1.4 - Observações Repetidas

Agora veremos o caso em que, ao observarmos uma amostra, encontramos valores repetidos.

Consideremos uma amostra de tamanhos n. Os passos para a realização deste teste são análogos ao do caso anterior. O que mudará neste caso são os postos: quandos os módulos dos números se repetem, teremos postos iguais para os números. O posto desses números será a média entre os postos que eles assumiriam no caso comum. Os postos dos números que não se repetem continuam sendo os números associados à posição em que o valor se encontra na listagem.

Para um maior esclarecimento consideremos a seguinte sequência de números:

-8

-15

-39

Os postos no caso comum seriam:

Valor	-8	9	-15	15	16	18	32	32	32	-39
Posto	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Mas observe que nesta sequência o número 15 aparece 2 vezes e o número 32 aparece 3 vezes. Assim, temos repetições. Portanto, o posto dos dois números 15 será a média dos números que correspondem à suas colocações na listagem, ou seja, (3+4)/2 = 3,5. De maneira análoga, o posto dos três números 32 será (7+8+9)/3 = 8. Os valores que não se repetem continuam com os mesmos postos. Então, temos que os valores observados e seus respectivos postos são

Valor	-8	9	-15	15	16	18	32	32	32	-39
Posto	1	2	3,5	3,5	5	6	8	8	8	10

Se tivermos valores 0 na amostra, eliminamos estes valores e realizamos o teste para os valores restantes.

Exemplo 1.4.1: Suponha que em um teste de Wilcoxon temos os seguintes desvios:

-7

-11

Como temos dois valores 0 no conjunto de dados, esses valores são eliminados e ficamos com os dados restantes, isto é,

-7

-9

-11

A seguir, calculamos o módulo de cada elemento do conjunto de dados e atribuimos a ele, seu posto correspondente. Desta forma, os postos serão:

Z_i	3	-7	9	-9	-11	11	11	14	16	17	17	18
Posto	1	2	3,5	3,5	6	6	6	8	9	10,5	10,5	12

Observação: Para amostras que possuem valores repetidos ou valores zeros, o p-valor e o intervalo de confiança para um teste de Wilcoxon não são calculados de forma exata e os testes realizados são sempre assintóticos (utilizando aproximação normal).

Observações repetidas

Se existem r conjuntos diferentes de repetições, seja d_i, i = 1, ..., r o número de observações repetidas no conjunto i. Definimos d₀ como o número de zeros existente na amostra. Neste caso, a estatística Z, dada por

$Z = \frac{T^{+}-\frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)-d_{0}(d_{0}+1)(2d_{0}+1)}{24} - \frac{\sum_{i=1}^{r}(d_{i}^3-d_{i})}{48}}}.~~~(1.4.1)$

tem uma distribuição aproximadamente normal, para valores grandes de n.

Vejamos os passos para aplicar o Teste de Wilcoxon para observações repetidas.

1. Estabeleça uma hipóteses:

$\left\{\begin{array}{l}H_0:\theta=\theta_{0}\\H_1:\theta\neq\theta_{0}\end{array}\right.\quad \left\{\begin{array}{l}H_0:\theta=\theta_0\\H_1:\theta \ \textgreater \ \theta_0\end{array}\right.\quad \left\{\begin{array}{l}H_0:\theta=\theta_0\\H_1:\theta \ \textless \ \theta_0\end{array}\right.$

2. Primeiramente, subtraimos θ₀ de cada valor X_i, i = 1, ..., n da amostra e assim obtemos um novo conjunto de dados, (X₁ - θ₀, ..., X_n- θ₀).

3. Ordenamos de forma crescente os módulos dos valores desse novo conjunto de dados e associamos a cada valor o posto correspondente, sendo esse posto como definido acima.

4. Calculamos o valor da estatística T⁺, que foi definida como sendo a soma dos postos dos elementos que tem sinal positivo.

5. Seja d_i, i = 1, ..., r o número de observações repetidas, se existem r conjuntos de diferentes repetições. Calculamos o valor de Z através da equação (1.4.1). Em seguida, fixamos o nível de significância α.

6. Encontramos na Tabela da distribuição Normal os valores críticos.

Se o teste é bilateral, encontramos os valores Z_α/2 e -Z_α/2.
Se o teste é unilateral à direita, encontramos o valor crítico Z_α .
Se o teste é unilateral à esquerda, encontramos o valor crítico -Z_α.

7. Critério:

No caso bilateral, rejeitamos a hipótese nula se $Z_{obs} \ \textgreater \ Z_{\alpha/2}$ ou $Z_{obs} \ \textless \ -Z_{\alpha/2}$ , caso contrário, não rejeitamos a hipótese nula.
No caso unilateral à direita, rejeitamos a hipótese nula se $Z_{obs} \ \textgreater \ Z_{\alpha}$ , caso contrário, não rejeitamos a hipótese nula.
No caso unilateral à esquerda, rejeitamos a hipótese nula se $Z_{obs} \ \textless \ -Z_{\alpha}$ , caso contrário, não rejeitamos a hipótese nula.

