2.1 - Índices de capacidade do processo: Cp e Cpk

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Nesta seção, vamos apresentar o índice de capacidade do processo sob a hipótese de normalidade dos dados. Para um processo sob controle estatístico (estável), o índice de capacidade determina o que pode ser esperado para o processo em relação às especificações. Como apresentamos na seção introdutória, os índices de capacidade do processo podem ser estabelecidos somente para um processo estável ao longo do tempo (sob controle). O índice Cp é definido, quando os dados seguem uma distribuição normal, por


$$C_p = \dfrac{\mbox{Variabilidade Permitida do Processo}}{\mbox{Variabilidade Inerente}}$$

ou seja,


$$C_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\sigma}$$

em que LSE é o Limite Superior de Especificação e LIE o Limite Inferior de Especificação.

Um processo centrado, isto é, μ = (1/2)(LIE + LSE) com uma distribuição (estável) normal e com um Cp = 1 produzirá 0,27% dos itens fora de especificação. Também, para um processo centrado e estável  com Cp = 1, os limites de controle para o gráfico da média e de especificação estão relacionados da seguinte forma


$$LSC = \dfrac{LSE}{\sqrt{n}} ~~~~~ \mbox{e} ~~~~~ LIC = \dfrac{LIE}{\sqrt{n}},$$

em que n é o tamanho dos subgrupos racionais no gráfico de controle. Temos assim que, a menos da constante $ \sqrt{n} $, os dois limites coincidem para processos com Cp = 1.  O índice Cp é uma medida da capacidade do processo e pode ser estimado por

$$\widehat{C}_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}},$$

no qual $ \widehat{\sigma} $ é uma estimativa da variabilidade de curto prazo do processo. A maioria das empresas adotam o valor Cp = 1,67 (ou Cp = 1,33) conforme recomendação de Juran e Gryna (1980).   Um índice utilizado, equivalente ao Cp, é a "Razão de Capacidade"  Rc que é definida como o recíproco do Cp

. Em porcentagem o Rc é dado por:

• Rc = % da especificação usada;

• Rc = [6σ/(LSE - LIE)]×100% ;

• Rc = (1/Cp)×100%;

Para Cp = 1,33 (dados normais, processo sob controle e centrado) temos um valor correspondente de Rc = 75%. Da mesma forma, um RC=60% está relacionado com um Cp=1,67. Quanto menor o Rc de um processo melhor o seu comportamento.

Para avaliar mais eficientemente a capacidade do processo foi introduzido no Japão o índice Cpk, que leva em conta não somente a variabilidade do processo como também sua localização com respeito aos limites de especificação. Antes de entrarmos na análise do índice Cpk consideremos dois outros índices, que juntos com Cp e Cpk revelam diferentes aspectos do processo.  Para a especificação superior definimos


$$CPS = \dfrac{LSE - \mu}{3\sigma} = \dfrac{LSE - \mu}{\dfrac{\mbox{variabilidade inerente}}{2}}.$$

Analogamente, para a especificação inferior tomamos


$$CPI = \dfrac{\mu - LIE}{3\sigma},$$

em que μ é a média do processo. A relação entre Cp e a dupla (CPI, CPS) é dada por


$$C_p = \dfrac{CPI + CPS}{2}.$$

Desta forma, definimos o índice $ C_{pk} $ por:


$$C_{pk} = \mbox{mínimo entre $CPI$ e $CPS$}= \min\{CPI, CPS\}$$

No caso de especificações bilaterais, o índice Cpk permite a avaliação da capacidade do processo na "pior situação possível". Neste sentido, a utilização do Cpk determina a estratégia "mais conservadora". Assim, um processo com Cpk alto oferece garantias de um comportamento satisfatório, enquanto a estabilidade seja mantida. A relação entre Cp e Cpk é definida por

$$C_{pk} = C_p(1-k),$$

em que k é o fator que representa o quanto o processo está centrado

$$k = \dfrac{\mid m - \mu \mid}{(LSE - LIE)/2},$$

sendo m = (LSE - LIE)/2 o ponto central da especificação. Apresentamos os índices de capacidade na Figura 2.1.1.

