4.2.4 - Análise de performance do processo com a distribuição log-normal

Assim como a distribuição de Weibull, a distribuição log-normal é muito usada para caracterizar o tempo de vida de produtos e materiais. Isto inclui por exemplo, fadiga de metal, semicondutores, diodos e isolação elétrica. A função densidade de probabilidade para uma distribuição log-normal é dada por

$f(t) = \dfrac{1}{t\sigma\sqrt{2\pi}}~\exp\left[\dfrac{-\left(\log(t)-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right],~~~t \geq 0$

em que μ é a média do logaritmo e σ é o desvio-padrão do logaritmo.

Figura 4.2.4.1: Gráfico das funções densidades da distribuição log-normal com $\mu = 0$ e diferentes valores de $\sigma$

O valor esperado e a variância são dados, respectivamente, por

$E[T] = \exp\left\{\mu + \left(\dfrac{\sigma^2}{2}\right)\right\}$

$Var[T] = (\exp\{\sigma^2\} - 1)\exp\{2\mu + \sigma^2\}$

Existe uma relação entre a distribuição log-normal e normal. Como o nome sugere, o logaritmo de uma variável com distribuição log-normal com parâmetros μ e σ tem distribuição normal com média μ e desvio padrão σ. Esta relação significa que dados provenientes de uma distribuição log-normal podem ser analisados segundo uma distribuição normal, caso sejam usados o logaritmo dos dados ao invés dos valores originais.

Exemplo 4.2.4.1:

Vamos considerar os dados referentes à medições dispostos na Tabela 4.2.4.1 . As especificações para esse exemplo são: LSE = 3000 e LIE = 30.

Tabela 4.2.4.1: Medições.

Medições
24,23	323,44	61,65	8,61	3556,16
62,55	115,35	1865	127,5	59,75
193,35	91,44	199,21	309,33	10,53
79,59	31,2	79,02	17,11	92,9
149,88	272,17	58,15	2300,26	217,09
733,15	59,6	691,09	244,52	115,66
514,14	9,98	42,43	7,68	425,71
238,75	85,78	51,42	83,97	296,95
222,57	29,01	342,19	45,33	867,67
363,23	593,02	138,81	520,4	161,08

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

A seguir temos o papel de probabilidade para os dados. Podemos ver que o p-valor para o teste de Anderson-Darling referente à distribuição log-normal (0,924) é maior do que 0,05 então, podemos dizer que esta distribuição descreve bem os dados.

Figura 4.2.4.2: Papel de probabilidade.

As estimativas dos parâmetros da distribuição log-normal são dadas por

$\widehat{\mu} = \mbox{Média[log(dados)]} = 4,8975$

$\widehat{\sigma} = \sqrt{\mbox{Var[log(dados)]}} = 1,4032$

Com isso, temos

$E[T] = \exp\left\{4,8975 + \left(\dfrac{1,969}{2}\right)\right\} = 358,5256$

A variabilidade a longo prazo é dada por

$Var[T] = (\exp\{1,969\} - 1)\exp\{2 \ast (4,8975) + 1,969\} = 792261,1$

Logo, o desvio padrão é dado por

$s = \sqrt{792261,1} = 890,09$

Com isso, os valores dos índices de performance para os dados do noso exemplo são obtidos da seguinte forma

Cálculo de P_p

$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{q_3 - q_1}$

sendo q₁ = quantil da distribuição log-normal com 0,135% e q₃ = quantil da distribuição log-normal com 99,865%.

Assim,

$P_p = \dfrac{3000 - 30}{9021,697 - 1,9892} = 0,3292$

Cálculo de PPS e PPI

$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3 - q_2}~~~~~~~\mbox{e}~~~~~~~PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2 - q_1}$

em que q₁ = quantil da distribuição log-normal com 0,135%, q₂ = quantil da distribuição log-normal com 50% (equivalente ao valor correspondente à mediana dos dados) e q₃ = quantil da distribuição log-normal com 99,865%.

Assim,

$PPS = \dfrac{3000 - 133,955}{9018,81 - 133,955} = 0,3225~~~~~~~\mbox{e}~~~~~~~PPI = \dfrac{133,955 - 30}{133,955 -1,9896} = 0,7877$

sendo q₁ = 1,9896 , q₂ = 133,955 e q₃ = 9018,81 quantis da distribuição log-normal e que podem ser calculados através do Software Action, para saber mais clique aqui.

Cálculo de P_pk

$P_{pk} = \min\{PPI, PPS\} = \min\{0,7877;~0,3225\} = 0,3225$

Cálculo de (PPM < LIE) e (PPM > LSE) esperados

$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast q_{LIE}~~~~~~\mbox{e}~~~~~~PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast (1 - q_{LSE})$

em que q_LIE = quantil da distribuição log-normal relativo ao LIE e q_LSE = quantil da distribuição log-normal relativo ao LSE.

Com isso,

$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast 0,1431370 = 143137$

$PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast 0,01336716 = 13367,16$

E, portanto

$PPM_{EspTotal} = 143137 + 13367,16 = 156504,16$

Cálculo de (PPM < LIE) e (PPM > LSE) observados

$PPM_{Obs}~\textless~LIE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textless~LIE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \left(\dfrac{7}{50}\right) \ast 1.000.000 = 140000$

$PPM_{Obs}~\textgreater~LSE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textgreater~LSE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \left(\dfrac{1}{50}\right) \ast 1.000.000 = 20000$

$PPM_{ObsTotal} = [PPM_{Obs}~\textless~LIE] + [PPM_{Obs}~\textgreater~LSE] = 140000 + 20000 = 160000$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action Stat para esse exemplo.

Figura 4.2.4.3: Gráfico da análise de performance do processo.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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