4.2.7 - Análise de performance do processo com distribuição de Rayleigh

A variável aleatória contínua X segue uma distribuição de Rayleigh se sua função densidade de probabilidade for dada por

$$f(x) = \dfrac{x}{\sigma^2} \exp \left\lbrace \dfrac{-x^2}{2 \sigma^2} \right\rbrace$$

 

A função de distribuição é dada por

$$F(x) = 1 - \exp \left\lbrace \dfrac{-x^2}{2 \sigma^2} \right\rbrace; x \geq 0; \sigma ~\textgreater~ 0$$

 

A função densidade e a função de distribuição podem ser observadas no gráfico abaixo.

Figura 4.2.7.1: Função densidade de probabilidade (gráfico à esquerda) e função de distribuição (gráfico à direita)

 

O valor esperado e a variância são dados, respectivamente, por,

$$E(X)=\sigma \dfrac{\pi}{2} \approx 1,253 \sigma$$
$$Var(X)=\dfrac{4-\pi}{2} \sigma^2 \approx 0,429 \sigma^2$$

Clique aqui para mais detalhes sobre a distribuição de Rayleigh.

 

Exemplo 4.2.7.1:

A Tabela 4.2.7.1 contém 50 amostras de um processo sob controle. Considere que $ LSE=5 $ e o alvo é $ 1,5 $. Analise a performance do processo. Clique aqui para o download dos dados.

Tabela 4.2.7.1: 50 amostras de um processo sob controle

2,761 1,422 0,797 2,624 0,318
2,379 0,559 1,671 2,001 0,394
2,038 1,410 3,056 4,495 1,947
0,887 0,999 1,233 0,233 1,481
0,943 1,204 1,405 2,534 0,418
1,793 1,184 2,328 3,540 1,595
3,703 1,721 2,389 3,455 2,830
0,562 1,952 1,817 2,469 2,692
2,076 1,753 2,067 1,495 1,604
1,903 1,159 3,963 1,016 1,843

 

A distribuição de Rayleigh descreve bem os dados, pois o p-valor do teste de Anderson Darling é > 0,05 (ver a tabela abaixo).  O papel de probabilidade da Figura 4.2.7.1 também indica essa conclusão.

 

Tabela 4.2.7.2: Identificação da distribuição

Figura 4.2.7.1: Papel de probabilidades

 

A estimativa de $ \sigma $ é dada por:

$$\hat{\sigma} = 1,469$$

 

Dessa forma,

$$E(X) = \dfrac{\sigma \pi}{ 2 } \approx 1,253 \sigma \approx 1,469 \times 1,253 \approx 1,841$$

 

A variância é dada por,

$$Var(X) = \dfrac{4-\pi}{2} \sigma^2 \approx 0,429 \sigma^2 \approx 0,429 \times 1,469^2 \approx 0,926$$

 

Assim, podemos calcular os índices de performance para os dados do nosso exemplo da seguinte forma:

  • Cálculo do PPS

$$PPS = \dfrac{LSE - q2}{q3-q2},$$

em que $ q_2 $ é o quantil da distribuição normal dobrada com 50% (equivalente à mediana dos dados).

Portanto,


$$PPS = \dfrac{5- 1,73}{5,342-1,73} = 0,905$$

Como temos apenas o limite superior, $ P_{pk} = PPS = 0,905 $

 

  • Cálculo do PPM > LSE esperado

$$PPM_{ESP} ~\textgreater~ LSE = 1.000.000*(1- q_{LSE})$$

em que $ q_{LSE} $ é o quantil da distribuição de Rayleigh no ponto LSE.

Assim,

$$PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 * (1 - 0,9969403) = 3.059,74$$

 

  • Cálculo de PPM > LSE observado

$$PPM_{Obs}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \times \left( \dfrac{\text{Qtde. de Observada}~\textgreater~LSE}{n} \right) = 1.000.000 \times \left( \dfrac{0}{50} \right) = 0$$

$$PPM_{ObsTotal}=PPM_{Obs}~\textgreater~LSE=0$$

 

A seguir a saída pelo software Action

Tabela 4.2.7.3: Índices da análise de performance do processo

Figura 4.2.7.2: Gráfico da análise da performance do processo

Análise de Capacidade

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