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4.1.3 - Método analítico via modelo linear

Considere uma peça $ P_i $ onde controlamos uma característica da qualidade, por exemplo, o diâmetro. Denotamos por $ \pi_i $ a probabilidade da peça ser aprovada pelo sistema de medição passa não passa. Na prática, é importante relacionarmos o valor numérico da característica da qualidade da peça ($ \vg{x}_i $) com a probabilidade de aceitação da mesma pelo sistema de medição passa não passa. Assim, a peça $ P_i $ é enviada ao laboratório para medição da característica da Qualidade. Na nossa aplicação, a peça $ P_i $ é medida por um relógio comparador com resolução de $ 0,01~mm $, onde subtraímos o LSE de todas as medições, conforme Tabela 4.1.2.2 . De forma geral, tomamos

$$\pi_i = g(\vg{x}_i)$$

para todo $ i = 1,2,3, \cdots, k $ peças. Em particular, o MSA(2002) toma o modelo probito,

$$\pi_i = \Phi \left(\frac{\vg{x}_i - \mu}{b} \right).~~~~~~(4.1.3.1)$$

onde $ \Phi $ representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão e

  • $ \mu $: representa a média das medições das peças subtraída do LSE com a aplicação do sistema passa não passa (tendência),

  • $ \sigma^2 = b^2 $: variância das medições das peças com aplicação do sistema de medição passa não passa.

Assim, podemos definir as grandezas de interesse como os parâmetros tendência ($ \mu $) e  repe-titividade ($ \mid b' \mid\sqrt{n} $), onde $ n $ é o número de aplicações do sistema de medição passa não passa em cada peça. Através da expressão (4.1.3.1), temos que

$$\left(\frac{\vg{x}_i - \mu}{b} \right) = \Phi^{-1}(\pi_i),~~~~~(4.1.3.2)$$

e

$$\vg{x}_i = \mu + b\Phi^{-1}(\pi_i).~~~~~~(4.1.3.3)$$

O manual MSA(2002) propõe que as probabilidades sejam estimadas segundo a expressão (4.1.3.4) e que o método de mínimos quadrados seja aplicado para estimarmos a tendência e a repetitividade.

Figura 4.1.3.1: Estimativa da probabilidade de aceitação da peça versus valor da peça.

Na Figura 4.1.3.1, podemos visualizar o valor da medição da peça ($ \vg{x}_i $) com relação às estimativas da probabilidade de aceitação de cada peça. Com estas estimativas, aplicamos o modelos de regressão linear simples para estimarmos os parâmetros de interesse.

$$\pi_i' = \left\{\begin{array}{cc}\cfrac{y_i + 0,5}{n}\mbox{, se}~\cfrac{y_i}{n}~\textgreater~0,5~;\\\cfrac{y_i - 0,5}{n}\mbox{, se}~\cfrac{y_i}{n}~\textgreater~0,5~;\\0,5\mbox{, se}~\cfrac{y_i}n}~=~0,5\end{array}\right.~~~~~(4.1.3.4)$$

A partir dos resultados de nosso experimento (Tabela 4.1.2.2), obtemos as estimativas para a probabilidade de aceitação da peça  $ \pi_i' $ e para o quantil associado $ \Phi^{-1}(\pi_i') $ conforme Tabela 4.1.3.1.

Peça $ xi_ $ Aprovação Total $ \pi' $ $ \Phi^{-1}(\pi') $
1 -0,06 20 20 0,975 1,959
2 -0,05 20 20 0,975 1,959
3 -0,03 20 20 0,975 1,959
4 -0,02 8 20 0,425 -0,189
5 0 5 20 0,275 -0,597
6 0,01 3 20 0,175 -0,934
7 0,03 0 20 0,025 -1,959
8 0,05 0 20 0,025 -1,959

Tabela 4.1.3.1: Dados observados versus quantis da distribuição Normal.

As estimativas de mínimos quadrados são dadas por,

$$\mu' = -0,008117 ~~~~e~~~~\sigma' = \mid - 0,02124 \mid = 0,02124.$$

Com isso, concluímos que a estimativa da tendência do sistema de medição passa não passa é dada por $ -0,008117 ~ mm $. Além disso, a repetitividade do sistema de medição passa não passa é dada por:

$$\sigma^{'}_{rep} = \mid b' \mid\sqrt{n} = 0,02124 \times \sqrt{20} =0,095 ~mm.$$

Apesar da estimativa da tendência ser pequena em relação à tolerância $ (0,4 mm) $, obtemos que a repetitividade é alta.

