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Temos que a função densidade de probabilidade da distribuição Weibull é dada por
$$f(t) = \dfrac{\delta}{\alpha^\delta}t^{\delta-1}\exp[-(t/\alpha)^\delta],~~~~t \geq 0$$
em que
$\alpha$: parâmetro de escala
$\delta$: parâmetro de forma.
A função densidade de probabilidade pode ser observada na figura a seguir
Figura 4.2.2.1: Gráfico das funções densidades da distribuição Weibull com $\alpha = 1$ e diferentes valores de $\delta.$
Sabemos também que
$$\mbox{Média} = MTTF (\mbox{ou}~MTBF) = E[T] = \alpha \ast \Gamma\left[1 + \left(\dfrac{1}{\delta}\right)\right]$$
$$Var[T] = \alpha^{2}\left\{\Gamma\left[1 + \left(\dfrac{2}{\delta}\right)\right] - \left(\Gamma\left[1 + \left(\dfrac{1}{\delta}\right)\right]\right)^{2}\right\}$$
em que $\Gamma(z) = \mathop{\int}^{\infty}_{0}r^{z-1}e^{-r}dr$
E então, o desvio padrão (s) é dado por
$$s = \sqrt{Var[T]}.$$
A utilização da distribuição Weibull permite calcular apenas a variabilidade a longo prazo e, consequentemente os índices Pp, Ppk, PPS e PPI. O cálculo destes índices de performance, diferentemente da distribuição normal que depende da média e desvio padrão, para a Weibull é preciso conhecer as estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros de forma ($\delta$) e locação ($\alpha$) da distribuição Weibull. Os dados da Tabela 4.2.2.1 são usados para exemplificar esta situação.
Tabela 4.2.2.1: Dados.
Medições | ||||
0,086726 | 0,261364 | 0,234034 | 0,351005 | 0,387835 |
0,010857 | 0,615852 | 0,433043 | 0,37279 | 0,306073 |
0,368851 | 0,183577 | 0,788636 | 0,331414 | 0,303861 |
0,28748 | 0,071625 | 0,84719 | 0,357962 | 0,174402 |
0,909071 | 0,318152 | 0,459984 | 0,358099 | 0,338571 |
0,150298 | 0,103415 | 0,293006 | 0,560374 | 0,226616 |
0,608511 | 0,478834 | 0,648248 | 0,828459 | 0,371329 |
0,490219 | 0,41213 | 0,154507 | 0,565067 | 0,551373 |
0,151538 | 0,192791 | 0,320434 | 0,626277 | 0,187531 |
0,156621 | 0,208925 | 0,340069 | 0,054402 | 0,782792 |
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
O papel de probabilidade da Figura 4.2.2.2 indica que os dados podem ser melhor ajustados pela distribuição de Weibull, o que pode ser confirmado pelo p-valor associado ao teste de Anderson-Darling.
Figura 4.2.2.2: Papel de probabilidade.
As estimativas dos parâmetros de escala e de forma da distribuição Weibull são dadas, respectivamente, por
$$\widehat{\alpha} = 0,4168 ~~~~~ \mbox{e} ~~~~~ \widehat{\delta} = 1,7318$$
Desta forma,
$$E[T] = 0,4168 \ast \Gamma\left[1 + \left(\dfrac{1}{1,7318}\right)\right] = 0,4168 \ast 0,8912 = 0,3714$$
A variabilidade a longo prazo é dada por
$$Var[T] = (0,4168)^2\left\{\Gamma\left[1 + \left(\dfrac{2}{1,7318}\right)\right] - \left(\Gamma\left[1 + \left(\dfrac{1}{1,7318}\right)\right]\right)^2\right\} = 0,4890$$
O desvio padrão (s) é dado por
$$s = \sqrt{0,4890} = 0,6993$$
Em seguida, vamos encontrar os índices de performance do processo considerando os seguintes limites de especificação: LSE = 1,5 e LIE = 0,45.
$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{q_3 - q_1}$$
sendo q1 = quantil da distribuição Weibull com 0,135% e q3 = quantil da distribuição Weibull com 99,865%.
Dessa forma,
$$P_p = \dfrac{1,5 - 0,45}{1,2401 - 0,0092} = 0,8530$$
$$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3 - q_2}~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2 - q_1}$$
sendo q1 = quantil da distribuição Weibull com 0,135%, q2 = quantil da distribuição Weibull com 50% (equivalente ao valor correspondente à mediana dos dados) e q3 = quantil da distribuição Weibull com 99,865%.
