1.6 - Incerteza Padrão combinada

Quando a incerteza do resultado do mensurado $\mathbf{y}$ é obtida pela combinação das incertezas padrão das estimativas de entrada $\mathbf{x_1, x_2,\dots, x_N}$ , esta incerteza combinada da estimativa $\mathbf{y}$ é representada por $\mathbf{u_c(y)}$ e denominada de incerteza padrão combinada.

As estimativas de entrada $x_1, x_2,\dots, x_N$ , podem ser classificadas como grandezas:

$\bullet$ Estatisticamente independentes ou não correlacionadas;

$\bullet$ Estatisticamente dependentes ou correlacionadas.

Grandezas de entrada não correlacionadas

Para as grandezas estatisticamente independentes, consideramos as séries de medições que foram realizadas com diferentes sistemas de medição. Neste caso, a incerteza padrão combinada $\mathbf{u_c(y)}$ é a raiz quadrada positiva da variância combinada.

A expressão para se determinar esta incerteza padrão combinada no caso não correlacionado é apresentada por

$u^2_c(y)=\sum_{i=1}^N\left(\frac{\partial y}{\partial x_i}\right)^2u^2(x_i),~~~~~(1.6.1)$

em que $u(x_i)$ é a incerteza padrão associada com a grandeza de entrada X $_i$ . As derivadas parciais ( $\partial f/\partial x_i$ ) calculadas no ponto $x_i$ são denominadas coeficientes de sensibilidade, pois descrevem como a estimativa de y varia com pequenas mudanças nos valores das estimativas das grandezas de entrada $\mathbf{x_1,x_2,\dots, x_N}$ .

Exemplo 1.6.1:

Voltando ao Exemplo 1.3.2. Na calibração da massa padrão, obtemos a seguinte incerteza combinada

$u_c(W_X)=\sqrt{u^2(W_s) + u^2(D_s) + u^2(\delta C) + u^2(Ab) + u^2(\Delta W)} =$

$=\sqrt{(15)^2 + (8,66)^2 + (5,77)^2 + (5,77)^2 + (2,08)^2} = 19,26~mg.$

Exemplo 1.6.1

Voltando ao Exemplo 1.3.3, obtemos:

Admitimos que $\frac{1}{4}$ e $\pi$ são constantes isentas de incerteza ou com incertezas desprezíveis, somente a variável $d$ é considerada para cálculo da incerteza. Primeiramente calcularemos o coeficiente de sensibilidade da seguinte forma

$\frac{\partial y}{\partial d}=\frac{\pi~d}{2}$

Assim, a incerteza combinada da área é calculada da seguinte forma

$u_c(y)~=\sqrt{\left(\frac{\pi d}{2}\right)^2~(u^2(d)+u^2(\mbox{Res}_d))+u^2(\varepsilon)}=$

$=\sqrt{\left(\frac{3,1415\times 10,28}{2}\right)^2~(0,01^2+0,002887^2)+0,102128^2}=0,196669~mm^2$

um segundo modo de expressarmos a incerteza é como incerteza combinada relativa e calculamos da seguinte forma

$\frac{ u^2_{c}(y)}{y^2}~=~\frac{\left(\frac{\pi~d}{2}\right)^2(u^2(d)+u^2(\mbox{Res}_d))}{\left(\frac{\pi~d^2}{4}\right)^2}+\frac{u^2(\varepsilon)}{\left(\frac{\pi~d^2}{4}\right)^2}=$

$=\frac{4~(u^2(d)+u^2(Res_d))}{d^2}+\frac{16~u^2(\varepsilon)}{(\pi~d^2)^2}$

Assim a incerteza relativa é expressa como

$u_{cr}(y)=\frac{2~\sqrt{u^2(d)+u^2(Res_d)+\frac{4~u^2(\varepsilon)}{(\pi~d^2)^2}}}{d}$

Substituindo os valores do exemplo, obtemos a incerteza combinada relativa

$u_{cr}(y)=\frac{2~\sqrt{0,01^2+0,002887^2+\frac{4~0,102128^2}{(\pi~10,28^2)^2}}}{10,28}=0,00237$