Figura 2.1.1: Índices de capacidade do processo.

 

Estimativa do desvio padrão

A seguir vamos apresentar diversos métodos para estimar o desvio padrão de curto prazo, que é utilizado para cálcular o índice de Capacidade do Processo.

Variabilidade a curto prazo

• Método 1:

Tradicionalmente, ao estimar a variabilidade em um gráfico $ \overline{X} $ e R temos


$$\widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{R}}{d_2},$$

em que $ \overline{R} $ é a média das amplitudes dos subgrupos e a constante d2 é tabelada no Apêndice.

A seguir são analisadas algumas situações práticas:

  • Observação 1: Quando os dados são retirados de forma sequencial (ao longo do tempo) e avaliados a estabilidade via um gráfico $ \overline{X} $ e R, a estimativa tradicional ($ \overline{R}/d_2 $) não é influenciada pela variabilidade ocorrida entre os subgrupos. Por isso, admitimos que o processo está sob controle.
  • Observação 2: Quando retiramos uma amostra de uma população (que não realizado ao longo do tempo), o desvio padrão amostral (s) é a única forma de estimarmos a variabilidade. Além disso, o índice de capacidade não é aplicável. 

 

• Método 2:

Outra maneira de estimar a variabilidade de curto prazo é definida por

$$\widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{s}}{c_4}, \quad \text{ou} \quad \overline{s}$$

em que $ \overline{s} $ é a média dos desvios padrão amostral dos subgrupos

e $ c_4 $ uma constante tabelada no Apêndice. Esta estratégia é aplicada quando retiramos amostras sequenciais (ao longo do tempo) e avaliamos a estabilidade via o gráfico de médias e desvio padrão. A constante de correção de vício $ (c_4) $ pode ser aplicada para corrigir o desvio padrão. Abaixo apresentamos a fórmula da constante $ c_4 $ e na seção "Propriedade dos Estimadores" esta fórmula é deduzida,

 

• Método 3: Desvio padrão agrupado

Outro método utilizado para estimarmos a variabilidade a curto prazo. É usado quando as amostras têm subgrupos de tamanhos variáveis, sendo definido por


$$\widehat{\sigma} = s_p$$

em que sp representa o desvio padrão agrupado (Spooled) e é dado por


$$s_p = \sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\overline{x}_i)^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^{m}(n_i-1)}}$$

sendo


$$\overline{x}_i = \sum_{j=1}^{n_i}\dfrac{x_{ij}}{n_i}$$

Podemos também utilizar um fator de correção c4(d) com o objetivo de reduzir o vício da estimativa, com isso temos


$$\widehat{\sigma} = \dfrac{s_p}{c_{4}(d)}$$

em que


$$d = \left(\sum_{i=1}^{m}n_i\right) - m + 1$$

Os valores de c4(d) podem ser determinados através da relação


$$c_4(d) = \sqrt{\dfrac{2}{d-1}}\left(\dfrac{\Gamma(d/2)}{\Gamma((d-1)/2)}\right)$$

sendo $ \Gamma(\cdot) $ a função gama.

 

A seguir apresentamos um exemplo envolvendo os conceitos discutidos.

Exemplo 2.1.1:

Consideremos um processo sob controle cujos dados seguem distribuição normal. Para este processo temos as seguintes especificações:

LSE = 10,9 , VN = 10,7  e  LIE = 10,5

Vamos supor que a média amostral do processo seja dada por $ \overline{x} $ = 10,662 e $ \overline{R} $ = 0,2, para um amostra com 3 elementos em cada subgrupo.

Vamos calcular a capacidade do processo como discutido acima. Primeiramente calcula-se o desvio padrão


$$\widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{R}}{d_2} = \dfrac{0,2}{1,693} = 0,118$$

em que d2 = 1,693 (para n = 3) tabelado no Apêndice.

