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4.1.4 Intervalos de Confiança

4.1.4.1 Intervalo de Confiança para os parâmetros

A base da construção das estimativas do intervalo de confiança para os parâmetros é a mesma teoria estatística que usamos para os testes de significância do modelo. Em particular, um intervalo de confiança para a inclinação e intercepto são baseados em seus respectivos testes de Wald. O intervalo de confiança de $ 100(1-\alpha) $% para o parâmetro $ \beta_1 $ é:

$$IC(\beta_1,1-\alpha)= [\hat{\beta_1}-z_{1-\alpha/2}DP(\hat{\beta_1});~~~\hat{\beta_1}+z_{1-\alpha/2}DP(\hat{\beta_1})].$$

E para o intercepto:

$$IC(\beta_0,1-\alpha)= [\hat{\beta_0}-z_{1-\alpha/2}DP(\hat{\beta_0});~~~\hat{\beta_0}+z_{1-\alpha/2}DP(\hat{\beta_0})],$$

em que $ z_{1-\alpha/2} $ é o ponto da normal padrão correspondente a $ 100(1-\alpha/2) $%.

4.1.4.2 Intervalo de Confiança para Logito

A logito é a parte linear do modelo de regressão logística. O estimador para logito é:

$$\hat{g}(x)=\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}x.$$

O estimador da variância do estimador da logito requer a obtenção da variância da soma. No caso é:

$$\hat{Var}[\hat{g}(x)]=\hat{Var}(\hat{\beta_0})+x^2\hat{Var}(\hat{\beta_1})+2x\hat{Cov}(\hat{\beta_0},\hat{\beta_1}).~~~~~~~~~(4.1.4.2.1)$$

O intervalo de confiança para a logito é:

$$IC(g(x),1-\alpha)= [\hat{g}(x)-z_{1-\alpha/2}DP(\hat{g}(x));~~~\hat{g}(x)+z_{1-\alpha/2}DP(\hat{g}(x))],$$

em que $ DP(\hat{g}(x)) $ é a raiz quadrada de 4.1.4.2.1 e $ z_{1-\alpha/2} $ é o ponto da normal padrão.

4.1.4.3 Intervalo de Confiança para os valores ajustados

O estimador do logito e seu intervalo de confiança fornece o estimador dos valores ajustados. O intervalo de confiança dos valores ajustados é dado por:

$$IC(\pi,1-\alpha)= \left[\frac{e^{\hat{g}(x)-z_{1-\alpha/2}DP(\hat{g}(x))}}{1+e^{\hat{g}(x)-z_{1-\alpha/2}DP(\hat{g}(x))}};~~~\frac{e^{\hat{g}(x)+z_{1-\alpha/2}DP(\hat{g}(x))}}{1+e^{\hat{g}(x)+z_{1-\alpha/2}DP(\hat{g}(x))}}\right].~~~~~(4.1.4.2.2)$$

4.1.4.4 Intervalo de Confiança para a Odds Ratio

Sejam os limites do intervalo de confiança para $ \beta_1 $:

$ \beta_{I}=\hat{\beta_1}-z_{1-\alpha/2}DP(\hat{\beta_1}) $ e $ \beta_{S}=\hat{\beta_1}+z_{1-\alpha/2}DP(\hat{\beta_1}). $

O intervalo de confiança para a Odds Ratio é:

$$IC(Odds~Ratio,1-\alpha)= [e^{\beta_{I}}; ~~~~e^{\beta_{S}}].~~~~~(4.1.4.2.3)$$

Exemplo 4.1.4.1

Vamos construir intervalo de confiança de Wald para $ \beta_0 $ e $ \beta_1 $ considerando as estimativas dos parâmetros e dos seus desvios padrão já calculados nos exemplos 4.1.2.1 e 4.1.2.2.1. 

IC para $ \beta_0 $

$$IC(\beta_0,0,95)= [-2,0066-1,96*0,1498;~~~-2,0066+1,96*0,1498],$$

$$IC(\beta_0,0,95)= [-2,0066-0,2936;~~~-2,0066+0,2936],$$

$$IC(\beta_0,0,95)= [-2,3002;~~~-1,713].$$

 

IC para $ \beta_1 $

$$IC(\beta_1,0,95)= [-0,0663-1,96*0,0091;~~~-0,0663+1,96*0,0091].$$

$$IC(\beta_1,0,95)= [-0,0663-0,01783;~~~-0,0663+0,01783].$$

$$IC(\beta_1,0,95)= [-0,08413;~~~-0,04847].$$

Exemplo 4.1.4.2

Vamos construir intervalo de 95% de confiança para a logito.

