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Temos que a função densidade de probabilidade da distribuição exponencial é dada por
$$f(t) = \dfrac{1}{\alpha} e^{-t/ \alpha} ~~~~\mbox{para todo}~t~\textgreater~0~~~~~~~~~~~~~(4.2.3.1)$$
sendo $\alpha~\textgreater~0$ denominado o parâmetro da distribuição. Assim, temos que a função de distribuição acumulada é dada por
$$F(t) = P[T \leq t] = \int_{0}^{t}\dfrac{1}{\alpha} e^{-x/ \alpha}dx = 1 - e^{-t/ \alpha} ~~~~\mbox{para todo}~t~\textgreater~0$$
tal que
$$E[T] = \alpha~~~~~~~~~Var[T] = \alpha^2$$
A função densidade de probabilidade da distribuição exponencial pode ser observada na Figura 4.2.3.1.
Figura 4.2.3.1: Gráfico das funções densidades da distribuição exponencial para diferentes valores de $\alpha.$
Vamos considerar os dados da Tabela 4.2.3.1 referentes à medições. Para este exemplo considere as seguintes especificações: LSE = 0,3 e LIE = 0,0015. Temos também que a média dos dados é dada por $\overline{x} = 0,04876$.
Tabela 4.2.3.1: Dados referentes à medições.
Dados Medidos | ||||
0,106 | 0,012 | 0,039 | 0,009 | 0,023 |
0,007 | 0,015 | 0,036 | 0,007 | 0,017 |
0,007 | 0,011 | 0,087 | 0,049 | 0,03 |
0,014 | 0,002 | 0,075 | 0,094 | 0,201 |
0,052 | 0,02 | 0,008 | 0,003 | 0,011 |
0,058 | 0,292 | 0,04 | 0,036 | 0,055 |
0,003 | 0,059 | 0,206 | 0,101 | 0,055 |
0,03 | 0,04 | 0,002 | 0,047 | 0,08 |
0,03 | 0,016 | 0,114 | 0,002 | 0,002 |
0,041 | 0,023 | 0,052 | 0,114 | 0,005 |
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Os resultados do teste de Anderson-Darling verificados na Figura 4.2.3.2 indicam que os dados acima podem ser modelados pela distribuição exponencial, Weibull ou log-normal. Porém, para ilustrar o cálculo dos índices de performance para esse exemplo vamos considerar a distribuição exponencial para modelar esses dados.
Figura 4.2.3.2: Papel de probabilidade.
A estimativa de máxima verossimilhança do parâmetro da distribuição exponencial expressa na forma (4.2.3.1) é dada por
$$\widehat{\alpha} = \overline{x} = 0,04876$$
Desta forma,
$$E[T] = \widehat{\alpha} = 0,04876$$
A variabilidade a longo prazo é dada por
$$Var[T] = \widehat{\alpha}^2 = 0,002378$$
Com isso, obtemos o desvio padrão (s) dado por
$$s = \sqrt{0,002378} = 0,04876$$
A seguir vamos calcular os índices de performance do processo para os dados com distribuição exponencial.
$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{q_3 - q_1}$$
em que LIE e LSE são os limites de especificação, q1 = quantil da distribuição exponencial com 0,135% e q3 = quantil da distribuição exponencial com 99,865%.
Assim,
$$P_p = \dfrac{0,3 - 0,0015}{0,32218 - 0,0000658} = 0,9266$$
$$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3 - q_2}~~~~~~\mbox{e}~~~~~~PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2 - q_1}$$
sendo q1 = quantil da distribuição exponencial com 0,135%, q2 = quantil da distribuição exponencial com 50% (equivalente ao valor correspondente à mediana dos dados) e q3 = quantil da distribuição exponencial com 99,865%.
Dessa forma,
$$PPS = \dfrac{0,3 - 0,033797}{0,32218 - 0,033797} = 0,9231~~~~~~\mbox{e}~~~~~~PPI = \dfrac{0,033797 - 0,0015}{0,033797 - 0,0000658} = 0,95748$$
sendo q1 = 0,0000658 , q2 = 0,033797 e q3 = 0,32218 quantis da distribuição exponencial que podem ser calculados através do Software Action, para saber mais clique aqui.
$$P_{pk} = \min\{PPI, PPS\} = \min\{0,9231;~0,95748\} = 0,9231$$
$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast q_{LIE}~~~~~~\mbox{e}~~~~~~PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast (1 - q_{LSE})$$
em que qLIE = quantil da distribuição exponencial relativo ao LIE e qLSE = quantil da distribuição exponencial relativo ao LSE.
Assim,
$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast 0,03029456 = 30294,56$$
$$PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast 0,002127976 = 2127,976$$
E portanto,
$$PPM_{EspTotal} = 30294,56 + 2127,976 = 32422,536$$
$$PPM_{Obs}~\textless~LIE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textless~LIE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \dfrac{0}{50} \ast 1.000.000 = 0$$
$$PPM_{Obs}~\textgreater~LSE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textgreater~LSE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \dfrac{0}{50} \ast 1.000.000 = 0$$
Portanto,
$$PPM_{ObsTotal} = [PPM_{Obs}~\textless~LIE] + [PPM_{Obs}~\textgreater~LSE] = 0.$$
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action Stat para esse exemplo.
Figura 4.2.3.3: Gráfico da análise de performance do processo.
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Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
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