A pior situação (aquela em que o processo gera a maior porcentagem de defeitos) é avaliada pelo Cpk, ou seja,


$$CPS = \dfrac{LSE - \mu}{3\widehat{\sigma}} = \dfrac{10,9 - 10,662}{3 \ast 0,118} = 0,67$$


$$CPI = \dfrac{\mu - LIE}{3\widehat{\sigma}} = \dfrac{10,662 - 10,5}{3 \ast 0,118} = 0,46$$

Assim,


$$C_{pk} = \min\{CPI, CPS\} = \min\{0,46; ~0,67\} = 0,46.$$

Tratamento de tolerâncias unilaterais

Em alguns casos, temos apenas limites superiores ou inferiores de engenharia. Assim, não temos como calcular o índice Cp. Nestes casos, o manual de CEP (2ª Edição) propõe a seguinte estratégia:

  • Apenas limite Superior 

    • Cpk = CPS; 
    • Cp não se aplica; 
    • CPI não se aplica.
  • Apenas limite Inferior

    •  Cpk = CPI; 
    • Cp não se aplica; 
    • CPS não se aplica.

 

Exemplo 2.1.2:

Considere um processo por batelada no qual reaizamos três medidas por lote, início, meio e fim de cada lote. As especificações são dadas por LSE=12 e LIE=9. Vamos avaliar a capacidade e performance do processo.

Lote Medições
1 10,69 10,80 10,39
2 10,20 10,30 10,72
3 10,42 10,61 10,54
4 10,98 10,27 10,50
5 10,61 10,52 10,67
6 10,57 10,46 10,50
7 10,44 10,29 9,86
8 10,20 10,29 10,41
9 10,46 10,76 10,74
10 10,11 10,33 10,98
11 10,29 10,57 10,65
12 10,83 11,00 10,65
13 10,35 10,07 10,48
14 10,69 10,54 10,61
15 10,44 10,44 10,57
16 10,63 9,86 10,54
17 10,54 10,82 10,48
18 10,50 10,61 10,54
19 10,29 10,79 10,74
20 10,57 10,44 10,52

Primeiramente vamos fazer uma análise de estabilidade do processo através de um gráfico de controle:

O gráfico X-Barra com todos os valores dentro dos 3 desvios padrão do limite central, indica que o processo é estável. O gráfico de amplitude indica que todos os valores estão dentro do limite de controle.
 

Em seguida, iremos verificar se os dados tem distribuição normal:

Como todos os p-valores associados aos testes são maiores do que 0,05, não rejeitamos a hipótese de que os dados tem distribuição aproximadamente normal.

Com isso, podemos fazer uma análise da capacidade do processo. Para este processo temos as seguintes especificações: 

LIE = 9 e LSE = 12

Calculamos então a média amostral do processo: $ \overline{x} $ = 10,51 e a média das amplitudes dos subgrupos $ \overline{R} $ = 0,365, para uma amostra com 3 elementos cada subgrupo.

Para calcular a capacidade do processo conforme discutido acima, primeiramente calcula-se o desvio padrão:

$$ \widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{R}}{d_2} = \dfrac{0,365}{1,693} = 0,2156 $$

Para calcular Cp e Cpk primeiramente obtemos os índices laterais

$$CPS = \dfrac{LSE - \mu}{3\widehat{\sigma}} = \dfrac{12 - 10,51}{3 \ast 0,215} = 2,301$$

$$CPI = \dfrac{\mu - LIE}{3\widehat{\sigma}} = \dfrac{10,51 - 9}{3 \ast 0,215} = 2,335$$

A pior situação (aquela em que o processo gera a maior porcentagem de defeitos) é avaliada pelo Cpk, ou seja,

$$C_{pk} = \min\{CPI, CPS\} = \min\{2,335;2,301\} = 2,301 $$

Também obtemos o Cp


$$C_p = \dfrac{CPI + CPS}{2} =\dfrac{2,301+2,335}{2}=2,319$$

 

Análise de Capacidade

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