4.2.6 - Análise de performance do processo com a distribuição normal dobrada

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A variável aleatória contínua X tem distribuição normal dobrada com os parâmetros $ (\mu, \sigma^2) $ se a sua função densidade de probabilidade for dada por:

 $$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \left[ e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{ 2 \sigma^2 } } + e^{ -\frac{(x+\mu)^2}{ 2 \sigma^2 } } \right], x \geq 0$$

A função de distribuição de X é dada por:

 $$F_X(x; \mu, \sigma) = \dfrac{1}{2} \left[ erf \left( \dfrac{x + \mu}{\sigma\sqrt{2}} \right) + erf \left( \dfrac{x - \mu}{\sigma\sqrt{2}} \right) \right], $$

em que a função erro (erf) é definida por,

 $$erf(x) = \dfrac{2}{ \sqrt{\pi} } \int_0^x e^{-t^2} dt$$

Figura 4.2.6.1: Gráficos da função densidade de probabilidade e da função de distribuição

 

O valor esperado e a variância de X são dados, respectivamente, por:

$$E(X)=\mu \left[1-2\Phi\left( \dfrac{-\mu}{\sigma} \right) \right] + \sigma \sqrt{ \dfrac{2}{\pi} } \exp \left( -\dfrac{ \mu^2 }{ 2\sigma^2} \right)$$

$$Var(X)=\mu^2 + \sigma^2 - \left\lbrace \mu \left[ 1 - 2\Phi \left( \dfrac{-\mu}{\sigma} \right) \right] + \sigma \sqrt{ \dfrac{2}{\pi} } \exp \left( -\dfrac{ \mu^2 }{ 2\sigma^2} \right) \right\rbrace^2, $$

em que $ \Phi(\cdot) $ é a função de distribuição da distribuição normal padrão.

Clique aqui para mais detalhes da distribuição normal dobrada.

Exemplo 4.2.6.1:

Uma fábrica que produz peças cilíndricas precisa estudar a performance do processo de sua linha de produção. Foram coletadas as medidas dos diâmetros de 25 amostras (ver Tabela 4.2.6.1). Suponha que os limites inferior e superior de especificação são, respectivamente, 0,01cm e 0,07cm. Clique aqui para o download dos dados.

Tabela 4.2.6.1: Medições
0.0345 0.0033 0.0185 0.0414 0.0305
0.0244 0.0518 0.0452 0.03 0.0108
0.0483 0.0339 0.0204 0.0239 0.0551
0.0137 0.0146 0.0272 0.0253 0.0588
0.0653 0.0679 0.047 0.0226 0.0209

A seguir, temos o papel de probabilidades para os dados da Tabela 4.2.6.1. A distribuição normal dobrada descreve bem os dados, pois o p-valor do teste de Anderson Darling é > 0,05.

 

Tabela 6.2.4.1: Teste de Anderson Darling

 

Figura 4.2.6.1: Papel de probabilidades

As estimativas de $ \mu $ e $ \sigma $ são dadas por:

 $$\hat{\mu}=0,0329$$

$$\widehat{\sigma}=0,0181$$

Assim, podemos calcular os índices de performance para os dados do nosso exemplo da seguinte forma

  • Cálculo de Pp

$$P_p = \dfrac{LSE-LIE}{q_3 - q_1}$$

em que q1 e q2 são os quantis da distribuição normal dobrada com 0,135% e 99,865%, respectivamente.
Portanto,

$$P_p = \dfrac{0,07-0,01}{0,087 - 0,0002} = 0,689$$
  • Cálculo de PPS e PPI

 $$PPS = \dfrac{LSE-q2}{q3-q2} \text{ e } PPI = \dfrac{q2-LIE}{q2-q1}$$

em que $ q_2 $ é o quantil da distribuição normal dobrada com 50% (equivalente à mediana dos dados)
Portanto,
 $$PPS = \dfrac{0,07-0,033}{0,087-0,033} = 0,682 \text{ e } PPI = \dfrac{0,033-0,01}{0,033-0,0002} = 0,6997$$

  • Cálculo de Ppk

$$P_{pk} = min\{ PPI, PPS \} = min \{ 0,6997; 0,682 \} = 0,682$$

  • Cálculo de (PPM < LIE) e (PPM > LSE) esperados

 $PPM_{Esp} \texless LIE = 1.000.000 * q_{LIE}$ e $ PPM_{ESP} \textgreater LSE = 1.000.000*(1- q_{LSE}) $ em que $ q_{LIE} $ e $ q_{LSE} $ são os quantis da distribuição normal dobrada nos pontos LIE e LSE, respectivamente.

Assim,

 $$PPM_{Esp} \textless LIE = 1.000.000 * 0,09381355 = 93.813,55$$

$$PPM_{Esp} \textgreater LSE = 1.000.000 * (1 - 0,9796906) = 20.309,43$$

  • Cálculo do PPMEspTotal

 $$PPM_{EspTotal} = [PPM_{Esp} \textless LIE] + [PPM_{Esp} \textgreater LSE] = 93.813,55 + 20.309,43 = 114.123$$

  • Cálculo de (PPM < LIE) e (PPM > LSE) observados

 $$PPM_{Obs} \textless LIE = 1.000.000 \times \left( \dfrac{\text{Qtde. de Observada} \textless LIE}{n} \right) = 1.000.000 \times \left( \dfrac{1}{30} \right) = 40.000$$

$$PPM_{Obs} \textgreater LSE = 1.000.000 \times \left( \dfrac{\text{Qtde. de Observada} \textgreater LSE}{n} \right) 1.000.000 \times \left( \dfrac{0}{30} \right) = 0$$

$$PPM_{ObsTotal} = PPM_{Obs} \textless LIE + PPM_{Obs} \textgreater LSE = 40.000 + 0 = 40.000$$

 

A seguir temos os resultados obtidos pelo software Action

 Figura 4.2.6.2: Análise de performance do processo

 

 

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