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3.1 - Cálculo de Incerteza de um Relógio Comparador

Considere o processo de calibração de um relógio de resolução de 0,01 mm.  Esta calibração é realizada por comparação utilizando-se um calibrador de relógio. O calibrador apresenta uma resolução 0,001mm com incerteza expandida de 0,001mm com k=2. Os resultados são apresentados na Tabela 3.1.1

Ajustado Leituras (mm) Média Correção Desvio Padrão Desvio Padrão da Média
Avanço Retorno Avanço Retorno Avanço Retorno
0,1 0,101 0,098 0,102 0,101 0,102 0,102 0,101 0,001 0,0015492 0,000633
0,5 0,503 0,502 0,504 0,501 0,504 0,502 0,502667 0,002667 0,0012111 0,000494
0,7 0,7 0,695 0,702 0,697 0,703 0,698 0,699167 -0,00083 0,0030605 0,001249
1 1,002 1 1,001 1,001 0,996 0,998 0,999667 -0,00033 0,0022509 0,000919

Tabela 3.1.1: Tabela de dados.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

 

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

 manual do usuário
 video demons

 

Método de Medição

A calibração corresponde a diferença entre as medições do relógio e do calibrador

$$d = l - l_S$$

onde

  • $ l $: representa a leitura ajustada no relógio comparador;
  • $ l_S $: representa a leitura obtida pelo calibrador.

 

Modelo Matemático

Os desvios obtidos  apresentam as seguintes fontes de incerteza

$$d~=~\Delta_l~+~Res(Rel)~+~Res(Cal)~+~\mbox{Histerese}$$

Então

$$l= d + l_s = ~\Delta_l~+~Res(Rel)~+~Res(Cal)~+~Histerese~ +~ l_s,$$

onde,

  • Δl: representa a diferença observada entre a medição do relógio e a medição do calibrador  repetitividade;
  • Res(Rel): resolução do relógio;
  • Res(Cal): resolução do calibrador;
  • ls: representa a contribuição do padrão;
  • Histerese: máxima diferença entre a medição no avanço e no retorno.

 

Incerteza Combinada

Através da equação de propagação da incerteza, temos que a expressão da incerteza combinada é dada por

$$u_c(d)=\sqrt{~u^2(\Delta_l)~+~u^2(Res(Rel))~+~u^2(Res(Cal))~+~u^2(l_s)~+~u^2(\mbox{Histerese})}$$


Cálculo da Incerteza Padrão das Grandezas de Entrada

A seguir, vamos calcular a incerteza de cada fonte.

 

Repetitividade ($ \Delta_l $)

Incerteza do Tipo A.

Vamos tomar como exemplo o ponto 0,5 mm. Assim, temos

$$u(\Delta_l)~=~\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,00121106}{\sqrt{6}}=0,000494413$$

em que

  • $ u(\Delta_l) $: representa a incerteza do Tipo A;
  • $ s $: representa o desvio padrão das leituras no ponto de calibração $ i $;
  • $ n $: representa o número de leituras no ponto de calibração $ i $.

 

Incerteza Herdada do Padrão $ (u(l_s)) $

Distribuição: Normal.

$$u(l_s)=\frac{U(L_s)}{k}=\frac{0,001}{2}=0,0005$$

 

Resolução do Calibrador $ (Res(Cal)) $

Distribuição: Retangular.

$$u(Res(Cal))=\frac{Res(Cal)}{2\sqrt{3}}=\frac{0,001}{2\sqrt{3}}=0,000288675$$

 

Resolução do Relógio $ (Res(Rel)) $

Distribuição: Retangular.

$$u(Res(Rel))=\frac{Res(Rel)}{2\sqrt{3}}=\frac{0,01}{2\sqrt{3}}=0,00288675$$

 

Cálculo da Histerese

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Referência Média do Avanço Média do Retorno |Histerese|
0,1 0,101667 0,100333 0,0013333
0,5 0,503667 0,501667 0,002
0,7 0,701667 0,696667 0,005
1 0,999667 0,999667 0

Para o ponto de calibração de 0,5 mm temos:

$$\mbox{Hist}_{0,5}=|\overline{X}_{\mbox{Avanço}}-\overline{X}_{\mbox{Retorno}}|=|0,503667-0,501667|=0,002$$

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

 manual do usuário
 video demons

 

Cálculo da Incerteza Combinada

$$u_c(d)=\sqrt{~u^2(\Delta_l)~+~u^2(Res(Rel))~+~u^2(Res(Cal))~+~u^2(l_s)~+~u^2(\mbox{Histerese})}=$$

$$=\sqrt{(0,00049)^2~+~(0,002887)^2~+~(0,0002887)^2~+~(0,0005)^2~+~(0,00057)^2}$$

$$=0,00304$$

 

Graus de Liberdade Efetivo

$$\nu_{eff}~=~\left(\frac{u_c(d)}{u(\Delta_l)}\right)^4~\nu_A~=\left(\frac{0,00304}{0,00049}\right)^4~(6-1)=7151,07$$

Através da tabela t-Student, encontramos $ k=1,96 $

 

Incerteza Expandida

$$U~=~k~\times~u_c(d)~=1,96\times~0,00304=0,00596$$

O resumo do cálculo de incerteza de medição para o relógio comparador, está na tabela a seguir.

 

Ponto de 0,5 mm
Fonte Estimativa Tipo Distribuição Divisor Incerteza GL
Repetitividade 0,000494413 A Normal 1 0,000494413 5
Resolução (Rel) 0,01 B Retangular 3,464101615 0,002886751 999999
Resolução (Cal) 0,001 B Retangular 3,464101615 0,000288675 999999
Padrão (ls) 0,001 B Normal 2 0,0005 999999
Histerese 0,002 B Retangular 3,464101615 0,00057735 999999
Incerteza Combinada 0,003040468
Graus de Liberdade Efetivo 7151,07
Fator de Abrangência 1,96
Incerteza Expandida 0,00596

 

O relógio de medição é utilizado para medir, com uma tolerância de 0,2mm. Faremos agora,  um estudo da comprovação metrológica.

Considerando $ J=10 $, temos que

$$EMP=\frac{\mbox{Tolerância}}{10}=\frac{0,2}{10}=0,02~mm$$

$$|T|+U=|0,0026|+0,00596=0,00863\leq 0,02=EMP$$

Portanto, para o ponto de 0,5 mm, foi aprovada.