4.2.4 - Análise de performance do processo com a distribuição log-normal

Assim como a distribuição de Weibull, a distribuição log-normal é muito usada para caracterizar o tempo de vida de produtos e materiais. Isto inclui por exemplo, fadiga de metal, semicondutores, diodos e isolação elétrica. A função densidade de probabilidade para uma distribuição log-normal é dada por

$$f(t) = \dfrac{1}{t\sigma\sqrt{2\pi}}~\exp\left[\dfrac{-\left(\log(t)-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right],~~~t \geq 0$$

em que μ é a média do logaritmo e σ é o desvio-padrão do logaritmo.

Figura 4.2.4.1: Gráfico das funções densidades da distribuição log-normal com $\mu = 0$ e diferentes valores de $\sigma$

O valor esperado e a variância são dados, respectivamente, por

$$E[T] = \exp\left\{\mu + \left(\dfrac{\sigma^2}{2}\right)\right\}$$

$$Var[T] = (\exp\{\sigma^2\} - 1)\exp\{2\mu + \sigma^2\}$$

Existe uma relação entre a distribuição log-normal e normal. Como o nome sugere, o logaritmo de uma variável com distribuição log-normal com parâmetros μ e σ tem distribuição normal com média μ e desvio padrão σ. Esta relação significa que dados provenientes de uma distribuição log-normal podem ser analisados segundo uma distribuição normal, caso sejam usados o logaritmo dos dados ao invés dos valores originais.

Exemplo 4.2.4.1:

Vamos considerar os dados referentes à medições dispostos na Tabela 4.2.4.1 . As especificações para esse exemplo são: LSE = 3000 e LIE = 30.

Tabela 4.2.4.1: Medições.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

A seguir temos o papel de probabilidade para os dados. Podemos ver que o p-valor para o teste de Anderson-Darling referente à distribuição log-normal (0,924) é maior do que 0,05 então, podemos dizer que esta distribuição descreve bem os dados.

Figura 4.2.4.2: Papel de probabilidade.

As estimativas dos parâmetros da distribuição log-normal são dadas por

$$\widehat{\mu} = \mbox{Média[log(dados)]} = 4,8975$$

$$\widehat{\sigma} = \sqrt{\mbox{Var[log(dados)]}} = 1,4032$$

Com isso, temos

$$E[T] = \exp\left\{4,8975 + \left(\dfrac{1,969}{2}\right)\right\} = 358,5256$$

A variabilidade a longo prazo é dada por

$$Var[T] = (\exp\{1,969\} - 1)\exp\{2 \ast (4,8975) + 1,969\} = 792261,1$$

Logo, o desvio padrão é dado por

$$s = \sqrt{792261,1} = 890,09$$

Com isso, os valores dos índices de performance para os dados do noso exemplo são obtidos da seguinte forma

• Cálculo de P_p

$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{q_3 - q_1}$$

sendo q₁ = quantil da distribuição log-normal com 0,135% e q₃ = quantil da distribuição log-normal com 99,865%.

Assim,

$$P_p = \dfrac{3000 - 30}{9021,697 - 1,9892} = 0,3292$$

• Cálculo de PPS e PPI

$$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3 - q_2}~~~~~~~\mbox{e}~~~~~~~PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2 - q_1}$$

em que q₁ = quantil da distribuição log-normal com 0,135%, q₂ = quantil da distribuição log-normal com 50% (equivalente ao valor correspondente à mediana dos dados) e q₃ = quantil da distribuição log-normal com 99,865%.

Assim,

$$PPS = \dfrac{3000 - 133,955}{9018,81 - 133,955} = 0,3225~~~~~~~\mbox{e}~~~~~~~PPI = \dfrac{133,955 - 30}{133,955 -1,9896} = 0,7877$$

sendo q₁ = 1,9896 , q₂ = 133,955 e q₃ = 9018,81 quantis da distribuição log-normal e que podem ser calculados através do Software Action, para saber mais clique aqui.

• Cálculo de P_pk

$$P_{pk} = \min\{PPI, PPS\} = \min\{0,7877;~0,3225\} = 0,3225$$

• Cálculo de (PPM < LIE) e (PPM > LSE) esperados

$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast q_{LIE}~~~~~~\mbox{e}~~~~~~PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast (1 - q_{LSE})$$

em que q_LIE = quantil da distribuição log-normal relativo ao LIE e q_LSE = quantil da distribuição log-normal relativo ao LSE.

Com isso,

$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast 0,1431370 = 143137$$

$$PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast 0,01336716 = 13367,16$$

E, portanto

$$PPM_{EspTotal} = 143137 + 13367,16 = 156504,16$$

• Cálculo de (PPM < LIE) e (PPM > LSE) observados

$$PPM_{Obs}~\textless~LIE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textless~LIE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \left(\dfrac{7}{50}\right) \ast 1.000.000 = 140000$$

$$PPM_{Obs}~\textgreater~LSE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textgreater~LSE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \left(\dfrac{1}{50}\right) \ast 1.000.000 = 20000$$

$$PPM_{ObsTotal} = [PPM_{Obs}~\textless~LIE] + [PPM_{Obs}~\textgreater~LSE] = 140000 + 20000 = 160000$$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action Stat para esse exemplo.

Figura 4.2.4.3: Gráfico da análise de performance do processo.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.