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A variável aleatória X tem distribuição normal estendida com os parâmetros $\sigma^2,\mu_1,\mu_2$ se a sua função densidade de probabilidade for dada por:
$$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma+ \mu_2-\mu_1} \times \exp{\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu_1}{ \sigma}\right)^2 \right]~~~~\text{se}~~~~~~x\textless \mu_1$$
$$ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma + \mu_2 - \mu_1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{se}~~~~~\mu_1\textless x \textless\mu_2$$
$$ f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma+ \mu_2 - \mu_1} \times \exp{\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu_2}{ \sigma}\right)^2 \right] }~~~~~~~~~~~~\text{se}~~~~x \textgreater \mu_2$$
Em que,
Figura 4.2.9.1: Gráfico da função densidade de probabilidade da distribuição normal estendida
Figura 4.2.9.2: Gráfico da função de distribuição acumulada da distribuição normal estendida.
Notação: $X \sim NE($\mu_1,\mu_2,\sigma)$
$$ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$$
$$E[X] = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma+\mu_2 - \mu_1} \times \left\lbrace \int_{-\infty}^{\mu_1} x \exp{ \left[ -\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{x-\mu_1}{\sigma}\right)^2 \right]}+\int_{\mu_1}^{\mu_2} x dx + \int_{\mu_2}^{\infty} x \exp{\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu_2}{\sigma}\right)^2\right]}\right\rbrace$$
$$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$$
em que,
$$E[X^2] = \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x) dx$$
Clique aqui para mais detalhes da distribuição normal estendida.
Suponha que uma determinada peça cilíndrica deva possuir 20cm de diâmetro. Os limites, inferior e superior, de especificação são, respectivamente, 19,8cm e 20,2cm. Foram coletadas 9 amostras de tamanho 15 cada. Os dados estão na tabela abaixo. Clique aqui para o download dos dados.
19.781 | 20.039 | 20.108 | 19.887 | 19.973 | 20.044 | 19.829 | 19.975 | 20.128 |
19.876 | 20.021 | 20.117 | 19.963 | 19.923 | 20.097 | 19.94 | 19.969 | 20.103 |
19.954 | 20.016 | 20.14 | 19.942 | 20.038 | 20.107 | 19.922 | 20.024 | 20.094 |
19.923 | 19.892 | 20.159 | 19.921 | 20 | 20.125 | 19.877 | 19.982 | 20.055 |
19.786 | 20.039 | 20.035 | 19.9 | 20.043 | 20.003 | 19.862 | 19.942 | 20.051 |
19.864 | 20.013 | 20.16 | 19.839 | 19.954 | 20.105 | 19.943 | 19.993 | 20.072 |
19.94 | 20.04 | 20.151 | 19.929 | 20.016 | 20.134 | 19.876 | 19.908 | 20.052 |
19.952 | 20.056 | 20.171 | 19.931 | 19.965 | 20.123 | 19.93 | 20.042 | 20.077 |
19.871 | 19.934 | 20.06 | 19.898 | 19.974 | 20.171 | 19.905 | 19.981 | 20.082 |
19.961 | 20.012 | 20.143 | 19.924 | 20.026 | 20.114 | 19.871 | 20.053 | 20.116 |
19.863 | 20.03 | 19.977 | 19.906 | 20.036 | 20.045 | 19.856 | 20.04 | 20.09 |
19.898 | 20.008 | 20.152 | 19.866 | 19.998 | 20.114 | 19.923 | 19.958 | 20.077 |
19.929 | 20.074 | 20.056 | 19.845 | 20.07 | 20.038 | 19.916 | 20.041 | 20.065 |
19.919 | 19.95 | 20.139 | 19.907 | 19.985 | 20.005 | 19.89 | 20.003 | 20.066 |
19.926 | 19.994 | 20.07 | 19.875 | 19.955 | 20.118 | 19.863 | 20.09 | 20.024 |
O papel de probabilidades da Figura 4.2.9.1 indica que os dados podem ser melhor ajustados pela distribuição Normal Estendida, o que pode ser confirmado pelo p-valor do teste de Anderson Darling.
Figura 4.2.9.2: Papel de Probabilidades
As estimativas dos parâmetros da distribuição normal estendida são dados por,
$$ \hat{\mu_1} = 19.9, \hat{\mu_2} = 20.1, \hat{\sigma}=0.055 $$
Dessa forma, considerando os seguintes limites de especificação: LIE=19,8 e LSE=20,2
$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{q_3 - q_1}$$
em que q1 é o quantil da distribuição Normal Estendida com 0,135% e q3 quantil da distribuição Normal Estendida com 99,865%.
Assim,
$$P_p = \dfrac{20,2-19,8}{20,22703-19,76688} = 0,8692875$$
$$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3 - q_2}~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2 - q_1}$$
em que q1 = quantil da distribuição normal estendida com 0,135%, q2 = quantil da distribuição normal estendida com 50% (equivalente ao valor correspondente à mediana dos dados) e q3 = quantil da distribuição normal estendida com 99,865%.
Assim,
$$PPS = \dfrac{20,2 - 19,99696}{20,22703 - 19,99696} =0,8825341 ~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{19,99696 - 19,8}{19,99696 - 19.76688} =0,8560414 $$
em que os valores q1 = 19,76688 , q2 = 19,99696 e q3 = 20,22703 podem ser calculados através do Software Action.
$$P_{pk}=\min\{PPI,PPS\}=\min\{0,8560414;0,8825341\}=0,8560414$$
Cálculo do (PPM < LIE) e (PPM > LSE) esperados
$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast q_{LIE}~~~~~~~~~PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast (1 - q_{LSE})$$
sendo qLIE = quantil da distribuição normal estendida relativo ao LIE e qLSE = quantil da distribuição normal estendida relativo ao LSE.
Assim,
$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast 0,007260785 = 7.260,785$$
$$PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast 0,005466887= 5.466,887$$
$$PPM_{EspTotal}=7.260,785+5.466,887=12.727,67$$
Cálculo do (PPM < LIE) e (PPM > LSE) observados
$$PPM_{Obs}~\textless~LIE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textless~LIE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \left(\dfrac{2}{135}\right) \ast 1.000.000 = 14.814,81$$
$$PPM_{Obs}~\textgreater~LSE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textgreater~LSE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \left(\dfrac{0}{135}\right) \ast 1.000.000 = 0$$
$$PPM_{ObsTotal} = [PPM_{Obs}~\textless~LIE] + [PPM_{Obs}~\textgreater~LSE] = 14.814,81$$
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.
Figura 4.2.9.3: Gráfico de análise de performance do processo
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