4.2.3 - Análise de performance do processo com a distribuição exponencial

Temos que a função densidade de probabilidade da distribuição exponencial é dada por

$$f(t) = \dfrac{1}{\alpha} e^{-t/ \alpha} ~~~~\mbox{para todo}~t~\textgreater~0~~~~~~~~~~~~~(4.2.3.1)$$

sendo $\alpha~\textgreater~0$ denominado o parâmetro da distribuição. Assim, temos que a função de distribuição acumulada é dada por

$$F(t) = P[T \leq t] = \int_{0}^{t}\dfrac{1}{\alpha} e^{-x/ \alpha}dx = 1 - e^{-t/ \alpha} ~~~~\mbox{para todo}~t~\textgreater~0$$

tal que

$$E[T] = \alpha~~~~~~~~~Var[T] = \alpha^2$$

A função densidade de probabilidade da distribuição exponencial pode ser observada na Figura 4.2.3.1.

Figura 4.2.3.1: Gráfico das funções densidades da distribuição exponencial para diferentes valores de $\alpha.$

Exemplo 4.2.3.1:

Vamos considerar os dados da Tabela 4.2.3.1 referentes à medições. Para este exemplo considere as seguintes especificações: LSE = 0,3 e LIE = 0,0015. Temos também que a média dos dados é dada por $\overline{x} = 0,04876$.

Tabela 4.2.3.1: Dados referentes à medições.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Os resultados do teste de Anderson-Darling verificados na Figura 4.2.3.2 indicam que os dados acima podem ser modelados pela distribuição exponencial, Weibull ou log-normal. Porém, para ilustrar o cálculo dos índices de performance para esse exemplo vamos considerar a distribuição exponencial para modelar esses dados.

Figura 4.2.3.2: Papel de probabilidade.

A estimativa de máxima verossimilhança do parâmetro da distribuição exponencial expressa na forma (4.2.3.1) é dada por

$$\widehat{\alpha} = \overline{x} = 0,04876$$

Desta forma,

$$E[T] = \widehat{\alpha} = 0,04876$$

A variabilidade a longo prazo é dada por

$$Var[T] = \widehat{\alpha}^2 = 0,002378$$

Com isso, obtemos o desvio padrão (s) dado por

$$s = \sqrt{0,002378} = 0,04876$$

A seguir vamos calcular os índices de performance do processo para os dados com distribuição exponencial.

• Cálculo de P_p

$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{q_3 - q_1}$$

em que LIE e LSE são os limites de especificação, q₁ = quantil da distribuição exponencial com 0,135% e q₃ = quantil da distribuição exponencial com 99,865%.

Assim,

$$P_p = \dfrac{0,3 - 0,0015}{0,32218 - 0,0000658} = 0,9266$$

• Cálculo de PPS e PPI

$$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3 - q_2}~~~~~~\mbox{e}~~~~~~PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2 - q_1}$$

sendo q₁ = quantil da distribuição exponencial com 0,135%, q₂ = quantil da distribuição exponencial com 50% (equivalente ao valor correspondente à mediana dos dados) e q₃ = quantil da distribuição exponencial com 99,865%. 

Dessa forma,

$$PPS = \dfrac{0,3 - 0,033797}{0,32218 - 0,033797} = 0,9231~~~~~~\mbox{e}~~~~~~PPI = \dfrac{0,033797 - 0,0015}{0,033797 - 0,0000658} = 0,95748$$

sendo q₁ = 0,0000658 , q₂ = 0,033797 e q₃ = 0,32218 quantis da distribuição exponencial que podem ser calculados através do Software Action, para saber mais clique aqui.

• Cálculo de P_pk

$$P_{pk} = \min\{PPI, PPS\} = \min\{0,9231;~0,95748\} = 0,9231$$

• Cálculo de (PPM < LIE) e (PPM > LSE) esperados

$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast q_{LIE}~~~~~~\mbox{e}~~~~~~PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast (1 - q_{LSE})$$

em que q_LIE = quantil da distribuição exponencial relativo ao LIE e q_LSE = quantil da distribuição exponencial relativo ao LSE.

Assim,

$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast 0,03029456 = 30294,56$$

$$PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast 0,002127976 = 2127,976$$

E portanto,

$$PPM_{EspTotal} = 30294,56 + 2127,976 = 32422,536$$

• Cálculo de (PPM < LIE) e (PPM > LSE) observados

$$PPM_{Obs}~\textless~LIE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textless~LIE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \dfrac{0}{50} \ast 1.000.000 = 0$$

$$PPM_{Obs}~\textgreater~LSE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textgreater~LSE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \dfrac{0}{50} \ast 1.000.000 = 0$$

Portanto,

$$PPM_{ObsTotal} = [PPM_{Obs}~\textless~LIE] + [PPM_{Obs}~\textgreater~LSE] = 0.$$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action Stat  para esse exemplo.

Figura 4.2.3.3: Gráfico da análise de performance do processo.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.