2 - Teste de Wilcoxon-Mann-Whitney - Amostras Independentes

Consideremos duas populações P₁ e P₂ das quais não temos informações a respeito de suas distribuições, mas as variáveis envolvidas tenham uma escala de medida pelo menos ordinal. Ou seja, podemos abordar o caso de variáveis aleatórias qualitatitvas ordinais ou quantitativas. Consideremos também duas amostras independentes das duas populações. Queremos testar se as distribuições são iguais em localização, isto é, estaremos interessados em saber se uma população tende a ter valores maiores do que a outra, ou se elas têm a mesma mediana. Este teste é chamado de Teste de Wilcoxon-Mann-Whitney.

O teste de Wilcoxon-Mann-Whitney é baseado nos postos dos valores obtidos combinando-se as duas amostras. Isso é feito ordenando-se esses valores, do menor para o maior, independentemente do fato de qual população cada valor provém.

No caso de termos uma variável aleatória qualitativa ordinal, comumente associamos números às diversas categorias (ou classes, ou atributos), segundo as quais a variável é classificada. Por exemplo, podemos ter 1 para bom, 2 para muito bom e 3 para ótimo. Vemos, então, que esses valores são postos. Neste caso e em outras situações é preferível trabalhar com postos do que com valores arbitrários associados à variável qualitativa.

Sejam X₁, X₂, ..., X_m uma amostra aleatória da população P₁ e Y₁, Y₂, ..., Y_n uma amostra aleatória da população P₂ de modo que os X_i's são independentes e identicamente distribuídos e os Y_i's são independentes e identicamente distribuídos. Além disso, suponha que os X_i's e os Y_i's são mutuamente independentes e tome a amostra Y aquela com o menor tamanho amostral, isto é, n ≤ m.

Para aplicar o teste de Wilcoxon-Mann-Whitney, supomos que F e G sejam as funções de distribuição correspondentes as populações P₁ e P₂, respectivamente e, neste caso, consideramos como hipótese nula, a hipótese

$H_0: F(t)=G(t) \ \hbox{para todo} \ t.$

A hipótese alternativa consiste em considerar que Y tende a ser maior (ou menor) que X. Um modelo útil para descrever esta alternativa é um modelo de translação chamado modelo de mudança de posição. Neste modelo temos que

$G(t)=F(t-\Delta) \ \hbox{para todo} \ t.$

Outra maneira de interpretação é considerar que Y tem a mesma distribuição de X+Δ. Neste caso, considerando que a esperança E(X) da população 1 exista e tomando E(Y) como a esperança da população 2, segue que

$\Delta = E(Y)-E(X)$

e, desta forma, a hipótese nula H₀ se reduz a

$H_0:\Delta=0.$

Com isto, estabelecemos uma das seguintes hipóteses em um teste de Wilcoxon-Mann-Whitney:

$\left\{\begin{array}{l}H_0:\Delta=0\\H_1:\Delta\neq0\end{array}\right.\quad\left\{\begin{array}{l} H_0:\Delta=0\\H_1:\Delta \ \textgreater \ 0\end{array}\right.\quad\left\{\begin{array}{l} H_0:\Delta=0\\H_1:\Delta \ \textless \ 0\end{array}\right.$

Em seguida, ordenamos todos os valores (das duas amostras) em ordem crescente e colocamos os postos associados. Consideramos S_m e S_n as somas dos postos relacionados aos elementos das amostras X e Y respectivamente. A partir dos valores S_m e S_n, calculamos os valores

$U_{m} = S_{m}-\frac{1}{2}m(m+1)~~~(2.1)$

$U_{n} = S_{n}-\frac{1}{2}n(n+1).~~~(2.2)$

Como S_m+ S_n é igual a soma de todos os postos (das duas amostras), isto é,

$S_{m}+S_{n} = \frac{1}{2}(m+n)(m+n+1)~~~(2.3)$

é fácil ver que os valores U_m e U_n estão relacionados segundo a equação abaixo

$U_{m} = mn - U_{n}~~~(2.4)$

por isso, apenas um dos U_m, U_n precisa ser calculado e, através da equação (2.4) encontramos o valor do outro de maneira fácil. No teste de Wilcoxon-Mann-Whitney, a estatística W do teste será dada por U_n.

Exemplo 2.1: Duas amostras forneceram os seguintes valores de certa variável.

Amostra 1:

29	39	60	78	82	112	125	170
192	224	263	275	276	286	369	756

Amostra 2:

126	142	156	228	245	246
370	419	433	454	478	503

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Temos na Tabela (2.1) todos os valores amostrais em ordem crescente e os postos associados. Para facilitar a identificação, valores e postos da segunda amostra foram sublinhados.

Valor	29	39	60	78	82	112	125	126	142	156
Posto	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Valor	170	192	224	228	245	246	263	275	276	286
Posto	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Valor	369	370	419	433	454	478	503	756
Posto	21	22	23	24	25	26	27	28