4.2.10 - Análise de perfomance do processo com a distribuição normal mista

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 Sejam $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ variáveis aleatórias contínuas com função densidade de probabilidade $ p_1, p_2, \cdots, p_n $, respectivamente. Com $ p_i \sim N(\mu_i, \sigma^2_i), i=1,\cdots,n $

 

A função densidade de probabilidade da distribuição normal mista é dada por,

$$f(x) = \sum_{i=1}^n w_i p_i(x) = \sum_{i=1}^n w_i \dfrac{1}{\sigma_i \sqrt{2 \pi} } \exp\left\lbrace\dfrac{-(x-\mu_i)^2}{2\sigma^2_i}\right\rbrace$$

em que $ \sum_{i=1}^n w_i = 1 $

 

A função de distribuição é dada por,

$$F(x)=\sum_{i=1}^n w_i \Phi \left( \dfrac{x-\mu_i}{\sigma_i} \right),$$
onde $ \Phi(\cdot) $ é a função de distribuição da $ N(0,1) $
 
Notação: $ X \sim Normal Mista( \boldsymbol\mu, \boldsymbol\sigma^2, \mathbf{w}) $, 
em que $ \boldsymbol\mu= (\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_n) $, $ \boldsymbol\sigma^2=(\sigma^2_1, \sigma^2_2, \cdots, \sigma^2_n) $ e $ \mathbf{w} = (w_1, w_2, \cdots, w_n) $
 
Clique aqui para mais detalhes da distribuição normal mista.
Figura 4.2.10.1: Gráfico da função densidade de probabilidade da normal mista
Figura 4.2.10.2: Gráfico da função de distribuição da normal mista
 
Como vimos em 6.18 - Distribuições mistas, a esperança e a variância da distribuição normal mista são dadas, respectivamente, por
$$E(X) = \sum_{i=1}^n w_i \mu_i$$
$$Var(X) = E[(X-\mu)^2] = \sum_{i=1}^n w_i ((\mu_i-\mu)^2 + \sigma^2_i),$$
em que $ w_i $ é o peso associado à componente $ p_i, i=1,\cdots,n $, tal que $ \sum_{i=1}^n = 1 $ e $ E(X)=\mu $
 
Exemplo 4.2.10.1: Analise a performance do processo com os dados da Tabela abaixo (clique aqui para fazer o download dos dados). Considere LIE = 7, LSE = 16 e o alvo = 11,5.
 
 
Tabela 4.2.10.1: Medidas do exemplo
15.09 9.96 13.21 14.21 13.68
11.43 10.78 9.62 7.64 12.77
13.78 12.17 9.22 9.72 11.78
9.55 8.87 13.18 12.41 9.48
11.79 8.25 8.38 10.88 10.96
12.69 11.88 10.03 13.41 9.01
13.42 10.05 11.83 10.31 14.19
9.09 8.94 9.11 12.33 8.44
12.51 9.8 10.03 12.23 12.77
9.53 9.85 9.67 13.13 11.15

O papel de probabilidades da Figura indica que o modelo que melhor se ajusta aos dados é o normal misto, o que pode ser confirmado pelo valor-p associado ao teste de Anderson Darling.

Figura 4.2.10.1: Papel de probabilidade

As estimativas dos parâmetros da normal mista são dadas por,

$$\widehat{\mu_1} = 9,43431; \widehat{\sigma^2_1}=0,7700895^2; \widehat{w_1}=0,4851258$$

$$\widehat{\mu_2}=12,63923; \widehat{\sigma^2_2}=1,0850133^2; \widehat{w_2}=0,5148742$$

Desta forma,

$$E[X]=\widehat{\mu}=\sum_{i=1}^2w_i\mu_i=0,4851258\times 9,43431+0,5148742\times 12,63923=11,08444$$

$$Var(X)=\widehat{\sigma^2}=\sum_{i=1}^2 w_i\{(\mu_i-\mu)^2+\sigma^2_i\}=0,4851258\times\{(9,43431-11,08444)^2 + 0,7700895^2\}+0,5148742\times\{(12,63923-11,08444)^2+1,0850133^2\}=3,459448$$

O desvio padrão (s) é dado por

$$s=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{6,994977}=1,859959$$

Em seguida, vamos encontrar os índices de performance do processo considerando os seguintes limites de especificação: LIE=7 e LSE=16.

  • Cálculo do Pp

$$P_p=\dfrac{ LSE - LIE }{q_3 - q_1}$$

em que $ q_1 $ e $ q_3 $ são os quantis da distribuição normal mista com 0,135% e 99,865%, respectivamente.

Dessa forma,

$$P_p = \dfrac{16-7}{15,65791-7,291779} = 1,075767$$
  • Cálculo do PPI e PPS

$$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3-q_2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2-q_1}$$

em que $ q_1= $quantil da distribuição normal mista com 0,135%, $ q_2= $quantil da distribuição normal padrão com 50% (mediana dos dados) e $ q_3= $quantil da distribuição normal padrão com 99,865%.

Portanto,

$$PPS = \dfrac{16-10,76474}{15,65791-10,76474}=1,069912~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{10,76474-7}{10,76474-7,291779}=1,084015$$
  • Cálculo do Ppk

$$P_{pk}=min\{PPI,PPS\}=min\{1,084015;1,069912\}=1,069912$$

  • Cálculo do (PPM<LIE) e (PPM>LSE) esperados​

$$PPM_{Esp} \textless LIE = 1.000.000 \times q_{LIE}~~~~~~~~~~~~~~~~~~PPM_{Esp} \textgreater LSE = 1.000.000 \times ( 1 - q_{LSE} )$$

sendo qLIE = quantil da distribuição normal mista relativo ao LIE  e  qLSE = quantil da distribuição normal mista relativo ao LSE.

Assim,

$$PPM_{Esp} \textless LIE = 1.000.000 \times 0,0003930211=393,0211$$

$$PPM_{Esp} \textgreater LSE = 1.000.000 \times ( 1 - 0,999512)=487,9968$$

$$PPM_{EspTotal}=(PPM_{Esp} \textless LIE)+(PPM_{Esp} \textgreater LSE)=393,0211+487,9968=881,0179$$
  • Cálculo do (PPM<LIE) e (PPM>LSE) observados

$$PPM_{Obs} \textless LIE = 1.000.000 \times \left(\dfrac{\text{Qtde. de Observada} \textless LIE}{n} \right)$$

$$PPM_{Obs} \textgreater LSE = 1.000.000 \times \left( \dfrac{\text{Qtde. de Observada} \textgreater LSE}{n} \right)$$

Assim,

$$PPM_{Obs} \textless LIE = 1.000.000 \times \left(\dfrac{0}{50} \right)=0$$

$$PPM_{Obs} \textgreater LSE = 1.000.000 \times \left( \dfrac{0}{50} \right)=0$$

$$PPM_{ObsTotal}= (PPM_{Obs} \textless LIE)+(PPM_{Obs} \textgreater LSE)=0+0=0$$

A seguir temos os resultados obtidos pelo software Action

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