Figura 4.1.3.2: Regressão ajustada = $ \vg{x}(\pi) = - 0,008117 - 0,02124*\Phi^{-1}(\pi_i') $.

Um ponto importante para análise consiste em testarmos se a tendência do sistema de medição passa não passa é significativa do ponto de vista estatístico. Para isto, o manual MSA(2002) propõe um teste para avaliarmos a tendência,

$$\left\{\begin{array}{c} H_0: \mu = 0\\H_1: \mu \neq 0.\end{array}\right.$$

A estatística do teste proposta pelo MSA (2002) é dada por, sob $ H_0 $,

$$t_0^{*} = \frac{(k - 1)* \sqrt{n}* \mu'}{\sigma^{'}_{rep}}\approx t_{(n - 1)}.$$

Na aplicação, obtemos p-valor de 0,007472 e com isso, rejeitamos $ H_0 $ para $ \alpha = 0,05 $. Portanto o sistema de medição passa não passa apresenta uma tendência significativa de -0,008 mm. Para uma tolerância ( Tol = LSE - LIE = 9,7 - 9,3 = 0,4 mm) de 0,4 mm concluímos que a tendência representa 2%. Em geral, uma tendência desta ordem ( 2% da tolerância ) não incomoda. No nosso exemplo, esta tendência foi detectada devido às características metrológicas do sistema de medição que mediu as peças ( resolução de 0,01 mm e incerteza e 0,006 mm ).

A partir da expressão (4.1.3.1) calculamos a estimativa da probabilidade do sistema de medição passa não passa aprovar a peça. Assim, considerando $ x_T = -0,06 $, temos que:

$$\pi^{'}(-0,06)=\Phi\left(\frac{(-0,06-(-0,008117))}{-0,02124}\right)\\=\Phi(2,44295)\\=0,9927163$$

A Figura 4.1.3.3 apresenta os resultados das estimativas da probabilidade do sistema de medição passa não passa aprovar peças para diferentes valores da característica da qualidade destas peças. Na seqüência, apresentamos o gráfico (Figura 4.1.3.4) para que possamos visualizar a probabilidade de aceitação em função do valor da característica da qualidade da peça, em nosso exemplo do seu diâmetro. Este gráfico é importante para que o grupo de engenharia possa avaliar a faixa de valores do diâmetro da peça onde o sistema de medição passa não passa possa cometer erros de classificação.


Figura 4.1.3.3:  Dados observados versus probabilidade da peça ser aprovada.

Figura 4.1.3.4: Probabilidade da peça ser aprovada versus característica da qualidade.

 

Exemplo 4.1.3.1

Um dispositivo de medição por atributo está sendo usado para medir uma dimensão que tem tolerância de $ \pm 0,010 $. O Dispositivo de medição é usado em inspeção automática 100%, de fim de linha, e é afetado pela repetitividade e tendência. Para fazer o estudo de dispositivo de medição de atributo, 8 peças com medidas padrão em intervalos de 0,002 e -0,016 a -0,002 são passadas pelo dispositivo de medição 20 vezes cada. Os números de aceitações para cada peça estão na Tabela 4.1.3.1:

 

$ x_i $ Aprovação
-0,016 0
-0,014 3
-0,012 8
-0,01 20
-0,008 20
-0,006 20
-0,004 20
-0,002 20

Tabela 4.1.3.2: Dados do experimento

Uma vez que existem dois valores de referência com $ 1 \leq a \leq 19 $, no mínimo quatro peças a mais devem ser encontradas. Conseqüentemente, é necessário passar peças com valores de referência nos pontos médios dos intervalos existentes. Estes valores de referência e os números de aceitação estão mostrados na Tabela 4.1.3.3:

 

$ x_i $ Aprovação
-0,015 1
-0,013 8
-0,011 16

Tabela 4.1.3.3: Continuação dos dados do experimento.

