4.2.9 - Análise de performance do processo com a distribuição normal estendida

A variável aleatória X tem distribuição normal estendida com os parâmetros $\sigma^2,\mu_1,\mu_2$ se a sua função densidade de probabilidade for dada por:

$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma+ \mu_2-\mu_1} \times \exp{\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu_1}{ \sigma}\right)^2 \right]~~~~\text{se}~~~~~~x\textless \mu_1$

$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma + \mu_2 - \mu_1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{se}~~~~~\mu_1\textless x \textless\mu_2$

$f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma+ \mu_2 - \mu_1} \times \exp{\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu_2}{ \sigma}\right)^2 \right] }~~~~~~~~~~~~\text{se}~~~~x \textgreater \mu_2$

Em que,

$\mu_1$ e $\mu_2$ são as médias das distribuições normais que limitam a normal estendida
$\sigma$ é o desvio padrão

Figura 4.2.9.1: Gráfico da função densidade de probabilidade da distribuição normal estendida

Figura 4.2.9.2: Gráfico da função de distribuição acumulada da distribuição normal estendida.

Notação: $X \sim NE($ \mu_1,\mu_2,\sigma)$

A esperança de X é dada por:

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$

$E[X] = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma+\mu_2 - \mu_1} \times \left\lbrace \int_{-\infty}^{\mu_1} x \exp{ \left[ -\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{x-\mu_1}{\sigma}\right)^2 \right]}+\int_{\mu_1}^{\mu_2} x dx + \int_{\mu_2}^{\infty} x \exp{\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu_2}{\sigma}\right)^2\right]}\right\rbrace$

A variância de X é dada por:

$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$

em que,

$E[X^2] = \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x) dx$

Clique aqui para mais detalhes da distribuição normal estendida.

Exemplo 4.2.9.1:

Suponha que uma determinada peça cilíndrica deva possuir 20cm de diâmetro. Os limites, inferior e superior, de especificação são, respectivamente, 19,8cm e 20,2cm. Foram coletadas 9 amostras de tamanho 15 cada. Os dados estão na tabela abaixo. Clique aqui para o download dos dados.

Tabela 4.2.9.1: Dados

19.781	20.039	20.108	19.887	19.973	20.044	19.829	19.975	20.128
19.876	20.021	20.117	19.963	19.923	20.097	19.94	19.969	20.103
19.954	20.016	20.14	19.942	20.038	20.107	19.922	20.024	20.094
19.923	19.892	20.159	19.921	20	20.125	19.877	19.982	20.055
19.786	20.039	20.035	19.9	20.043	20.003	19.862	19.942	20.051
19.864	20.013	20.16	19.839	19.954	20.105	19.943	19.993	20.072
19.94	20.04	20.151	19.929	20.016	20.134	19.876	19.908	20.052
19.952	20.056	20.171	19.931	19.965	20.123	19.93	20.042	20.077
19.871	19.934	20.06	19.898	19.974	20.171	19.905	19.981	20.082
19.961	20.012	20.143	19.924	20.026	20.114	19.871	20.053	20.116
19.863	20.03	19.977	19.906	20.036	20.045	19.856	20.04	20.09
19.898	20.008	20.152	19.866	19.998	20.114	19.923	19.958	20.077
19.929	20.074	20.056	19.845	20.07	20.038	19.916	20.041	20.065
19.919	19.95	20.139	19.907	19.985	20.005	19.89	20.003	20.066
19.926	19.994	20.07	19.875	19.955	20.118	19.863	20.09	20.024

O papel de probabilidades da Figura 4.2.9.1 indica que os dados podem ser melhor ajustados pela distribuição Normal Estendida, o que pode ser confirmado pelo p-valor do teste de Anderson Darling.

Figura 4.2.9.2: Papel de Probabilidades

As estimativas dos parâmetros da distribuição normal estendida são dados por,

$\hat{\mu_1} = 19.9, \hat{\mu_2} = 20.1, \hat{\sigma}=0.055$

Dessa forma, considerando os seguintes limites de especificação: LIE=19,8 e LSE=20,2

Cálculo do Pp

$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{q_3 - q_1}$

em que q1 é o quantil da distribuição Normal Estendida com 0,135% e q3 quantil da distribuição Normal Estendida com 99,865%.

Assim,

$P_p = \dfrac{20,2-19,8}{20,22703-19,76688} = 0,8692875$

Cálculo do PPI e PPS

$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3 - q_2}~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2 - q_1}$

em que q1 = quantil da distribuição normal estendida com 0,135%, q2 = quantil da distribuição normal estendida com 50% (equivalente ao valor correspondente à mediana dos dados) e q3 = quantil da distribuição normal estendida com 99,865%.

Assim,

$PPS = \dfrac{20,2 - 19,99696}{20,22703 - 19,99696} =0,8825341 ~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{19,99696 - 19,8}{19,99696 - 19.76688} =0,8560414$

em que os valores q1 = 19,76688 , q2 = 19,99696 e q3 = 20,22703 podem ser calculados através do Software Action.

Cálculo do Ppk

$P_{pk}=\min\{PPI,PPS\}=\min\{0,8560414;0,8825341\}=0,8560414$

Cálculo do (PPM < LIE) e (PPM > LSE) esperados

$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast q_{LIE}~~~~~~~~~PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast (1 - q_{LSE})$

sendo qLIE = quantil da distribuição normal estendida relativo ao LIE e qLSE = quantil da distribuição normal estendida relativo ao LSE.

Assim,

$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast 0,007260785 = 7.260,785$

$PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast 0,005466887= 5.466,887$

$PPM_{EspTotal}=7.260,785+5.466,887=12.727,67$

Cálculo do (PPM < LIE) e (PPM > LSE) observados

$PPM_{Obs}~\textless~LIE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textless~LIE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \left(\dfrac{2}{135}\right) \ast 1.000.000 = 14.814,81$

$PPM_{Obs}~\textgreater~LSE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textgreater~LSE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \left(\dfrac{0}{135}\right) \ast 1.000.000 = 0$

$PPM_{ObsTotal} = [PPM_{Obs}~\textless~LIE] + [PPM_{Obs}~\textgreater~LSE] = 14.814,81$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

Figura 4.2.9.3: Gráfico de análise de performance do processo

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