8. Cálculo do p-valor

Se o teste é bilateral, o p-valor é calculado da seguinte forma

$P-valor = P[|Z| \ \textgreater \ |Z_{obs}||H_0]=2P[Z \ \textgreater \ |Z_{obs}|].$

Se o teste é unilateral à direita, então o p-valor é dado por

$P-valor = P[Z \ \textgreater \ Z_{obs}|H_0].$

Se o teste é unilateral à esquerda, então o p-valor é dado por

$P-valor = P[Z \ \textgreater \ Z_{obs}|H_0].$

Correção de Continuidade

Se o teste é bilateral, então calculamos o valor A dado por

$A = T^+-\frac{n(n+1)}{4}$

e, se A ≥ 0 segue que a estatística será dada por

$Z_{cor}=\frac{T^+-\frac{1}{2}-\frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)-d_0(d_0+1)(2d_0+1)} {24}-\frac{\sum_{i=1}^{r}(d_{i}^3-d_{i})}{48}}}$

e se A < 0, a estatística será dada por

$Z_{cor}=\frac{T^++\frac{1}{2}-\frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)-d_0(d_0+1)(2d_0+1)} {24}-\frac{\sum_{i=1}^{r}(d_{i}^3-d_{i})}{48}}}.$

Se o teste é unilateral à direita, a estatística será dada por

$Z_{cor}=\frac{T^+-\frac{1}{2}-\frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)-d_0(d_0+1)(2d_0+1)} {24}-\frac{\sum_{i=1}^{r}(d_{i}^3-d_{i})}{48}}}.$

Se o teste é unilateral à esquerda, a estatística será dada por

$Z_{cor}=\frac{T^++\frac{1}{2}-\frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)-d_0(d_0+1)(2d_0+1)} {24}-\frac{\sum_{i=1}^{r}(d_{i}^3-d_{i})}{48}}}.$

Exemplo 1.4.2: Consideremos a amostra:

153	166	181	192	244	248	258	264	296	305	305	312
330	340	356	361	395	427	433	467	544	551	625	783

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Use o teste de Wilcoxon para testar as hipóteses

$\left\{\begin{array}{cc} H_0:\theta=220\\H_1:\theta \neq 220\\\end{array}\right.$

Subtraíndo 220 de cada valor da amostra e colocando todos os valores obtidos em ordem crescente de magnitude, obtemos:

24	-28	28	38	-39	44	-54	-67	76	85	85	92
110	120	136	141	175	207	213	247	324	331	405	563

A seguinte tabela nos dá os desvios obtidos acima, seus respectivos postos e os valores R_iψ_i.

Valor	24	-28	28	38	-39	44	-54	-67	76	85	85	92
Posto	1	-2,5	2,5	4	-5	6	-7	-8	9	10,5	10,5	12
R_iψ_i	1	0	2,5	4	0	6	0	0	9	10,5	10,5	12
Valor	110	120	136	141	175	207	213	247	324	331	405	563
Posto	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
R_iψ_i	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24

A partir dos valores R_iψ_i, calculamos o valor T⁺, dado por

$T^+=\sum_{i=1}^{24}R_i\Psi_i=277,5.$

Com temos duas repetições envolvendo duas observações, segue que $d_{1}=d_{2}=2$ e $n=24$ .

A estatística Z é dada por

$Z=\frac{277,5-150}{\sqrt{\frac{24(24+1)(48+1)}{24}-\frac{(6+6)}{48}}}=3,643229.$

Neste caso, o p-valor é dado por

$P-valor = P[|Z| \ \textgreater \ |Z_{obs}||H_0]=2P[Z \ \textgreater \ 3,643229]=0,000269239.$

Conclusão: Rejeitamos H₀ se considerarmos qualquer nível de significância maior que 0,0269239%.

Utilizando o software Action temos os seguinte resultados:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Utilizando a correção de continuidade, como o teste é bilateral, temos que A é dado por

$A = T^+-\frac{n(n+1)}{4}=277,5-\frac{24\times25}{4}=277,5-150=127,5 \ \textgreater \ 0.$

Então, utilizando a correção de continuidade, a estatística Z_cor é calculada da seguinte forma

$Z_{cor}=\frac{277,5-0,5-150}{\sqrt{\frac{24(24+1)(48+1)}{24}-\frac{(6+6)}{48}}}=3,628942$

e, neste caso, o p-valor é dado por

$P-valor = P[|Z| \ \textgreater \ |Z_{obs}||H_0]=2P[Z \ \textgreater \ 3,628942]=0,000284585$

Conclusão: Rejeitamos H₀ se considerarmos qualquer nível de significância maior que 0,0284585%.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

1.4 - Observações Repetidas

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