4.2.2 - Análise de performance do processo com a distribuição de Weibull

Temos que a função densidade de probabilidade da distribuição Weibull é dada por

$$f(t) = \dfrac{\delta}{\alpha^\delta}t^{\delta-1}\exp[-(t/\alpha)^\delta],~~~~t \geq 0$$

em que

$\alpha$: parâmetro de escala

$\delta$: parâmetro de forma.

A função densidade de probabilidade pode ser observada na figura a seguir

Figura 4.2.2.1: Gráfico das funções densidades da distribuição Weibull com $\alpha = 1$ e diferentes valores de $\delta.$

Sabemos também que

$$\mbox{Média} = MTTF (\mbox{ou}~MTBF) = E[T] = \alpha \ast \Gamma\left[1 + \left(\dfrac{1}{\delta}\right)\right]$$

$$Var[T] = \alpha^{2}\left\{\Gamma\left[1 + \left(\dfrac{2}{\delta}\right)\right] - \left(\Gamma\left[1 + \left(\dfrac{1}{\delta}\right)\right]\right)^{2}\right\}$$

em que $\Gamma(z) = \mathop{\int}^{\infty}_{0}r^{z-1}e^{-r}dr$

E então, o desvio padrão (s) é dado por

$$s = \sqrt{Var[T]}.$$

Exemplo 4.2.2.1:

A utilização da distribuição Weibull permite calcular apenas a variabilidade a longo prazo e, consequentemente os índices P_p, P_pk, PPS e PPI. O cálculo destes índices de performance, diferentemente da distribuição normal que depende da média e desvio padrão, para a Weibull é preciso conhecer as estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros de forma ($\delta$) e locação ($\alpha$) da distribuição Weibull. Os dados da Tabela 4.2.2.1 são usados para exemplificar esta situação.

Tabela 4.2.2.1: Dados.

Medições
0,086726	0,261364	0,234034	0,351005	0,387835
0,010857	0,615852	0,433043	0,37279	0,306073
0,368851	0,183577	0,788636	0,331414	0,303861
0,28748	0,071625	0,84719	0,357962	0,174402
0,909071	0,318152	0,459984	0,358099	0,338571
0,150298	0,103415	0,293006	0,560374	0,226616
0,608511	0,478834	0,648248	0,828459	0,371329
0,490219	0,41213	0,154507	0,565067	0,551373
0,151538	0,192791	0,320434	0,626277	0,187531
0,156621	0,208925	0,340069	0,054402	0,782792

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

O papel de probabilidade da Figura 4.2.2.2 indica que os dados podem ser melhor ajustados pela distribuição de Weibull, o que pode ser confirmado pelo p-valor associado ao teste de Anderson-Darling. 

Figura 4.2.2.2: Papel de probabilidade.

As estimativas dos parâmetros de escala e de forma da distribuição Weibull são dadas, respectivamente, por

$$\widehat{\alpha} = 0,4168 ~~~~~ \mbox{e} ~~~~~ \widehat{\delta} = 1,7318$$

Desta forma,

$$E[T] = 0,4168 \ast \Gamma\left[1 + \left(\dfrac{1}{1,7318}\right)\right] = 0,4168 \ast 0,8912 = 0,3714$$

A variabilidade a longo prazo é dada por

$$Var[T] = (0,4168)^2\left\{\Gamma\left[1 + \left(\dfrac{2}{1,7318}\right)\right] - \left(\Gamma\left[1 + \left(\dfrac{1}{1,7318}\right)\right]\right)^2\right\} = 0,4890$$

O desvio padrão (s) é dado por

$$s = \sqrt{0,4890} = 0,6993$$

Em seguida, vamos encontrar os índices de performance do processo considerando os seguintes limites de especificação: LSE = 1,5 e LIE = 0,45.

• Cálculo do P_p

$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{q_3 - q_1}$$

sendo q₁ = quantil da distribuição Weibull com 0,135% e q₃ = quantil da distribuição Weibull com 99,865%.

Dessa forma,

$$P_p = \dfrac{1,5 - 0,45}{1,2401 - 0,0092} = 0,8530$$

• Cálculo do PPS e PPI

$$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3 - q_2}~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2 - q_1}$$

sendo q₁ = quantil da distribuição Weibull com 0,135%, q₂ = quantil da distribuição Weibull com 50% (equivalente ao valor correspondente à mediana dos dados) e q₃ = quantil da distribuição Weibull com 99,865%.

