4.2.5 - Análise de performance do processo com a distribuição normal truncada

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A variável aleatória contínua $ X $ tem distribuição normal truncada em $ [a,b] $ com os parâmetros $ \mu, \sigma^2 $ se sua função densidade de probabilidade for dada por

$$f(x) = \left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}{G(b)-G(a)}\text{ se }a\leq x\leq b\\ \\0~~~~~~~~~~~~~~~~~~;\text{ caso contrário.}\end{matrix}\right.$$

ou em termos da função da distribuição acumulada da normal padrão, $ \Phi(\cdot) $, temos

$$f(x) = \left\lbrace \begin{matrix} \dfrac{ \frac{1}{\sigma} \phi \left( \dfrac{x-\mu}{\sigma} \right) }{ \Phi\left( \dfrac{b-\mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \dfrac{a - \mu}{\sigma} \right) }; \text{se }a \leq x \leq b \\ \\0~~~~~~~~~~~~~~; \text{caso contrário.} \end{matrix} \right.$$

Notação: 

$ X \sim NT(\mu, \sigma^2;a,b) $

Figura 4.2.5.1: Função densidade de probabilidade da distribuição normal truncada

O valor esperado é dado por

$$E(X) = \mu + \dfrac{ \phi \left( \frac{a-\mu}{\sigma} \right) - \phi \left( \frac{b-\mu}{\sigma} \right) }{ \Phi \left( \frac{b-\mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{a-\mu}{\sigma} \right) } \sigma,$$

A variância é dada por

$$ Var(X) = \left[ 1 + \dfrac{ \left( \dfrac{a - \mu}{\sigma } \right) \phi \left( \dfrac{a - \mu}{\sigma } \right) - \left( \dfrac{b - \mu}{\sigma } \right) \phi \left( \dfrac{b - \mu}{\sigma } \right) }{ G(b) - G(a) } \right] \sigma^2 - \left[ \dfrac{ \phi \left( \dfrac{a - \mu}{\sigma } \right) - \phi \left( \dfrac{b - \mu}{\sigma } \right) }{ G(b) - G(a) } \right]^2 \sigma^2 $$

em que $ \phi(\cdot) $ é a f.d.p. e $ \Phi(\cdot) $ é a função de distribuição da distribuição normal padrão.

Clique aqui para mais detalhes da distribuição normal truncada.

Exemplo 4.2.5.1:

Suponha que um processo de fabricação de uma determinada peça é estável e tenha limite superior e inferior de especificação em $ LSE = 60mm $ e $ LIE = 30mm $ e o alvo do processo é $ 45mm $. Além disso, devido às características do processo é impossível ter uma peça fabricada abaixo de $ 20mm $ (truncamento à esquerda) e acima de $ 70mm $ (truncamento à direita). Uma amostra de tamanho 30 é selecionada para estudar a capacidade do processo. Os valores estão na tabela abaixo. Clique aqui para o download dos dados.

Tabela 4.2.5.1: Medições
30.709 39.881 38.887 40.48 53.794
56.98 51.212 37.97 49.866 42.547
45.289 34.562 36.649 44.493 59.616
48.079 43.759 36.413 40.419 49.865
48.492 51.265 43.097 57.779 48.266
55.115 57.527 52.867 37.887 46.975

 

O papel de probabilidades e o teste de Anderson Darling a seguir, indicam que a distribuição normal truncada descreve bem os dados.

 

 

Figura 4.2.5.2: Papel de probabilidades

 

As estimativas dos parâmetros da distribuição normal truncada no intervalo $ [20, 70] $ são dadas por

$$\widehat{\mu} = 46,04\text{ e }\widehat{\sigma} = 7,62$$

Assim, podemos calcular os índices de performance para os dados do nosso exemplo da seguinte forma

  • Cálculo de Pp

$$P_p = \dfrac{LSE-LIE}{q_3 - q_1} $$

em que q1 e q2 são os quantis da distribuição normal truncada no intervalo $ [20,70] $ com 0,135% e 99,865%, respectivamente.
Portanto,

$$P_p = \dfrac{60-30}{67,77 - 23,66} = 0,68$$
  • Cálculo de PPS e PPI

$$PPS = \dfrac{LSE-q2}{q3-q2}\text{ e } PPI = \dfrac{q2-LIE}{q2-q1}$$

em que $ q_2 $ é o quantil da distribuição normal truncada no intervalo [20, 70] com 50% (equivalente à mediana dos dados)
Portanto,

$$PPS = \dfrac{60-46,03}{67,77-46,03} = 0,645\text{ e } PPI = \dfrac{46,03-30}{46,03-23,66} = 0,716$$
  • Cálculo de Ppk

$$P_{pk} = min\{ PPI, PPS \} = min \{ 0,716; 0,645 \} = 0,645$$
  • Cálculo de (PPM < LIE) e (PPM >LSE) esperados

$$PPM_{Esp} \textless LIE = 1.000.000 * q_{LIE} \text{ e } PPM_{ESP} \textgreater LSE=1.000.000*(1- q_{LSE}) $$

em que $ q_{LIE} $ e $ q_{LSE} $ são os quantis da distribuição normal truncada no intervalo [20,70] nos pontos LIE e LSE, respectivamente.

Assim,

$$PPM_{Esp}\textless LIE = 1.000.000 * 0,01743081 = 17.430,81$$

$$PPM_{Esp}\textgreater LSE = 1.000.000 * (1 - 0,9672764) = 32.723,56$$
  • Cálculo do PPMEspTotal

$$PPM_{EspTotal} = [PPM_{Esp} \textless&amp;nbsp;LIE] + [PPM_{Esp} \textgreater&amp;nbsp;LSE] = 17.430,81 + 32.723,56 = 50.154,37$$
  • Cálculo de (PPM < LIE) e (PPM > LSE) observados

$$PPM_{Obs} \textless LIE = 1.000.000 \times \left( \dfrac{\text{Qtde. de Observada} \textless LIE}{n} \right) = 1.000.000 \times \left( \dfrac{0}{30} \right) = 0 $$

$$PPM_{Obs} \textgreater LSE = 1.000.000 \times \left( \dfrac{\text{Qtde. de Observada} \textgreater LSE}{n} \right) 1.000.000 \times \left( \dfrac{0}{30} \right) = 0 $$

$$PPM_{ObsTotal} = PPM_{Obs} \textless LIE + PPM_{Obs} \textgreater LSE = 0 + 0 = 0$$

 

A seguir, temos os resultados obtidos utilizando o software Action. 

 

 

Figura 4.2.5.3: Análise de Performance do Processo

 

 

Análise de Capacidade

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