4 - Teste de Kruskal Wallis

O teste de Kruskal-Wallis (KW) é uma extensão do teste de Wilcoxon-Mann-Whitney. É um teste não paramétrico utilizado para comparar três ou mais amostras. Ele é usado para testar a hipótese nula de que todas as populações possuem funções de distribuição iguais contra a hipótese alternativa de que ao menos duas das populações possuem funções de distribuição diferentes.

Figura 4.1: William Henry Kruskal (1919 - 2005); Wilson Allen Wallis (1912-1998).

O teste de Kruskal-Wallis é o análogo ao teste F utilizado na ANOVA 1 fator. Enquanto a análise de variância dos testes dependem da hipótese de que todas as populações em confronto são independentes e normalmente distribuídas, o teste de Kruskal-Wallis não coloca nenhuma restrição sobre a comparação. Suponha que os dados provenham de k amostras aleatórias independentes com tamanhos amostrais n₁, n₂, ..., n_k sendo N = n₁+ n₂+ ... + n_k o número total de elementos considerados em todas as amostras.

Amostra 1	$X_{11}$	$X_{12}$	$\ldots$	$X_{1,n_1}$
Amostra 2	$X_{21}$	$X_{22}$	$\dots$	$X_{2,n_2}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
Amostra k-1	$X_{k-1,1}$	$X_{k-1,2}$	$\dots$	$X_{k-1,n_{k-1}$
Amostra k	$X_{k,1}$	$X_{k,2}$	$\dots$	$X_{k,n_k}$

Hipóteses

1) As N variáveis aleatórias $\{X_{j1}, X_{j2}, \ldots, X_{j,n_j}\}$ com $j=1,2,\ldots, k$ são mutuamente independentes.

2) Para cada $j\in \{1,\ldots,k\}$ as n_j variáveis aleatórias $\{X_{j1},X_{j2},\ldots,X_{j,n_j}\}$ são uma amostra aleatória de uma distribuição contínua com função de distribuição F_j.

3) As funções de distribuição F₁, F₂, ..., F_k se relacionam através da relação

$F_j(t)=F(t-\tau_j),\quad -\infty \ \textless \ \infty,$

para j = 1, 2, ..., k, onde F é uma função de distribuição para uma distribuição contínua com mediana desconhecida e τ_j é o tratamento de efeito desconhecido para a população j.

Neste caso, a hipótese nula H₀ de interesse é a de que não há diferença entre os tratamentos de efeito τ₁, τ₂, ..., τ_k, isto é

$H_0: \tau_1=\tau_2=\ldots=\tau_k.$

Esta hipótese nula garante que cada função de distribuição F₁, F₂, ..., F_k é igual, ou seja, F₁= F₂ = ... = F_k.

Para aplicar o método de Kruskal-Wallis, primeiramente ordenamos todas as N observações das k amostras da menor para a maior observação e consideramos r_ij como sendo o posto de X_ij. Tomamos

$R_i=\sum_{j=1}^{n_i}r_{ij} \quad \hbox{e} \quad R_{i\cdot}=\frac{R_i}{n_i}, \quad i = 1,\ldots, k.$

Deste modo, temos por exemplo, que R₁ é a soma dos postos dos elementos da amostra 1 e R_i. é o posto médio destas mesmas observações. A estatística de Kruskal-Wallis H, será dada por

$H=\frac{\frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^kn_i\left(R_{i\cdot}-\frac{N+1}{2}\right)^2}{1-\frac{ \sum_{j=1}^g t_j^3-t_j}{N^3-N}}=\frac{\left(\frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^k \frac{R_i^2}{n_i} \right)-3(N+1)}{1-\frac{\sum_{j=1}^g t_j^3-t_j}{N^3-N}}$

onde t_j é o tamanho do grupo de elementos repetidos j e g é o número de grupos. Uma observação que não se repete é considerada como um grupo de tamanho 1. Esta estatística tem, aproximadamente, uma distribuição qui-quadrado com k-1 graus de liberdade.

