4.2.9 - Análise de performance do processo com a distribuição normal estendida

 A variável aleatória X tem distribuição normal estendida com os parâmetros $\sigma^2,\mu_1,\mu_2$ se a sua função densidade de probabilidade for dada por:

$$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma+ \mu_2-\mu_1} \times \exp{\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu_1}{ \sigma}\right)^2 \right]~~~~\text{se}~~~~~~x\textless \mu_1$$

$$ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma + \mu_2 - \mu_1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{se}~~~~~\mu_1\textless x \textless\mu_2$$

$$ f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma+ \mu_2 - \mu_1} \times \exp{\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu_2}{ \sigma}\right)^2 \right] }~~~~~~~~~~~~\text{se}~~~~x \textgreater \mu_2$$

Em que,

• $\mu_1$ e $\mu_2$ são as médias das distribuições normais que limitam a normal estendida
• $\sigma$ é o desvio padrão

Figura 4.2.9.1: Gráfico da função densidade de probabilidade da distribuição normal estendida

Figura 4.2.9.2: Gráfico da função de distribuição acumulada da distribuição normal estendida.

Notação: $X \sim NE($\mu_1,\mu_2,\sigma)$

A esperança de X é dada por:

$$ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$$

$$E[X] = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma+\mu_2 - \mu_1} \times \left\lbrace \int_{-\infty}^{\mu_1} x \exp{ \left[ -\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{x-\mu_1}{\sigma}\right)^2 \right]}+\int_{\mu_1}^{\mu_2} x dx + \int_{\mu_2}^{\infty} x \exp{\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu_2}{\sigma}\right)^2\right]}\right\rbrace$$

A variância de X é dada por:

$$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$$

em que,

$$E[X^2] = \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x) dx$$

Clique aqui para mais detalhes da distribuição normal estendida.

Exemplo 4.2.9.1:

 Suponha que uma determinada peça cilíndrica deva possuir 20cm de diâmetro. Os limites, inferior e superior, de especificação são, respectivamente, 19,8cm e 20,2cm. Foram coletadas 9 amostras de tamanho 15 cada. Os dados estão na tabela abaixo. Clique aqui para o download dos dados.

O papel de probabilidades da Figura 4.2.9.1 indica que os dados podem ser melhor ajustados pela distribuição Normal Estendida, o que pode ser confirmado pelo p-valor do teste de Anderson Darling.

Figura 4.2.9.2: Papel de Probabilidades

As estimativas dos parâmetros da distribuição normal estendida são dados por,

$$ \hat{\mu_1} = 19.9, \hat{\mu_2} = 20.1, \hat{\sigma}=0.055 $$

Dessa forma, considerando os seguintes limites de especificação: LIE=19,8 e LSE=20,2

• Cálculo do Pp

$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{q_3 - q_1}$$

em que q1 é o quantil da distribuição Normal Estendida com 0,135% e q3 quantil da distribuição Normal Estendida com 99,865%.

Assim,

$$P_p = \dfrac{20,2-19,8}{20,22703-19,76688} = 0,8692875$$

• Cálculo do PPI e PPS

$$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3 - q_2}~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2 - q_1}$$

em que q1 = quantil da distribuição normal estendida com 0,135%, q2 = quantil da distribuição normal estendida com 50% (equivalente ao valor correspondente à mediana dos dados) e q3 = quantil da distribuição normal estendida com 99,865%.

Assim,

$$PPS = \dfrac{20,2 - 19,99696}{20,22703 - 19,99696} =0,8825341 ~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{19,99696 - 19,8}{19,99696 - 19.76688} =0,8560414 $$

em que os valores q1 = 19,76688 , q2 = 19,99696 e  q3 = 20,22703 podem ser calculados através do Software Action.

• Cálculo do Ppk

$$P_{pk}=\min\{PPI,PPS\}=\min\{0,8560414;0,8825341\}=0,8560414$$

• Cálculo do (PPM < LIE) e (PPM > LSE) esperados

$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast q_{LIE}~~~~~~~~~PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast (1 - q_{LSE})$$

sendo qLIE = quantil da distribuição normal estendida relativo ao LIE  e  qLSE = quantil da distribuição normal estendida relativo ao LSE.

Assim,

$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast 0,007260785 = 7.260,785$$

$$PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast 0,005466887= 5.466,887$$

$$PPM_{EspTotal}=7.260,785+5.466,887=12.727,67$$

Cálculo do (PPM < LIE) e (PPM > LSE) observados
$$PPM_{Obs}~\textless~LIE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textless~LIE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \left(\dfrac{2}{135}\right) \ast 1.000.000 = 14.814,81$$

$$PPM_{Obs}~\textgreater~LSE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textgreater~LSE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \left(\dfrac{0}{135}\right) \ast 1.000.000 = 0$$

$$PPM_{ObsTotal} = [PPM_{Obs}~\textless~LIE] + [PPM_{Obs}~\textgreater~LSE] = 14.814,81$$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

Figura 4.2.9.3: Gráfico de análise de performance do processo