Assim,

$$PPS = \dfrac{1,5 - 0,3373}{1,2401 - 0,3373} = 1,2879~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{0,3373 - 0,45}{0,3373 - 0,0092} = 0,3434$$

em que os valores q₁ = 0,0092 , q₂ = 0,3373  e  q₃ = 1,2401 podem ser calculados através do Software Action, para saber mais clique aqui.

• Cálculo do P_pk

$$P_{pk}=\min\{PPI,PPS\}=\min\{-0,3434;1,2879\}=-0,3434$$

• Cálculo do (PPM < LIE) e (PPM > LSE) esperados

$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast q_{LIE}~~~~~~~~~PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast (1 - q_{LSE})$$

sendo q_LIE = quantil da distribuição Weibull relativo ao LIE  e  q_LSE = quantil da distribuição Weibull relativo ao LSE.

Assim,

$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast 0,680775693 = 680775,693$$

$$PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast 0,000102369147= 102,369147$$

$$PPM_{EspTotal} = 680775,6935+ 102,369147  = 6870878,063$$

• Cálculo do (PPM < LIE) e (PPM > LSE) observados

$$PPM_{Obs}~\textless~LIE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textless~LIE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \left(\dfrac{0}{50}\right) \ast 1.000.000 = 0$$

$$PPM_{Obs}~\textgreater~LSE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textgreater~LSE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \left(\dfrac{35}{50}\right) \ast 1.000.000 = 700.000$$

$$PPM_{ObsTotal} = [PPM_{Obs}~\textless~LIE] + [PPM_{Obs}~\textgreater~LSE] = 700.000$$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

 

Figura 4.2.2.3: Gráfico da análise de performance do processo.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 4.2.2.2:

Na tabela a seguir são apresentados dados de gramatura em g/m² de uma folha de papel. As especificações para estes dados são LSE = 92,88 , Alvo = 90,21 e LIE = 87,54.

Tabela 4.2.2.2: Dados de gramatura em g/m² de uma folha de papel.

Gramatura(g/m2)
88,20
88,90
90,50
90,30
90,00
90,20
91,20
91,00
91,50
91,40
91,30
90,20
91,40
89,90
90,20
90,10
90,80
91,40
91,30
89,00
90,70
89,50
91,20
90,50
90,60

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

A Figura 4.2.2.4 mostra o papel de probabilidade dos dados de gramatura de papel, indicando que a distribuição Weibull é a que melhor se ajusta a esses dados. Esse resultado pode ser confirmado observando os valores numéricos do teste de Anderson-Darling.

Figura 4.2.2.4: Papel de probabilidade.

As estimativas dos parâmetros de escala e de forma da distribuição Weibull são, respectivamente

$$\widehat{\alpha} = 90,838~~~~~~\mbox{e}~~~~~~\widehat{\delta} = 140,329$$

Desta forma,

$$E[T] = 90,838 \ast \Gamma\left[1+\left(\dfrac{1}{140,329}\right)\right] = 90,468$$

A variabilidade a longo prazo é dada por

$$Var[T] = (90,838)^{2}\left\{\Gamma\left[1+\left(\dfrac{2}{140,329}\right)\right] - \left(\Gamma\left[1+\left(\dfrac{1}{140,329}\right)\right]\right)^{2}\right\} = 0,6766628$$

O desvio padrão (s) é dado por

$$s = \sqrt{0,6766628} = 0,8225951$$

A seguir vamos calcular os índices de performance do processo.

• Cálculo do P_p

$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{q_3 - q_1} = \dfrac{92,88 - 87,54}{92,069 - 86,66029} = 0,9873786$$

• Cálculo do PPS e PPI

$$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3 - q_2} = \dfrac{92,88 - 90,60106}{92,06855 - 90,60106} = 1,552$$

$$PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2 - q_1} = \dfrac{90,60106 - 87,54}{90,60106 - 86,66029} = 0,7768$$

em que q₁ = 86,66029 , q₂ = 90,60106  e  q₃ = 92,06855 são quantis da distribuição Weibull e podem ser calculados através do Software Action, para saber mais clique aqui.