Agora nós temos cinco valores de referência com  $ 1 \leq a \leq 19 $. O procedimento exige que mais de uma peça seja encontrada com $ 1 \leq a \leq 19 $. Conseqüentemente, a seguinte peça mostrada na Tabela 4.1.3.4 é avaliada:

 

$ x_i $ Aprovação
-0,0105 18

Tabela 4.1.3.4: Peça avaliada.

Ressaltamos que essas medidas estão dispostas ao redor do Limite Inferior. Por exemplo:


Figura 4.1.3.5: Classificação das peças no sistema de medição passa - não passa.

Agora que os critérios de coleta dos dados foram satisfeitos, calculamos $ \pi_i' $ e $ \Phi^{-1}(\pi_i') $, conforme Tabela 4.1.3.5.

 

$ X_i $ Aprovação Total $ \pi' $ $ \Phi^{-1}(\pi_i') $
-0,016 0 20 0,025 -1,959
-0,015 1 20 0,075 -1,439
-0,014 3 20 0,175 -0,934
-0,013 5 20 0,275 -0,597
-0,012 8 20 0,425 -0,189
-0,011 16 20 0,775 0,755
-0,0105 18 20 0,875 1,150
-0,01 20 20 0,975 1,959
-0,008 20 20 0,975 1,959

Tabela 4.1.3.5: Cálculos.

Traçando o gráfico de regressão, de $ x_i $ com relação a $ \Phi^{-1}(\pi_i') $, temos que:

Figura 4.1.3.6: Regressão ajustada = $ \vg{x}(\pi) = - 0,0123 + 0,001735*\Phi^{-1}(\pi_i') $.

Portanto a equação é:

$$x_i = \mu' + b*\Phi^{-1}(\pi_i')$$

$$x_i = - 0,0123 + 0,001735*\Phi^{-1}(\pi_i')$$

Assim:

$$\mbox{Tendência} = \mu'=-0,0123$$

Para determinar a repetitividade, precisamos encontrar o valor correspondente a:

$ \pi_i' = 0,995 $ e $ \pi_i' = 0,005 $, logo temos

Para $ \pi_i' = 0,995 $:

$$x_i = - 0,0123 + 0,001735*\Phi^{-1}(0,995)$$

$$= - 0,0123 + 0,001735*(2,5758)$$

$$=-0,007832$$

Para $ \pi_i' = 0,005 $:

$$x_i = - 0,0123 + 0,001585*\Phi^{-1}(0,005)$$

$$= - 0,0123 + 0,001735*(-2,5758)$$

$$=-0,01677$$

Deste modo:

$$\sigma'_{rep}=\frac{\pi_i'(0,995)-\pi_i'(0,005)}{\frac{5,15}{\sqrt{20}}}=\frac{-0,007832-(-0,01677)}{\frac{5,15}{4,472}}= \frac{0,00894}{1,1515}=0,007763$$

Ou ainda,

$$\sigma'_{rep}= b*\sqrt{n} = 0,001735*\sqrt{20}=0,007763$$

Para verificar se a tendência é significativa, fazemos:

$$t_0^{*}=\frac{(9-1)*\sqrt{20}*\mid\mbox{Tendência}\mid}{\sigma'_{rep}}=\frac{35,77*\mbox{Tendência}}{\sigma'_{rep}}=\frac{-0,4401}{\sigma'_{rep}}=56,71$$

Como $ t_0^{*} = 56,71 \textgreater t_{0,025(19)} = 2,093 $, então rejeitamos a hipótese nula, ou seja, a tendência é diferente de zero.

Considerando $ x_i = -0,016 $ a probabilidade do dispositivo de medição aprovar a peça é dada por

$$=\Phi \left(\frac{-0,016 -(-0,0123)}{0,001735}\right)$$

$$=\Phi(-1,9599)$$

$$=0,01655$$

A Figura  apresenta o resultado da probabilidade do dispositivo de medição aprovar a peça para valores
da variável $ x_i $.



Figura 4.1.3.7: Resultados.

Tomando-se os dados da Figura 4.1.3.7 temos o gráfico valores de referência versus a probabilidade da peça ser aprovada, conforme Figura 4.1.3.8:

Figura 4.1.3.8: Gráfico Valores de referência versus a probabilidade da peça ser aprovada.