4.2.8 - Análise de performance do processo com a distribuição de Rice

 A variável aleatória contínua $ X $ tem distribuição de Rice se a sua função densidade de probabilidade for dada por

$$f(x)=\dfrac{x}{\sigma^2} \exp \left( \dfrac{ -(x^2 + v^2) }{2\sigma^2} \right) I_0 \left( \dfrac{xv}{\sigma^2} \right); x,v \in \Re; \sigma^2 \textgreater 0,$$

em que,

  • $$I_{\alpha}(z) = \sum_{m=0}^\infty \dfrac{1}{ m! \Gamma(m + \alpha + 1) } \left( \dfrac{z}{2} \right)^{2m+\alpha}, \alpha \in \Re,$$

é a função modificada de Bessel do primeiro tipo de ordem $ \alpha $.

  • $$\Gamma(y) = \left\lbrace \begin{array}{} (y-1)!, ~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{se} y \in \aleph* \\ \\\int_0^\infty x^{y-1} e^{-x} dx~~~~~~~~~~ \text{se}~~ y ~\textgreater~ 0 \end{array} \right. $$

é a função Gama.

 

A função de distribuição $ F(x) $ é dada por

$$F(x) = 1- Q_1 \left( \dfrac{v}{\sigma}, \dfrac{x}{\sigma} \right)$$

em que

$$Q_M(a,b) = \int_a^\infty x \left( \dfrac{x}{a} \right)^{M-1} \exp \left( - \dfrac{x^2 + a^2}{2} \right) I_{M-1}(ax) dx$$

é chamada Função-Q Marcum Marcum Q-Function.

 

A função densidade de probabilidade e a função de distribuição de X podem ser observadas no gráfico a seguir

Figura 4.2.8.1: Função densidade de probabilidade e função de distribuição.

 

O valor esperado é dado por

$$E(X)= \sigma \sqrt{ \dfrac{\pi}{2}} L_{1/2} \left( \dfrac{-v^2}{2 \sigma^2} \right),$$

em que

$$L_n(x) = \dfrac{e^x}{n!} \dfrac{d^n}{dx^n} \left( e^{-x} x^n\right) = \dfrac{1}{n!} \left( \dfrac{d}{dx} -1 \right)^n x^n$$

 

A variância é dada por

$$Var(X) = 2\sigma^2 + v^2 - \dfrac{\pi \sigma^2}{2} L^2_{1/2} \left( \dfrac{-v^2}{2\sigma^2} \right)$$

Clique aqui para mais detalhes da distribuição de Rice.

 

Exemplo 4.2.8.1

Considere que a medida ideal do raio de uma roda de carro de 17 polegadas seja de $ 21,59cm $. Os limites inferior e superior de especificação são, respectivamente, $ 21cm $ e $ 22,18cm $. Utilize os dados da Tabela e faça uma análise de performance do processo. Clique aqui para o download dos dados.

Tabela 4.2.8.1: Medidas

21.5583 21.3205 21.0805 21.6013 21.9007
21.4604 21.7211 21.3939 20.7637 21.2943
20.6189 21.6634 21.7711 21.7145 21.3376
21.8112 21.0616 21.9476 20.9771 21.5657
21.7394 22.2237 21.3482 22.4511 21.3744
21.5593 22.4244 20.7905 21.4619 21.9561
21.4434 21.389 21.7656 21.9378 21.6846
21.3088 21.9121 21.0232 20.8948 21.8802
22.138 21.4864 21.6453 22.069 22.3829
21.189 22.0284 21.6328 21.3858 20.8845

 

O papel de probabilidades e o teste de Anderson Darling a seguir indicam que a distribuição Rice descreve bem os dados.

Figura 4.2.8.2: Papel de probabilidades

 

As estimativas dos parâmetros de escala e de forma da distribuição Rice são dadas, respectivamente, por

$$\hat{v}=22$$

e

$$\hat{\sigma}=0,43$$

 

Dessa forma,

$$E(X)=\sigma \sqrt{ \dfrac{\pi}{2}} L_{1/2} \left( \dfrac{-v^2}{2 \sigma^2} \right) =0,43*\sqrt{1.570796}*L_{1/2}(-932,2562)=0,43*1,253314*34,4619=21,59579$$

$$Var(X)=2\sigma^2 + v^2 - \dfrac{\pi \sigma^2}{2} L^2_{1/2} \left( \dfrac{-v^2}{2\sigma^2} \right)=2*0,43^2+22^2-\dfrac{\pi*0,43^2}{2}L^2_{1/2}(-932,2562)=2*0,1849+484-0,3927*1187,622=0,2499329$$

Assim, o desvio padrão $ s $ é dado por

$$s=\sqrt(0,2499329)=0,4999329$$

 

Agora, vamos calcular os índices de performance do processo.

  • Cálculo do Pp

$$P_p = \dfrac{ LSE - LIE }{q_3 - q_1}$$

em que $ q_1 $ e $ q_3 $ são os quantis da distribuição Rice com 0,135% e 99,865%, respectivamente.

Dessa forma,

$$P_p = \dfrac{22,5-20,5}{23,096-20,096}=0,6667614$$

 

  • Cálculo do PPS e PPI

$$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3-q_2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2-q_1}$$

em que $ q_1= $quantil da distribuição Rice com 0,135%, $ q_2= $quantil da distribuição Rice com 50% (mediana dos dados) e $ q_3= $quantil da distribuição Rice com 99,865%.

Portanto,

$$PPS = \dfrac{22,5-21,5962}{23,096-21,596}=0,6029~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{21,596-20,5}{21,596-20,096}=0,7306$$

 

  • Cálculo do Ppk

$$P_{pk}=min\{PPI,PPS\}=min\{0,7306;0,6029\}=0,6029$$

 

  • Cálculo do (PPM<LIE) e (PPM>LSE) esperados

$$PPM_{Esp} \textless LIE = 1.000.000 \times q_{LIE}~~~~~~~~~~~~~~~~~~PPM_{Esp} \textgreater LSE = 1.000.000 \times ( 1 - q_{LSE} )$$

sendo qLIE = quantil da distribuição Rice relativo ao LIE  e  qLSE = quantil da distribuição Rice relativo ao LSE.

Assim,

$$PPM_{Esp} \textless LIE = 1.000.000 \times 0,01419397=14.193,97$$

$$PPM_{Esp} \textgreater LSE = 1.000.000 \times ( 1 - 0,9647478)=35.252,16$$

$$PPM_{EspTotal}=(PPM_{Esp} \textless LIE)+(PPM_{Esp} \textgreater LSE)=14.193,97+35.252,16=49.446,13$$

 

  • Cálculo do (PPM<LIE) e (PPM>LSE) observados

$$PPM_{Obs} \textless LIE = 1.000.000 \times \left(\dfrac{\text{Qtde. de Observada} \textless LIE}{n} \right)$$

$$PPM_{Obs} \textgreater LSE = 1.000.000 \times \left( \dfrac{\text{Qtde. de Observada} \textgreater LSE}{n} \right)$$

Assim,

$$PPM_{Obs} \textless LIE = 1.000.000 \times \left(\dfrac{0}{50} \right)=0$$

$$PPM_{Obs} \textgreater LSE = 1.000.000 \times \left( \dfrac{0}{50} \right)=0$$

$$PPM_{ObsTotal}= (PPM_{Obs} \textless LIE)+(PPM_{Obs} \textgreater LSE)=0+0=0$$

 

A seguir temos os resultados obtidos pelo software Action

 

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