4.2.3 - Análise de performance do processo com a distribuição exponencial

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Temos que a função densidade de probabilidade da distribuição exponencial é dada por


$$f(t) = \dfrac{1}{\alpha} e^{-t/ \alpha} ~~~~\mbox{para todo}~t~\textgreater~0~~~~~~~~~~~~~(4.2.3.1)$$

sendo $ \alpha~\textgreater~0 $ denominado o parâmetro da distribuição. Assim, temos que a função de distribuição acumulada é dada por


$$F(t) = P[T \leq t] = \int_{0}^{t}\dfrac{1}{\alpha} e^{-x/ \alpha}dx = 1 - e^{-t/ \alpha} ~~~~\mbox{para todo}~t~\textgreater~0$$

tal que


$$E[T] = \alpha~~~~~~~~~Var[T] = \alpha^2$$

A função densidade de probabilidade da distribuição exponencial pode ser observada na Figura 4.2.3.1.

Figura 4.2.3.1: Gráfico das funções densidades da distribuição exponencial para diferentes valores de $ \alpha. $

Exemplo 4.2.3.1:

Vamos considerar os dados da Tabela 4.2.3.1 referentes à medições. Para este exemplo considere as seguintes especificações: LSE = 0,3 e LIE = 0,0015. Temos também que a média dos dados é dada por $ \overline{x} = 0,04876 $.

Tabela 4.2.3.1: Dados referentes à medições.

Dados Medidos
0,106 0,012 0,039 0,009 0,023
0,007 0,015 0,036 0,007 0,017
0,007 0,011 0,087 0,049 0,03
0,014 0,002 0,075 0,094 0,201
0,052 0,02 0,008 0,003 0,011
0,058 0,292 0,04 0,036 0,055
0,003 0,059 0,206 0,101 0,055
0,03 0,04 0,002 0,047 0,08
0,03 0,016 0,114 0,002 0,002
0,041 0,023 0,052 0,114 0,005

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Os resultados do teste de Anderson-Darling verificados na Figura 4.2.3.2 indicam que os dados acima podem ser modelados pela distribuição exponencial, Weibull ou log-normal. Porém, para ilustrar o cálculo dos índices de performance para esse exemplo vamos considerar a distribuição exponencial para modelar esses dados.

Figura 4.2.3.2: Papel de probabilidade.

A estimativa de máxima verossimilhança do parâmetro da distribuição exponencial expressa na forma (4.2.3.1) é dada por


$$\widehat{\alpha} = \overline{x} = 0,04876$$

Desta forma,


$$E[T] = \widehat{\alpha} = 0,04876$$

A variabilidade a longo prazo é dada por


$$Var[T] = \widehat{\alpha}^2 = 0,002378$$

Com isso, obtemos o desvio padrão (s) dado por


$$s = \sqrt{0,002378} = 0,04876$$

A seguir vamos calcular os índices de performance do processo para os dados com distribuição exponencial.

  • Cálculo de Pp


$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{q_3 - q_1}$$

em que LIE e LSE são os limites de especificação, q1 = quantil da distribuição exponencial com 0,135% e q3 = quantil da distribuição exponencial com 99,865%.

Assim,


$$P_p = \dfrac{0,3 - 0,0015}{0,32218 - 0,0000658} = 0,9266$$

  • Cálculo de PPS e PPI


$$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3 - q_2}~~~~~~\mbox{e}~~~~~~PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2 - q_1}$$

sendo q1 = quantil da distribuição exponencial com 0,135%, q2 = quantil da distribuição exponencial com 50% (equivalente ao valor correspondente à mediana dos dados) e q3 = quantil da distribuição exponencial com 99,865%. 

Dessa forma,


$$PPS = \dfrac{0,3 - 0,033797}{0,32218 - 0,033797} = 0,9231~~~~~~\mbox{e}~~~~~~PPI = \dfrac{0,033797 - 0,0015}{0,033797 - 0,0000658} = 0,95748$$

sendo q1 = 0,0000658 , q2 = 0,033797 e q3 = 0,32218 quantis da distribuição exponencial que podem ser calculados através do Software Action, para saber mais clique aqui.

  • Cálculo de Ppk


$$P_{pk} = \min\{PPI, PPS\} = \min\{0,9231;~0,95748\} = 0,9231$$

  • Cálculo de (PPM < LIE) e (PPM > LSE) esperados


$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast q_{LIE}~~~~~~\mbox{e}~~~~~~PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast (1 - q_{LSE})$$

em que qLIE = quantil da distribuição exponencial relativo ao LIE e qLSE = quantil da distribuição exponencial relativo ao LSE.

Assim,


$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast 0,03029456 = 30294,56$$


$$PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast 0,002127976 = 2127,976$$

E portanto,


$$PPM_{EspTotal} = 30294,56 + 2127,976 = 32422,536$$

  • Cálculo de (PPM < LIE) e (PPM > LSE) observados


$$PPM_{Obs}~\textless~LIE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textless~LIE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \dfrac{0}{50} \ast 1.000.000 = 0$$


$$PPM_{Obs}~\textgreater~LSE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textgreater~LSE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \dfrac{0}{50} \ast 1.000.000 = 0$$

Portanto,


$$PPM_{ObsTotal} = [PPM_{Obs}~\textless~LIE] + [PPM_{Obs}~\textgreater~LSE] = 0.$$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action Stat  para esse exemplo.

 

Figura 4.2.3.3: Gráfico da análise de performance do processo.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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