2.2 - Índices de performance do processo: Pp e Ppk

Em situações onde somente é possível quantificar, além de causas comuns, as causas especiais de variação, usaremos os índices propostos por Herman (1989). Esses índices são conhecidos como índices de Performance do processo. Se o processo está estável, os índices de capacidade estarão muito próximos dos índices de performance. Porém, uma diferença grande entre capacidade e performance indica a existência de instabilidade no processo, ou seja, causas especiais estão agindo.

O cálculo dos índices P_p e P_pk são similares aos índices C_p e C_pk. Desta forma, temos

$$P_p = \dfrac{\mbox{Variabilidade Permitida do Processo}}{\mbox{Variabilidade Total}}$$

ou seja,

$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\sigma}$$

Logo, o índice P_p pode ser estimado por

$$\widehat{P}_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}}$$

Para a especificação unilateral superior temos

$$PPS = \dfrac{LSE - \mu }{3\sigma} = \dfrac{LSE - \mu}{\frac{\mbox{Variabilidade Total}}{2}}$$

e para a especificação unilateral inferior

$$PPI = \dfrac{\mu - LIE}{3\sigma}$$

onde μ é a média do processo.

A relação entre P_p e a dupla (PPI, PPS) é dada por

$$P_p = \dfrac{PPI + PPS}{2}$$

Uma generalização para o caso de especificações bilaterais é o índice

$$P_{pk} = \mbox{mínimo entre $PPI$ e $PPS$}$$

$$P_{pk} = \min\{PPI, PPS\}$$

Observemos os índices de performance na Figura 2.2.1.

Figura 2.2.1: Índices de performance do processo.

Estimativa do desvio padrão

A seguir vamos apresentar diversos métodos para estimar o desvio padrão, que é parte fundamental da Performance do Processo.

Variabilidade a longo prazo

A melhor forma de estimarmos esta variabilidade é através do desvio padrão amostral

$$\widehat{\sigma} = s = \sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1}}$$

em que $x_i$ representa as medidas do processo, $\overline{x}$ corresponde a média amostral de todas as medidas do processo e n ao número de medidas obtidas do processo.

Para ajustarmos o desvio padrão em relação ao vício tomamos

$$\widehat{\sigma}_{ajust} = \dfrac{s}{c_{4}(n)} = \dfrac{\sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1}}}{c_{4}(n)}$$

em que o valor de c₄ é tabelado no Apêndice.

A seguir são analisadas algumas situações práticas:

• Situação 1: Quando os dados são obtidos via um gráfico $\overline{X}$ e R a estimativa tradicional ($\overline{R}/d_2$) só é válida se o processo estiver sob controle.
• Situação 2: Quando retiramos uma amostra de uma população o desvio padrão amostral (s) é a única forma de estimarmos a variabilidade a longo prazo.

A seguir apresentamos um exemplo envolvendo os conceitos discutidos.

Exemplo 2.2.1:

Vamos calcular a performance do processo para o Exemplo 2.1.1, considere neste caso um desvio padrão amostral s = 0,14.

As especificações são: LSE = 10,9 , VN = 10,7 , LIE = 10,5 , $\overline{x}$ = μ = 10,662  e  $\widehat{\sigma} = s = 0,14$.

Para as especificações unilaterais superior e inferior temos

$$PPI = \dfrac{\bar{x} - LIE}{3s} = \dfrac{10,662 - 10,5}{3 \ast 0,14} = \dfrac{0,162}{0,42} = 0,386$$

$$PPS = \dfrac{LSE - \bar{x}}{3s} = \dfrac{10,9 - 10,662}{3 \ast 0,14} = \dfrac{0,238}{0,42} = 0,567$$

Assim,

$$P_p = \dfrac{PPI + PPS}{2} = \dfrac{0,386 + 0,567}{2} = 0,4765$$

A pior situação (aquela em que o processo gera a maior porcentagem de defeitos) é avaliada pelo P_pk. Portanto,

$$P_{pk} = \min\{PPI, PPS\} = \min\{0,386; ~0,567\} = 0,386.$$

Tratamento de tolerâncias unilaterais

Em alguns casos, temos apenas limites superiores ou inferiores de engenharia. Assim, não temos como calcular o índice P_p. Nestes casos, o manual de CEP (2ª Edição) propõe a seguinte estratégia:

• Apenas limite Superior
  • P_pk = PPS;
  • P_p não se aplica;
  • PPI não se aplica.

• Apenas limite Inferior
  • P_pk = PPI;
  • P_p não se aplica;
  • PPS não se aplica.

Exemplo 2.2.2:

Para ilustrar os cálculos dos índices de performance do processo iremos utilizar o mesmo conjunto de dados do exemplo 2.1.2 da seção anterior, em que já foram atestadas as suposições necessárias para os cálculos a seguir.

As especificações são: LSE = 12 , LIE = 9 , $\overline{x}$ = μ = 10,51  e  $\widehat{\sigma} = s = 0,23$.

Para as especificações unilaterais superior e inferior temos

$$PPI = \dfrac{\bar{x} - LIE}{3s} = \dfrac{10,51- 9}{3 \ast 0,23} = 2,142$$

$$PPS = \dfrac{LSE - \bar{x}}{3s} = \dfrac{12 - 10,51}{3 \ast 0,23} = 2,11$$

Assim,

$$P_p = \dfrac{PPI + PPS}{2} = \dfrac{2,142;+ 2,11}{2} = 2,126$$

A pior situação (aquela em que o processo gera a maior porcentagem de defeitos) é avaliada pelo P_pk. Portanto,

$$P_{pk} = \min\{PPI, PPS\} = \min\{2,142; ~2,11\} = 2,11.$$