Assim,
$$PPS = \dfrac{1,5 - 0,3373}{1,2401 - 0,3373} = 1,2879~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{0,3373 - 0,45}{0,3373 - 0,0092} = 0,3434$$
em que os valores q1 = 0,0092 , q2 = 0,3373 e q3 = 1,2401 podem ser calculados através do Software Action, para saber mais clique aqui.
$$P_{pk}=\min\{PPI,PPS\}=\min\{-0,3434;1,2879\}=-0,3434$$
$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast q_{LIE}~~~~~~~~~PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast (1 - q_{LSE})$$
sendo qLIE = quantil da distribuição Weibull relativo ao LIE e qLSE = quantil da distribuição Weibull relativo ao LSE.
Assim,
$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast 0,680775693 = 680775,693$$
$$PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast 0,000102369147= 102,369147$$
$$PPM_{EspTotal} = 680775,6935+ 102,369147 = 6870878,063$$
$$PPM_{Obs}~\textless~LIE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textless~LIE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \left(\dfrac{0}{50}\right) \ast 1.000.000 = 0$$
$$PPM_{Obs}~\textgreater~LSE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textgreater~LSE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \left(\dfrac{35}{50}\right) \ast 1.000.000 = 700.000$$
$$PPM_{ObsTotal} = [PPM_{Obs}~\textless~LIE] + [PPM_{Obs}~\textgreater~LSE] = 700.000$$
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.
Figura 4.2.2.3: Gráfico da análise de performance do processo.
![]() |
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
Na tabela a seguir são apresentados dados de gramatura em g/m2 de uma folha de papel. As especificações para estes dados são LSE = 92,88 , Alvo = 90,21 e LIE = 87,54.
Tabela 4.2.2.2: Dados de gramatura em g/m2 de uma folha de papel.
Gramatura(g/m2) |
88,20 |
88,90 |
90,50 |
90,30 |
90,00 |
90,20 |
91,20 |
91,00 |
91,50 |
91,40 |
91,30 |
90,20 |
91,40 |
89,90 |
90,20 |
90,10 |
90,80 |
91,40 |
91,30 |
89,00 |
90,70 |
89,50 |
91,20 |
90,50 |
90,60 |
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
A Figura 4.2.2.4 mostra o papel de probabilidade dos dados de gramatura de papel, indicando que a distribuição Weibull é a que melhor se ajusta a esses dados. Esse resultado pode ser confirmado observando os valores numéricos do teste de Anderson-Darling.
Figura 4.2.2.4: Papel de probabilidade.
As estimativas dos parâmetros de escala e de forma da distribuição Weibull são, respectivamente
$$\widehat{\alpha} = 90,838~~~~~~\mbox{e}~~~~~~\widehat{\delta} = 140,329$$
Desta forma,
$$E[T] = 90,838 \ast \Gamma\left[1+\left(\dfrac{1}{140,329}\right)\right] = 90,468$$
A variabilidade a longo prazo é dada por
$$Var[T] = (90,838)^{2}\left\{\Gamma\left[1+\left(\dfrac{2}{140,329}\right)\right] - \left(\Gamma\left[1+\left(\dfrac{1}{140,329}\right)\right]\right)^{2}\right\} = 0,6766628$$
O desvio padrão (s) é dado por
$$s = \sqrt{0,6766628} = 0,8225951$$
A seguir vamos calcular os índices de performance do processo.
$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{q_3 - q_1} = \dfrac{92,88 - 87,54}{92,069 - 86,66029} = 0,9873786$$
$$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3 - q_2} = \dfrac{92,88 - 90,60106}{92,06855 - 90,60106} = 1,552$$
$$PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2 - q_1} = \dfrac{90,60106 - 87,54}{90,60106 - 86,66029} = 0,7768$$
em que q1 = 86,66029 , q2 = 90,60106 e q3 = 92,06855 são quantis da distribuição Weibull e podem ser calculados através do Software Action, para saber mais clique aqui.
$$P_{pk} = \min\{PPS, PPI\} = \min\{1,552;~0,7768\} = 0,7768$$
$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast 0,005558515 = 5556,67$$
$$PPM_{Esp}\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast 0,000000000147211 = 0,000147211$$
em que qLIE = 0,00555667 e qLSE = 0,999999999852789.
$$PPM_{EspTotal} = 5556,67 + 0,000147211 = 5556,67$$
$$PPM_{Obs}~\textless~LIE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textless~LIE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \dfrac{0}{25} \ast 1.000.000 = 0$$
$$PPM_{Obs}~\textgreater~LSE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\tetxgreater~LSE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \dfrac{0}{25} \ast 1.000.000 = 0$$
$$PPM_{ObsTotal} = [PPM_{Obs}~\textless~LIE] + [PPM_{Obs}~\textgreater~LSE] = 0$$
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.