Os passos para realização deste teste são dados a seguir:

1. Estabelecemos as hipótese

$\left\{\begin{array}{l}H_0:\tau_1=\tau_2=\ldots=\tau_k\\H_1:\tau_1,\tau_2,\ldots,\tau_n \ \mbox{não são todos iguais}\end{array}\right.$

2. Ordenamos de forma crescente de magnitude os valores deste novo conjunto de dados e associamos a cada valor seu posto correspondente, tendo cada posto o mesmo sinal do valor que este representa.

3. Calculamos o valor da estatística H. Em seguida, fixamos o nível de significância α.

4. Encontramos os valores críticos referentes ao nível de significância fixado. Neste caso, calculamos os valores Q_α/2 e Q_1-α/2 de modo que P[H ≤ Q_α/2] = P[H ≥ Q_1-α/2] = α/2.

5. Se H_obs < Q_α/2 ou se H_obs > Q_1-α/2 rejeitamos a hipótese nula de que as amostras provém de populações igualmente distribuídas e se Q_α/2 ≤ H_obs ≤ Q_1-α/2 não rejeitamos a hipótese de que as amostras provém de populações igualmente distribuídas.

6. O p-valor é calculado da seguinte forma

$P-valor = P[\chi^2_{k-1} \geq H|H_0]$

Exemplo 4.1: Os dados a seguir são de uma experiência clássica agrícola para avaliar o rendimento de culturas divididas em quatro grupos diferentes. Para manter a simplicidade, identificamos os tratamentos usando os números inteiros {1,2,3,4}. Queremos avaliar se os dados provém de distribuições igualmente distribuídas.

Grupos	Resposta
1	83
1	91
1	94
1	89
1	89
1	96
1	91
1	92
1	90
1	84
2	91
2	90
2	81
2	83
2	84
2	83
2	88
2	91
2	89
3	101
3	100
3	91
3	93
3	96
3	95
3	94
3	81
4	78
4	82
4	81
4	77
4	79
4	81
4	80

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

1. Estabelecemos as hipóteses:

$\left\{\begin{array}{l}H_0:\tau_1=\tau_2=\ldots=\tau_k\\H_1:\tau_1,\tau_2,\ldots,\tau_n \ \mbox{não são todos iguais}\end{array}\right.$

2. A partir dos dados temos a seguinte tabela, relacionando os postos de cada elemento, os tamanhos amostrais de cada grupo e os valores R_i para cada grupo:

j	r_1j	r_2j	r_3j	r_4j
1	11	23	34	2
2	23	19,5	33	9
3	28,5	6,5	23	6,5
4	17	11	27	1
5	17	13,5	31,5	3
6	31,5	11	30	6,5
7	23	15	28,5	4
8	26	23	6,5
9	19,5	17
10	13,5
R_i	210	139,5	213,5	32
N	34	34	34	34
ni	10	9	8	7

3. Cálculo da estatística H.

$H=\frac{\left(\frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^k \frac{R_i^2}{n_i} \right)-3(N+1)}{1-\frac{\sum_{j=1}^g t_j^3-t_j}{N^3-N}}=$

$=\frac{0,010084034*(122,5+36+675,28125+1170,035714)}{1-0,006417112}=$

$=20,337.$

4. Cálculo dos valores críticos.

Fixando o nível de significância α = 0,05 e sabendo que k = 4, temos que os valores críticos são os pontos Q_0,025 e Q_0,975 tais que P[H ≤ Q_0,025] = P[H ≥ 0,975] = 0,025.

Neste caso, temos que Q_0,025 = 0,2157953 e Q_0,975 = 9,348404.

5. Critério de rejeição.

Como H_obs = 20,337 > Q_0,975 = 9,340484, rejeitamos a hipótese nula.

6. Neste caso, o p-valor é dado por

$P-valor = P[\chi^2_{k-1}\geq H_{obs}]=P[\chi^2_{3}\geq 20,337]=0,0001445.$