• Cálculo do P_pk

$$P_{pk} = \min\{PPS, PPI\} = \min\{1,552;~0,7768\} = 0,7768$$

• Cálculo do (PPM < LIE) e (PPM > LSE) esperados

$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast 0,005558515 = 5556,67$$

$$PPM_{Esp}\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast 0,000000000147211 = 0,000147211$$

em que q_LIE = 0,00555667  e  q_LSE = 0,999999999852789.

$$PPM_{EspTotal} = 5556,67 + 0,000147211 = 5556,67$$

• Cálculo do (PPM < LIE) e (PPM > LSE) observados

$$PPM_{Obs}~\textless~LIE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textless~LIE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \dfrac{0}{25} \ast 1.000.000 = 0$$

$$PPM_{Obs}~\textgreater~LSE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\tetxgreater~LSE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \dfrac{0}{25} \ast 1.000.000 = 0$$

$$PPM_{ObsTotal} = [PPM_{Obs}~\textless~LIE] + [PPM_{Obs}~\textgreater~LSE] = 0$$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

 

Figura 4.2.2.5: Gráfico da análise de performance do processo.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 4.2.2.3: 

A utilização da distribuição Weibull permite calcular apenas a Variabilidade  a longo prazo e, consequentemente os índices Pp, Ppk, PPS e PPI. Os dados da Tabela são usados para exemplificar esta situação.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

A Figura 4.2.2.6 mostra o papel de probabilidade dos dados de gramatura de papel, indicando que a distribuição Weibull é a que melhor se ajusta a esses dados. Esse resultado pode ser confirmado observando os valores numéricos do teste de Anderson-Darling.

Figura 4.2.2.6: Papel de probabilidade.

As estimativas dos parâmetros de escala e de forma da distribuição Weibull são dadas, respectivamente, por

$$\widehat{\alpha} = 0,53 ~~~~~ \mbox{e} ~~~~~ \widehat{\delta} = 4,11$$

Desta forma,

$$E[T] = 0,53 \ast \Gamma\left[1 + \left(\dfrac{1}{4,11}\right)\right] = 0,4811$$

A variabilidade a longo prazo é dada por

$$Var[T] = (0,53)^2\left\{\Gamma\left[1 + \left(\dfrac{2}{4,11}\right)\right] - \left(\Gamma\left[1 + \left(\dfrac{1}{4,11}\right)\right]\right)^2\right\} = 0,0176$$

O desvio padrão (s) é dado por

$$s = \sqrt{0,0176} = 0,1326$$

Em seguida, vamos encontrar os índices de performance do processo considerando os seguintes limites de especificação: LSE = 20 e LIE = 5.

Cálculo do Pp
$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{q_3 - q_1}$$

sendo q1 = quantil da distribuição Weibull com 0,135% e q3 = quantil da distribuição Weibull com 99,865%.

Dessa forma,

$$P_p = \dfrac{20 - 5}{144,9 - 1,58e^{-5}} = 0,103$$

Cálculo do PPS e PPI
$$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3 - q_2}~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2 - q_1}$$

sendo q1 = quantil da distribuição Weibull com 0,135%, q2 = quantil da distribuição Weibull com 50% (equivalente ao valor correspondente à mediana dos dados) e q3 = quantil da distribuição Weibull com 99,865%.

Assim,

$$PPS = \dfrac{20 - 2,058}{144,91 - 2,058} = 0,125~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{2,058 - 5}{2,058 - 1,58e^{-5}} = -1,429$$

em que os valores q1 = $1,58e^{-5}$ , q2 = 0,2,058  e  q3 = 144,91 podem ser calculados através do Software Action, para saber mais clique aqui.

Cálculo do Ppk
$$P_{pk}=\min\{PPI,PPS\}=\min\{0,125;-1,429\}=-1,429$$

Cálculo do (PPM < LIE) e (PPM > LSE) esperados
$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast q_{LIE}~~~~~~~~~PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast (1 - q_{LSE})$$

sendo qLIE = quantil da distribuição Weibull relativo ao LIE  e  qLSE = quantil da distribuição Weibull relativo ao LSE.

Assim,

$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 669885,77$$

$$PPM_{Esp}~\textgreater~LSE= 99011,87$$

$$PPM_{EspTotal} = 768897,64$$

Cálculo do (PPM < LIE) e (PPM > LSE) observados
$$PPM_{Obs}~\textless~LIE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textless~LIE}{n}\right) \ast 1.000.000 = 600.000$$

$$PPM_{Obs}~\textgreater~LSE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textgreater~LSE}{n}\right) \ast 1.000.000 = 50.000$$

$$PPM_{ObsTotal} = [PPM_{Obs}~\textless~LIE] + [PPM_{Obs}~\textgreater~LSE] = 650.000$$

Figura 4.2.2.7: Gráfico da análise de performance do processo.

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.