Figura 4.2.2.5: Gráfico da análise de performance do processo.
![]() |
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
A utilização da distribuição Weibull permite calcular apenas a Variabilidade a longo prazo e, consequentemente os índices Pp, Ppk, PPS e PPI. Os dados da Tabela são usados para exemplificar esta situação.
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
A Figura 4.2.2.6 mostra o papel de probabilidade dos dados de gramatura de papel, indicando que a distribuição Weibull é a que melhor se ajusta a esses dados. Esse resultado pode ser confirmado observando os valores numéricos do teste de Anderson-Darling.
Figura 4.2.2.6: Papel de probabilidade.
As estimativas dos parâmetros de escala e de forma da distribuição Weibull são dadas, respectivamente, por
$$\widehat{\alpha} = 0,53 ~~~~~ \mbox{e} ~~~~~ \widehat{\delta} = 4,11$$
Desta forma,
$$E[T] = 0,53 \ast \Gamma\left[1 + \left(\dfrac{1}{4,11}\right)\right] = 0,4811$$
A variabilidade a longo prazo é dada por
$$Var[T] = (0,53)^2\left\{\Gamma\left[1 + \left(\dfrac{2}{4,11}\right)\right] - \left(\Gamma\left[1 + \left(\dfrac{1}{4,11}\right)\right]\right)^2\right\} = 0,0176$$
O desvio padrão (s) é dado por
$$s = \sqrt{0,0176} = 0,1326$$
Em seguida, vamos encontrar os índices de performance do processo considerando os seguintes limites de especificação: LSE = 20 e LIE = 5.
Cálculo do Pp
$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{q_3 - q_1}$$
sendo q1 = quantil da distribuição Weibull com 0,135% e q3 = quantil da distribuição Weibull com 99,865%.
Dessa forma,
$$P_p = \dfrac{20 - 5}{144,9 - 1,58e^{-5}} = 0,103$$
Cálculo do PPS e PPI
$$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3 - q_2}~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2 - q_1}$$
sendo q1 = quantil da distribuição Weibull com 0,135%, q2 = quantil da distribuição Weibull com 50% (equivalente ao valor correspondente à mediana dos dados) e q3 = quantil da distribuição Weibull com 99,865%.
Assim,
$$PPS = \dfrac{20 - 2,058}{144,91 - 2,058} = 0,125~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{2,058 - 5}{2,058 - 1,58e^{-5}} = -1,429$$
em que os valores q1 = $1,58e^{-5}$ , q2 = 0,2,058 e q3 = 144,91 podem ser calculados através do Software Action, para saber mais clique aqui.
Cálculo do Ppk
$$P_{pk}=\min\{PPI,PPS\}=\min\{0,125;-1,429\}=-1,429$$
Cálculo do (PPM < LIE) e (PPM > LSE) esperados
$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast q_{LIE}~~~~~~~~~PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast (1 - q_{LSE})$$
sendo qLIE = quantil da distribuição Weibull relativo ao LIE e qLSE = quantil da distribuição Weibull relativo ao LSE.
Assim,
$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 669885,77$$
$$PPM_{Esp}~\textgreater~LSE= 99011,87$$
$$PPM_{EspTotal} = 768897,64$$
Cálculo do (PPM < LIE) e (PPM > LSE) observados
$$PPM_{Obs}~\textless~LIE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textless~LIE}{n}\right) \ast 1.000.000 = 600.000$$
$$PPM_{Obs}~\textgreater~LSE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textgreater~LSE}{n}\right) \ast 1.000.000 = 50.000$$
$$PPM_{ObsTotal} = [PPM_{Obs}~\textless~LIE] + [PPM_{Obs}~\textgreater~LSE] = 650.000$$
Figura 4.2.2.7: Gráfico da análise de performance do processo.
![]() |
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
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