4.2.9 - Análise de performance do processo com a distribuição normal estendida

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 A variável aleatória X tem distribuição normal estendida com os parâmetros $ \sigma^2,\mu_1,\mu_2 $ se a sua função densidade de probabilidade for dada por:

$$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma+ \mu_2-\mu_1} \times \exp{\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu_1}{ \sigma}\right)^2 \right]~~~~\text{se}~~~~~~x\textless \mu_1$$

$$ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma + \mu_2 - \mu_1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{se}~~~~~\mu_1\textless x \textless\mu_2$$

$$ f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma+ \mu_2 - \mu_1} \times \exp{\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu_2}{ \sigma}\right)^2 \right] }~~~~~~~~~~~~\text{se}~~~~x \textgreater \mu_2$$

Em que,

  • $ \mu_1 $ e $ \mu_2 $ são as médias das distribuições normais que limitam a normal estendida
  • $ \sigma $ é o desvio padrão

Figura 4.2.9.1: Gráfico da função densidade de probabilidade da distribuição normal estendida

Figura 4.2.9.2: Gráfico da função de distribuição acumulada da distribuição normal estendida.

Notação: $ X \sim NE( $\mu_1,\mu_2,\sigma)$

 

A esperança de X é dada por:

$$ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$$

$$E[X] = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma+\mu_2 - \mu_1} \times \left\lbrace \int_{-\infty}^{\mu_1} x \exp{ \left[ -\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{x-\mu_1}{\sigma}\right)^2 \right]}+\int_{\mu_1}^{\mu_2} x dx + \int_{\mu_2}^{\infty} x \exp{\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu_2}{\sigma}\right)^2\right]}\right\rbrace$$

 

A variância de X é dada por:

$$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$$

em que,

$$E[X^2] = \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x) dx$$

 

Clique aqui para mais detalhes da distribuição normal estendida.

Exemplo 4.2.9.1:

 Suponha que uma determinada peça cilíndrica deva possuir 20cm de diâmetro. Os limites, inferior e superior, de especificação são, respectivamente, 19,8cm e 20,2cm. Foram coletadas 9 amostras de tamanho 15 cada. Os dados estão na tabela abaixo. Clique aqui para o download dos dados.

 

Tabela 4.2.9.1: Dados
19.781 20.039 20.108 19.887 19.973 20.044 19.829 19.975 20.128
19.876 20.021 20.117 19.963 19.923 20.097 19.94 19.969 20.103
19.954 20.016 20.14 19.942 20.038 20.107 19.922 20.024 20.094
19.923 19.892 20.159 19.921 20 20.125 19.877 19.982 20.055
19.786 20.039 20.035 19.9 20.043 20.003 19.862 19.942 20.051
19.864 20.013 20.16 19.839 19.954 20.105 19.943 19.993 20.072
19.94 20.04 20.151 19.929 20.016 20.134 19.876 19.908 20.052
19.952 20.056 20.171 19.931 19.965 20.123 19.93 20.042 20.077
19.871 19.934 20.06 19.898 19.974 20.171 19.905 19.981 20.082
19.961 20.012 20.143 19.924 20.026 20.114 19.871 20.053 20.116
19.863 20.03 19.977 19.906 20.036 20.045 19.856 20.04 20.09
19.898 20.008 20.152 19.866 19.998 20.114 19.923 19.958 20.077
19.929 20.074 20.056 19.845 20.07 20.038 19.916 20.041 20.065
19.919 19.95 20.139 19.907 19.985 20.005 19.89 20.003 20.066
19.926 19.994 20.07 19.875 19.955 20.118 19.863 20.09 20.024

 

O papel de probabilidades da Figura 4.2.9.1 indica que os dados podem ser melhor ajustados pela distribuição Normal Estendida, o que pode ser confirmado pelo p-valor do teste de Anderson Darling.

Figura 4.2.9.2: Papel de Probabilidades

As estimativas dos parâmetros da distribuição normal estendida são dados por,

$$ \hat{\mu_1} = 19.9, \hat{\mu_2} = 20.1, \hat{\sigma}=0.055 $$

Dessa forma, considerando os seguintes limites de especificação: LIE=19,8 e LSE=20,2

  • Cálculo do Pp

$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{q_3 - q_1}$$

em que q1 é o quantil da distribuição Normal Estendida com 0,135% e q3 quantil da distribuição Normal Estendida com 99,865%.

Assim,

$$P_p = \dfrac{20,2-19,8}{20,22703-19,76688} = 0,8692875$$
  • Cálculo do PPI e PPS

$$PPS = \dfrac{LSE - q_2}{q_3 - q_2}~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{q_2 - LIE}{q_2 - q_1}$$

em que q1 = quantil da distribuição normal estendida com 0,135%, q2 = quantil da distribuição normal estendida com 50% (equivalente ao valor correspondente à mediana dos dados) e q3 = quantil da distribuição normal estendida com 99,865%.

Assim,

$$PPS = \dfrac{20,2 - 19,99696}{20,22703 - 19,99696} =0,8825341 ~~~~~~~~~~PPI = \dfrac{19,99696 - 19,8}{19,99696 - 19.76688} =0,8560414 $$

em que os valores q1 = 19,76688 , q2 = 19,99696 e  q3 = 20,22703 podem ser calculados através do Software Action.

  • Cálculo do Ppk

$$P_{pk}=\min\{PPI,PPS\}=\min\{0,8560414;0,8825341\}=0,8560414$$
  • Cálculo do (PPM < LIE) e (PPM > LSE) esperados

$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast q_{LIE}~~~~~~~~~PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast (1 - q_{LSE})$$

sendo qLIE = quantil da distribuição normal estendida relativo ao LIE  e  qLSE = quantil da distribuição normal estendida relativo ao LSE.

Assim,

$$PPM_{Esp}~\textless~LIE = 1.000.000 \ast 0,007260785 = 7.260,785$$

$$PPM_{Esp}~\textgreater~LSE = 1.000.000 \ast 0,005466887= 5.466,887$$

$$PPM_{EspTotal}=7.260,785+5.466,887=12.727,67$$

Cálculo do (PPM < LIE) e (PPM > LSE) observados

$$PPM_{Obs}~\textless~LIE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textless~LIE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \left(\dfrac{2}{135}\right) \ast 1.000.000 = 14.814,81$$

$$PPM_{Obs}~\textgreater~LSE = \left(\dfrac{\mbox{Qtde.~de~Obs.}~\textgreater~LSE}{n}\right) \ast 1.000.000 = \left(\dfrac{0}{135}\right) \ast 1.000.000 = 0$$

$$PPM_{ObsTotal} = [PPM_{Obs}~\textless~LIE] + [PPM_{Obs}~\textgreater~LSE] = 14.814,81$$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

Figura 4.2.9.3: Gráfico de análise de performance do processo

Análise de Capacidade

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