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4.3.3 Teste de Hosmer e Lemeshow

Hosmer e Lemeshow (1980) e Lemeshow e Hosmer (1982) propuseram dois diferentes tipos de agrupamentos baseados nas probabilidades estimadas. Suponha que $ J=n $ em que teremos n probabilidades estimadas. Para fazer o teste, primeiramente ordenamos as n probabilidades estimadas. Os dois agrupamentos são:

  • Agrupamento 1: Baseado nos decis das probabilidades estimadas.
  • Agrupamento 2: Pontos de corte são pré definidos.

Para o primeiro método, usamos g=10 grupos em que os primeiros $ n^{'}_{1}=n/10 $ são aqueles que contém as menores probabilidades estimadas e $ n^{'}_{10}=n/10 $ são os com as maiores probabilidades estimadas. Para o segundo método, usamos g=10 com pontos de cortes definidos nos valores k/10, k=1,2,...,9, e os grupos contém todos os indivíduos com probabidades estimadas dentro dos limites do ponto de corte de cada grupo. 

Antes do cálculo da estatística teste, é necessário estimar a frequência esperada. Para Y=1, a frequência esperada estimada é dada pela soma das probabilidades estimadas de todos os indivíduos dentro daquele grupo. Para Y=0, a frequência esperada estimada é dada pela soma de 1-probabilidade estimada de todos os indíviduos dentro daquele grupo. A seguir temos o exemplo de uma tabela que deve ser preenchida para o cálculo da estatística de Hosmer e Lemeshow.

  Y=1 Y=0  
Decil Obs      Esp Obs Esp Total
1  
2  
3  
4  
5  
6  
7  
8  
9  
10          

Para cada estratégia de agrupamento, a estatística de Hosmer e Lemeshow, $ \hat{C} $, é obtida da seguinte forma:

$$\hat{C}=\sum_{k=1}^{g}\frac{({o_{k}-n^{'}_{k}\bar{\pi}_{k}})^2}{n^{'}_{k}\pi_{k}(1-\pi_{k})},$$

em que:

  • $ n^{'}_{k} $ é o número de indivíduos no k-ésimo grupo.
  • $ \bar{\pi_{k}}=\sum_{j=1}^{C_{k}}\frac{m_{j}\bar{\pi}_{j}}{n^{'}_{k}} $
  • $ C_k $: o número total de combinações de níveis dentro do k-ésimo decil.
  • $ O_k=\sum_{j=1}^{C_{k}}y_j $: número total de respostas dentro do grupo k.

A estatística do teste de Hosmer e Lemeshow tem distribuição qui-quadrado com g-2 graus de liberdade.