À partir da incerteza combinada relativa, obtemos a incerteza combinada da Área na forma:

$u_c(y)=u_{cr}(y)\times \mbox{Área}=0,00237\times 82,99963=0,196709~mm^2.$

Grandezas de entrada correlacionadas

Para as grandezas estatisticamente dependentes, consideramos as séries de medições que foram realizadas com os mesmos sistemas de medição, ou seja, consideremos o seguinte modelo matemático

$y=x_i+x_j,~~~~~i=j=1,\dots,N$

Neste caso, a covariância estimada deve ser considerada como uma contribuição adicional para a incerteza. A expressão para se determinar esta incerteza padrão combinada no caso correlacionado é apresentada por

$u^2_c(y)=\displaystyle\sum^N_{i=1}\sum^N_{j=1}\frac{\partial y}{\partial x_i}\frac{\partial y}{\partial x_j}u(x_i,x_j)=$

$=\underbrace{\sum^N_{i=1}\left[\frac{\partial y}{\partial x_i}\right]^2 u^2(x_i)}_{(I)}+\underbrace{2\sum^{N-1}_{i=1}\sum^N_{j=i+1}\frac{\partial y}{\partial x_i}\frac{\partial y}{\partial x_j}u(x_i,x_j)}_{(II)}~~~~(1.6.2)$

em que, $u(x_i,x_j)=u(x_j,x_i)$ é a incerteza correlacionada, associada as grandezas de entrada $X_i$ e $X_j$ .

Assim, dividindo e multiplicando a equação (1.6.1) por $u(x_i)u(x_j),$ em (II)obtemos

$(II)=2\sum^{N-1}_{i=1}\sum^N_{j=i+1}\frac{\partial y}{\partial x_i}\frac{\partial y}{\partial x_j} \underbrace{\frac{u(x_i,x_j)}{u(x_i)u(x_j))}}_{\rho(x_i,x_j)}u(x_i)u(x_j)=$

$=2\sum^{N-1}_{i=1}\sum^N_{j=i+1}\frac{\partial y}{\partial x_i}\frac{\partial y}{\partial x_j} \rho(x_i,x_j)u(x_i)u(x_j)~~~~(1.6.3)$

em que $\rho(x_i,x_j)$ é o grau de correlação entre $x_i$ e $x_j$ com $\rho(x_i,x_j)=\rho(x_j,x_i)$ e tomando $-1\leq \rho(x_i,x_j)\leq 1.$ Logo, substituindo a equação (1.6.3) na equação (1.6.2), obtemos

$u^2_c(y)=\sum^N_{i=1}\left[\frac{\partial y}{\partial x_i}\right]^2 u^2(x_i)+2\sum^{N-1}_{i=1}\sum^N_{j=i+1}\frac{\partial y}{\partial x_i}\frac{\partial y}{\partial x_j}\rho(x_i,x_j)u(x_i)u(x_j)~~~~(1.6.4)$

Se as variáveis $x_i$ e $x_j$ são independentes, temos que $\rho(x_i,x_j)=0,$ e a equação (1.6.4) se reduz a equação (1.6.1). Tomaremos o caso extremo em que $\rho(x_i,x_j)=1,$ obtemos equação aproximada da incerteza de medição no caso correlacionado da seguinte forma

$u^2_c(y)\approx\sum^N_{i=1}\left[\frac{\partial y}{\partial x_i}\right]^2 u^2(x_i)+2\sum^{N-1}_{i=1}\sum^N_{j=i+1}\frac{\partial y}{\partial x_i}\frac{\partial y}{\partial x_j}u(x_i)u(x_j)~~~~(1.6.5)$

Exemplo 1.6.2

Voltando ao exemplo 1.3.4. Então, obtemos a expressão (1.6.5) da seguinte forma

$u^2(y)=\frac{\partial y}{\partial x_1}u^2(x_1)+\frac{\partial y}{\partial x_2}u^2(x_2)+2\frac{\partial y}{\partial x_1}\frac{\partial y}{\partial x_2}u(x_1)u(x_2)~~~(*)$