Consideramos a primeira observação, com X (horas de treinamento)=30. O estimador para a logito é:

$$\hat{g}(x=30)=-2,0066-0,0663*30=-3,9956.$$

O estimador da variância é:

$$\hat{Var}[\hat{g}(x=30)]=0,022432+900*0,000083+60*(-0,001232)$$

$$\hat{Var}[\hat{g}(x=30)]=0,022432+0,0747-0,07392$$

$$\hat{Var}[\hat{g}(x=30)]=0,022432+0,0747-0,07392$$

$$\hat{Var}[\hat{g}(x=30)]=0,0232$$

Assim, o intervalo de 95% de confiança para logito para x=30 é:

$$IC(g(x=30),0,95)= [-3,9956-1,96*0,1523;~~~-3,9956+1,96*0,1523],$$

$$IC(g(x=30),0,95)= [-3,9956-0,2985;~~~-3,9956+0,2985],$$

$$IC(g(x=30),0,95)= [-4,2941;~~~-3,6971],$$

Fazendo analogamente para cada valor da variável explicativa, temos na Tabela 4.1.4.2 os intervalos de confiança para a logito.

X Limite Inferior Limite Superior
30 -4,294 -3,697
30 -4,294 -3,697
30 -4,294 -3,697
29 -4,212 -3,647
28 -4,130 -3,596
27 -4,048 -3,546
26 -3,966 -3,495
26 -3,966 -3,495
25 -3,885 -3,443
24 -3,804 -3,391
23 -3,724 -3,339
20 -3,489 -3,176
20 -3,489 -3,176
20 -3,489 -3,176
17 -3,266 -3,002
17 -3,266 -3,002
17 -3,266 -3,002
16 -3,195 -2,940
15 -3,127 -2,875
13 -2,999 -2,738
12 -2,938 -2,666
11 -2,880 -2,592
11 -2,880 -2,592
11 -2,880 -2,592
10 -2,823 -2,517
10 -2,823 -2,517
9 -2,767 -2,440
8 -2,713 -2,361
8 -2,713 -2,361
5 -2,554 -2,122

Tabela 4.1.4.2: Intervalo de confiança para a logito

Exemplo 4.1.4.3

Sabemos pelo exemplo 4.1.4.2 que o intervalo de 95% de confiança para g(30) é [-4,294; -3,697]. Assim, através da equação 4.1.4.2.2, temos o seguinte intervalo de confiança para o valor ajustado:

$$IC(\pi(30),0,95)= \left[\frac{e^{-4,294}}{1+e^{-4,294}};~~~\frac{e^{-3,697}}{1+e^{-3,697}}\right]$$

$$IC(\pi(30),0,95)= [0,01346;~~~0,02420]$$

Fazendo analogamente para cada valor da variável explicativa, temos na Tabela 4.1.4.3 os intervalos de confiança para os valores ajustados.

     X Limite Inferior Limite Superior
30 0,01346 0,02420
30 0,01346 0,02420
30 0,01346 0,02420
29 0,01460 0,02541
28 0,01583 0,02669
27 0,01716 0,02804
26 0,01859 0,02947
26 0,01859 0,02947
25 0,02013 0,03097
24 0,02179 0,03257
23 0,02356 0,03426
20 0,02963 0,04006
20 0,02963 0,04006
20 0,02963 0,04006
17 0,03677 0,04735
17 0,03677 0,04735
17 0,03677 0,04735
16 0,03934 0,05023
15 0,04199 0,05341
13 0,04748 0,06076
12 0,05030 0,06500
11 0,05317 0,06964
11 0,05317 0,06964
11 0,05317 0,06964
10 0,05612 0,07470
10 0,05612 0,07470
9 0,05913 0,08021
8 0,06223 0,08617
8 0,06223 0,08617
5 0,07213 0,10700

Tabela 4.1.4.3: Intervalo de Confiança para os valores ajustados

Exemplo 4.1.4.4

O intervalo de 95% de confiança para o Odds Ratio da variável explicativa (Horas de Treinamento), dado pela equação 4.1.4.2.3, utlizando os limites do intervalo de confiança para $ \beta_1 $ do exemplo 4.1.4.1  é:

$$IC(Odds~Ratio;0,95)= [\exp(-0,08413); \, \exp(-0,04847)]$$

$$IC(Odds~Ratio;0,95)= [0,919; \, 0,953].$$