja, os resíduos são independentes. Podemos também tomar a decisão pelo p-valor.

Os valores críticos tabelados apresentados na Tabela 3.3.2.1 são geralmente utilizados para testar $\rho~=~0$ versus $\rho~\textgreater~0$ . Desta forma, se para um determinado $\alpha$ utilizarmos os valores da Tabela 3.3.2.1 para testar $\rho~=~0$ versus $\rho~\neq~0$ , o erro tipo I do teste em questão será $2\alpha$ .

	Nível de significância	Número de variáveis explicativas
	Nível de significância	1		2		3		4		5
n		$d_L$	$d_U$	$d_L$	$d_U$	$d_L$	$d_U$	$d_L$	$d_U$	$d_L$	$d_U$
	0,01	0,81	1,07	0,7	1,25	0,59	1,46	0,49	1,7	0,39	1,96
15	0,025	0,95	1,23	0,83	1,4	0,71	1,61	0,59	1,84	0,48	2,09
	0,05	1,08	1,36	0,95	1,54	0,82	1,75	0,69	1,97	0,56	2,21
	0,01	0,95	1,15	0,86	1,27	0,77	1,41	0,63	1,57	0,6	1,74
20	0,025	1,08	1,28	0,99	1,41	0,89	1,55	0,79	1,7	0,7	1,87
	0,05	1,2	1,41	1,1	1,54	1	1,68	0,9	1,83	0,79	1,99
	0,01	1,05	1,21	0,98	1,3	0,9	1,41	0,83	1,52	0,75	1,65
25	0,025	1,13	1,34	1,1	1,43	1,02	1,54	0,94	1,65	0,86	1,77
	0,05	1,2	1,45	1,21	1,55	1,12	1,66	1,04	1,77	0,95	1,89
	0,01	1,13	1,26	1,07	1,34	1,01	1,42	0,94	1,51	0,88	1,61
30	0,025	1,25	1,38	1,18	1,46	1,12	1,54	1,05	1,63	0,98	1,73
	0,05	1,35	1,49	1,28	1,57	1,21	1,65	1,14	1,74	1,07	1,83
	0,01	1,25	1,34	1,2	1,4	1,15	1,46	1,1	1,52	1,05	1,58
40	0,025	1,35	1,45	1,3	1,51	1,25	1,57	1,2	1,63	1,15	1,69
	0,05	1,44	1,54	1,39	1,6	1,34	1,66	1,29	1,72	1,23	1,79
	0,01	1,32	1,4	1,28	1,45	1,24	1,49	1,2	1,54	1,16	1,59
50	0,025	1,42	1,5	1,38	1,54	1,34	1,59	1,3	1,64	1,26	1,69
	0,05	1,5	1,59	1,46	1,63	1,42	1,67	1,38	1,72	1,34	1,7

Tabela 3.3.2.1: Valores críticos do teste de Durbin-Watson.

Exemplo 3.3.2.1

Utilizando o teste de Durbin Watson, verificar se os resíduos do modelo ajustado do exemplo na "Motivação 1" são independentes.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Para calcular a estatística de Durbin Watson, precisamos dos valores da Tabela 3.3.2.2.

$e$	$e_{t}-e_{t-1}$	${(e_{t}-e_{t-1})}^2$	$e_t^2$
-0,14	-	-	0,0196
-0,14	0	0	0,0196
-0,14	0	0	0,0196
-1,14	-1	1	1,2996
-2,14	-1	1	4,5796
3,02	5,16	26,62	9,1204
1,02	-2	4	1,0404
0,02	-1	1	0,0004
1,02	1	1	1,0404
1,02	0	0	1,0404
1,18	0,16	0,0256	1,3924
-2,82	-4	16	7,9524
-0,82	2	4	0,6724
2,18	3	9	4,7524
-0,82	-3	9	0,6724
0,34	1,16	1,34	0,1156
0,34	0	0	0,1156
0,34	0	0	0,1156
-2,66	-3	9	7,0756
0,34	3	9	0,1156
	Soma:	91,99	41,16

Tabela 3.3.2.2: Medidas para o cálculo da estatística de Durbin-Watson.

A estatística de teste é dada por

$dw=\frac{91,99}{41,16}=2,235.$

Para encontrar os valores críticos $d_L$ e $d_U$ na Tabela 3.3.2.1, devemos considerar $\alpha=\alpha^{*}/2$ , em que $\alpha^{*}$ é o nível de significância do teste. Para $\alpha^{*}=0,05$ temos que $\alpha=0,025$ . Assim, com $n=20$ e $k=1$ variável explicativa, temos que $d_L=1,08$ e $d_U=1,28$ . Como $d_U~=~1,28~\textless~2,235~\leq~4-d_U~=~2,72$ , não rejeitamos $H_0$ e portanto, podemos afirmar que com um nível de confiança de 95%, os resíduos são independentes.

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 3.3.2.2

Analogamente ao exemplo 3.3.2.1, vamos testar pelo teste de Durbin Watson se os resíduos do modelo ajustado do exemplo na "Motivação 2" são independentes.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Para o cálculo da estatística, precisamos dos valores da Tabela 3.3.2.3.

$e$	$e_t-e_{t-1}$	${(e_t-e_{t-1})}^2$	$e_t^2$
30,3464	-	-	920,9
15,4769	-14,8695	221,1	239,53
-30,3643	-45,8412	2101,42	921,99
-23,2338	7,1305	50,84	539,81
5,3414	28,5752	816,54	28,53
-11,8735	-17,2149	296,35	140,98
63,201	75,0744	5636,17	3994,36
-25,009	-88,2099	7780,99	625,45
-19,8784	5,1305	26,32	395,15
-37,0884	-17,2099	296,18	1375,55
-44,5841	-7,4958	56,19	1987,75
24,5563	69,1405	4780,4	603,01
37,4588	12,9025	166,48	1403,16
15,6505	-21,8083	475,6	244,94
	Soma	22704,58	13421,11

Tabela 3.3.2.3: Medidas para o cálculo da estatística de Durbin-Watson

A estatística de teste é dada por

$dw=\frac{22704,58}{13421,11}=1,6917.$

Analisando a Tabela 3.3.2.1 vemos que não há valores críticos $d_U$ e $d_L$ para $n=14$ . Desta forma, consideramos os valores aproximados para n=15. Com um nível de significância $\alpha^{*}=0,05$ $(\alpha=0,025)$ e $k=2$ variáveis explicativas, temos que $d_L~\approx~0,83$ e $d_U~\approx~1,40$ . Como $d_L~\approx~1,40~\textless~1,69~\textless~2,60~\approx4-d_L$ , com um nível de significância de 5%, não rejeitamos $H_0$ . Assim, dizemos que os resíduos são independentes.