4.3.1 - Estimação não paramétrica de densidades: método do núcleo

Em situações que os dados não se ajustam em alguma distribuição conhecida (por exemplo a distribuição normal, Weibull, exponencial, log-normal), utilizam-se técnicas não paramétricas para ajustar uma densidade aos dados. O método de estimação de densidades através de um núcleo (Kernel) é uma técnica não paramétrica para estimação de curvas de densidades no qual cada observação é ponderada pela distância em relação a um valor central, o núcleo. A ideia é centrar cada observação x onde se queira estimar a densidade, uma janela b que define a vizinhança de x e os pontos que pertencem à estimação.

Estimação não paramétrica de Densidade por núcleo (kernel)

O Histograma é a forma mais antiga e utilizada para estimar a função densidade de probabilidade. Dado uma origem $x_0$ e um tamanho de janela $h$ define-se as janelas do histograma pelos intervalos $[x_0 + mh, x_0 + (m+1)h)$  para inteiros positivos e negativos $m$.

$$\widehat{f}(x)=\dfrac{1}{nh}$$

Dada uma função núcleo $K$ não negativa tal que:

$$\int_{-\infty}^{\infty} K(x)dy = 1$$

O estimador do núcleo para função densidade de probabilidade é dado:

$$\widehat{f}(x)=\dfrac{1}{nh} \sum_{i=1}^{n} K\left(\dfrac{x-x_i}{h}\right)$$

A função núcleo mais utilizada é denominada núcleo gaussiano e sua função é dada pela distribuição normal padrão:

$$K(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2}}$$

Exemplo 4.3.1.1: Dada uma amostra aleatória $X_1,X_2,...,X_{10}$ deseja-se estimar a função densidade não paramétrica utilizando o método de Kernel Gaussiano no intervalo de $[-4;4,05]$ com uma janela de $h=0,35$, ou seja observam-se 24 valores $x$.

Observação Dados

$X_1$	-0,05
$X_2$	0,47
$X_3$	-3,02
$X_4$	0,1
$X_5$	0,91
$X_6$	-0,6
$X_7$	0,21
$X_8$	0,77
$X_9$	-0,15
$X_10$	2,05

 

 

$X:[-4,00;4,05]$

-4
-3,65
-3,30
-2,95
-2,6
-2,25
-1,9
-1,55
-1,2
-0,85
-0,5
-0,15
0,2
0,55
0,9
1,25
1,6
1,95
2,3
2,65
3
3,35
3,7
4,05

Portanto incialmente podemos calcular $\sum_{i=1}^{n}K\left(\dfrac{x-X_i}{h}\right)$

$$\sum_{i=1}^{10}K\left(\dfrac{x_1-X_i}{0,35}\right) = \sum_{i=1}^{10}K\left(\dfrac{-4-X_i}{0,35} \right) = 0,008038$$

$$\sum_{i=1}^{10}K\left(\dfrac{x_2-X_i}{0,35}\right) = \sum_{i=1}^{10}K\left(\dfrac{-3,65-X_i}{0,35} \right) = 0,079734$$

$$\vdots$$

$$\sum_{i=1}^{10}K\left(\dfrac{x_{24}-X_i}{0,35}\right) = \sum_{i=1}^{10}K\left(\dfrac{4,05-X_i}{0,35} \right) = 0,00000003$$

Assim, pode-se calcular a densidade estimada:

$$\widehat{f}(x)=\dfrac{1}{nh} \sum_{i=1}^{n} K\left(\dfrac{x_1-x_i}{h}\right) =\dfrac{1}{3,5} \sum_{i=1}^{10} K\left(\dfrac{-4-x_i}{0,35}\right)= 0,0022997$$

$$\widehat{f}(x)=\dfrac{1}{nh} \sum_{i=1}^{n} K\left(\dfrac{x_2-x_i}{h}\right) =\dfrac{1}{3,5} \sum_{i=1}^{10} K\left(\dfrac{-3,65-x_i}{0,35}\right) =0,022781 $$

$$\vdots$$

$$\widehat{f}(x)=\dfrac{1}{nh} \sum_{i=1}^{n} K\left(\dfrac{x_{24}-x_i}{h}\right) =\dfrac{1}{3,5} \sum_{i=1}^{10} K\left(\dfrac{4,05-x_i}{0,35}\right) =0,00000001$$

Depois de estimada a densidade, segue-se com a análise de porformance de forma usual.

Exemplo 4.3.1.2:

Acompanhamos a medição de torque do parafuso de fixação das rodas do terceiro eixo do lado direito do ônibus . A cada duas horas, um especialista da qualidade realiza a medição do torque do parafuso em cinco eixos. Os limites de especificação para essa peça são: LSE = 720 e LIE = 480. Avaliar a capacidade e performance do processo.

Tabela 9.13: Fixação das rodas do terceiro eixo lado direito - Mercedes-Benz.

Subgrupo	Coleta de dados
	X1	X2	X3	X4	X5
1	623,00	589,00	618,00	620,00	613,00
2	618,00	604,00	594,00	618,00	606,00
3	637,00	584,00	608,00	608,00	608,00
4	618,00	635,00	618,00	630,00	608,00
5	587,00	606,00	604,00	616,00	608,00
6	608,00	601,00	601,00	606,00	580,00
7	599,00	589,00	664,00	618,00	728,00
8	584,00	637,00	599,00	628,00	606,00
9	584,00	606,00	587,00	584,00	620,00
10	623,00	632,00	604,00	580,00	601,00
11	589,00	611,00	599,00	592,00	589,00
12	592,00	726,00	580,00	589,00	618,00
13	604,00	613,00	599,00	611,00	599,00
14	611,00	596,00	611,00	580,00	613,00
15	589,00	709,00	592,00	625,00	687,00
16	628,00	592,00	608,00	637,00	656,00
17	606,00	584,00	604,00	592,00	620,00
18	613,00	604,00	618,00	592,00	584,00
19	596,00	587,00	613,00	618,00	592,00
20	581,00	604,00	580,00	611,00	613,00
21	608,00	623,00	604,00	584,00	606,00
22	616,00	599,00	616,00	714,00	611,00
23	632,00	618,00	611,00	584,00	592,00
24	620,00	587,00	580,00	613,00	608,00
25	608,00	582,00	599,00	604,00	604,00

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

 

Observando o papel de probabilidade a seguir vemos que os dados não seguem nenhuma distribuição conhecida testada.

Figura 4.3.1.3: QQplot.

Portanto, vamos utilizar o método do núcleo (Kernel) para fazer uma análise de performance do processo.

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

 

Figura 4.3.1.4: Gráfico da análise de performance do processo - Método do núcleo.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.