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4.2.10 - Análise de perfomance do processo com a distribuição normal mista
Sejam $X_1, X_2, \cdots, X_n$ variáveis aleatórias contínuas com função densidade de probabilidade $p_1, p_2, \cdots, p_n$, respectivamente. Com $p_i \sim N(\mu_i, \sigma^2_i), i=1,\cdots,n$
A função densidade de probabilidade da distribuição normal mista é dada por,
$$f(x) = \sum_{i=1}^n w_i p_i(x) = \sum_{i=1}^n w_i \dfrac{1}{\sigma_i \sqrt{2 \pi} } \exp\left\lbrace\dfrac{-(x-\mu_i)^2}{2\sigma^2_i}\right\rbrace$$
em que $\sum_{i=1}^n w_i = 1$
A função de distribuição é dada por,
$$F(x)=\sum_{i=1}^n w_i \Phi \left( \dfrac{x-\mu_i}{\sigma_i} \right),$$
onde $\Phi(\cdot)$ é a função de distribuição da $N(0,1)$
Notação: $X \sim Normal Mista( \boldsymbol\mu, \boldsymbol\sigma^2, \mathbf{w})$,
em que $\boldsymbol\mu= (\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_n)$, $\boldsymbol\sigma^2=(\sigma^2_1, \sigma^2_2, \cdots, \sigma^2_n)$ e $\mathbf{w} = (w_1, w_2, \cdots, w_n)$
Clique aqui para mais detalhes da distribuição normal mista.
Figura 4.2.10.1: Gráfico da função densidade de probabilidade da normal mista
Figura 4.2.10.2: Gráfico da função de distribuição da normal mista
Como vimos em 6.18 - Distribuições mistas, a esperança e a variância da distribuição normal mista são dadas, respectivamente, por
$$E(X) = \sum_{i=1}^n w_i \mu_i$$
$$Var(X) = E[(X-\mu)^2] = \sum_{i=1}^n w_i ((\mu_i-\mu)^2 + \sigma^2_i),$$
em que $w_i$ é o peso associado à componente $p_i, i=1,\cdots,n$, tal que $\sum_{i=1}^n = 1$ e $E(X)=\mu$
Exemplo 4.2.10.1: Analise a performance do processo com os dados da Tabela abaixo (clique aqui para fazer o download dos dados). Considere LIE = 7, LSE = 16 e o alvo = 11,5.
| 15.09 | 9.96 | 13.21 | 14.21 | 13.68 |
| 11.43 | 10.78 | 9.62 | 7.64 | 12.77 |
| 13.78 | 12.17 | 9.22 | 9.72 | 11.78 |
| 9.55 | 8.87 | 13.18 | 12.41 | 9.48 |
| 11.79 | 8.25 | 8.38 | 10.88 | 10.96 |
| 12.69 | 11.88 | 10.03 | 13.41 | 9.01 |
| 13.42 | 10.05 | 11.83 | 10.31 | 14.19 |
| 9.09 | 8.94 | 9.11 | 12.33 | 8.44 |
| 12.51 | 9.8 | 10.03 | 12.23 | 12.77 |
| 9.53 | 9.85 | 9.67 | 13.13 | 11.15 |
O papel de probabilidades da Figura indica que o modelo que melhor se ajusta aos dados é o normal misto, o que pode ser confirmado pelo valor-p associado ao teste de Anderson Darling.
Figura 4.2.10.1: Papel de probabilidade
As estimativas dos parâmetros da normal mista são dadas por,
$$\widehat{\mu_1} = 9,43431; \widehat{\sigma^2_1}=0,7700895^2; \widehat{w_1}=0,4851258$$
$$\widehat{\mu_2}=12,63923; \widehat{\sigma^2_2}=1,0850133^2; \widehat{w_2}=0,5148742$$
Desta forma,
$$E[X]=\widehat{\mu}=\sum_{i=1}^2w_i\mu_i=0,4851258\times 9,43431+0,5148742\times 12,63923=11,08444$$
$$Var(X)=\widehat{\sigma^2}=\sum_{i=1}^2 w_i\{(\mu_i-\mu)^2+\sigma^2_i\}=0,4851258\times\{(9,43431-11,08444)^2 + 0,7700895^2\}+0,5148742\times\{(12,63923-11,08444)^2+1,0850133^2\}=3,459448$$
O desvio padrão (s) é dado por
$$s=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{6,994977}=1,859959$$
Em seguida, vamos encontrar os índices de performance do processo considerando os seguintes limites de especificação: LIE=7 e LSE=16.
- Cálculo do Pp
$$P_p=\dfrac{ LSE - LIE }{q_3 - q_1}$$
em que $q_1$ e $q_3$ são os quantis da distribuição normal mista com 0,135% e 99,865%, respectivamente.
Dessa forma,
$$P_p = \dfrac{16-7}{15,65791-7,291779} = 1,075767$$
- Cálculo do PPI e PPS
$$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3-q_2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2-q_1}$$
em que $q_1=$quantil da distribuição normal mista com 0,135%, $q_2=$quantil da distribuição normal padrão com 50% (mediana dos dados) e $q_3=$quantil da distribuição normal padrão com 99,865%.
Portanto,
$$PPS = \dfrac{16-10,76474}{15,65791-10,76474}=1,069912~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{10,76474-7}{10,76474-7,291779}=1,084015$$
- Cálculo do Ppk
$$P_{pk}=min\{PPI,PPS\}=min\{1,084015;1,069912\}=1,069912$$
- Cálculo do (PPM<LIE) e (PPM>LSE) esperados
$$PPM_{Esp} \textless LIE = 1.000.000 \times q_{LIE}~~~~~~~~~~~~~~~~~~PPM_{Esp} \textgreater LSE = 1.000.000 \times ( 1 - q_{LSE} )$$
sendo qLIE = quantil da distribuição normal mista relativo ao LIE e qLSE = quantil da distribuição normal mista relativo ao LSE.
Assim,
$$PPM_{Esp} \textless LIE = 1.000.000 \times 0,0003930211=393,0211$$
$$PPM_{Esp} \textgreater LSE = 1.000.000 \times ( 1 - 0,999512)=487,9968$$
$$PPM_{EspTotal}=(PPM_{Esp} \textless LIE)+(PPM_{Esp} \textgreater LSE)=393,0211+487,9968=881,0179$$
- Cálculo do (PPM<LIE) e (PPM>LSE) observados
$$PPM_{Obs} \textless LIE = 1.000.000 \times \left(\dfrac{\text{Qtde. de Observada} \textless LIE}{n} \right)$$
$$PPM_{Obs} \textgreater LSE = 1.000.000 \times \left( \dfrac{\text{Qtde. de Observada} \textgreater LSE}{n} \right)$$
Assim,
$$PPM_{Obs} \textless LIE = 1.000.000 \times \left(\dfrac{0}{50} \right)=0$$
$$PPM_{Obs} \textgreater LSE = 1.000.000 \times \left( \dfrac{0}{50} \right)=0$$
$$PPM_{ObsTotal}= (PPM_{Obs} \textless LIE)+(PPM_{Obs} \textgreater LSE)=0+0=0$$
A seguir temos os resultados obtidos pelo software Action
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