5.1 - Análise de performance para dados binomiais

Você está aqui

Dados com distribuição binomial estão associados com o número registrado de itens defeituosos em relação ao total de itens presentes na amostra.

  • O resultado de cada item avaliado deve ser obtido nas mesmas condições de avaliação dos demais itens.
  • Os resultados dos itens são independentes.
  • O resultado da avaliação de cada item é classificado em sucesso ou fracasso.

A proporção média é dada por


$$\overline{p} = \dfrac{D_{Tot}}{N_{Tot}}$$

em que

DTot = Soma das quantidades de itens defeituosos em cada amostra.

NTot = Quantidade de itens avaliados.

A porcentagem de defeituosos é dada por


$$\%~\mbox{Defeituosos} = \overline{p} \ast 100$$

Intervalo de confiança para porcentagem de defeituosos

Os limites inferior e superior (LI e LS) são dados por


$$LI = \dfrac{\nu_{1} \ast F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1},~\nu_{2}\right)}}{\nu_2 +\nu_1 \ast F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1},~\nu_{2}\right)}}$$


$$LS = \dfrac{\nu_{3} \ast F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},~\nu_{3},~\nu_{4}\right)}}{\nu_4 +\nu_3 \ast F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},~\nu_{3},~\nu_{4}\right)}}$$


$$\%~\mbox{Defeituosos} ~LI = LI \ast 100$$


$$\%~\mbox{Defeituosos} ~LS = LS \ast 100$$

em que

$ \nu_1 = 2 \ast D_{Tot} $

$ \nu_2 = 2 \ast (N_{Tot} - D_{Tot} + 1) $

$ \nu_3 = 2 \ast (D_{Tot} + 1) $

$ \nu_4 = 2 \ast (N_{Tot} - D_{Tot}) $

$ F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_1,~\nu_2\right)} $ = quantil da distribuição F com $ \nu_1 $ e $ \nu_2 $ graus de liberdade e que deixa uma área de $ \alpha/2 $ à esquerda.

$ F_{\left(1 - \frac{\alpha}{2},~\nu_3,~\nu_4\right)} $ = quantil da distribuição F com $ \nu_3 $ e $ \nu_4 $ graus de liberdade e que deixa uma área de $ 1 - \alpha/2 $ à esquerda.

Intervalo de confiança para PPM

PPM: É o número esperado de peças defeituosas em um milhão de peças produzidas.


$$\mbox{Limite~inferior} = 1.000.000 \ast (LI)$$


$$\mbox{Limite~superior} = 1.000.000 \ast (LS)$$

Índice de capacidade (Z)

Quanto maior o valor do índice de capacidade (Z) melhor é a performance do processo.


$$\mbox{Processo~Z} = -1 \ast \phi^{-1}(\overline{p})$$

em que

$ \phi^{-1}(\overline{p}) $: quantil da distribuição normal padrão (0,1) com área acumulada igual a $ \overline{p} $. Essa função pode ser calculada diretamente pelo Software Action, para saber mais clique aqui.

Intervalo de confiança para o índice de capacidade (Z)


$$\mbox{Limite~inferior} = -1 \ast \phi^{-1}(LI)$$


$$\mbox{Limite~superior} = -1 \ast \phi^{-1}(LS)$$

Exemplo 5.1.1:

Uma indústria está interessada em analisar a capacidade do processo no qual verifica-se a proporção de peças defeituosas em lotes de 1000 peças. Os dados estão na Tabela 5.1.1.

Tabela 5.1.1: Dados de lotes de peças.

Amostra Peças defeituosas Total de peças na amostra
1 432 1000
2 392 1000
3 497 1000
4 459 1000
5 433 1000
6 424 1000
7 470 1000
8 455 1000
9 427 1000
10 424 1000
11 410 1000
12 386 1000
13 496 1000
14 424 1000
15 425 1000
16 428 1000
17 392 1000
18 460 1000
19 425 1000
20 405 1000
TOTAL 8664 20000

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo


$$\overline{p} = \dfrac{D_{Tot}}{N_{Tot}} = \dfrac{8664}{20000} = 0,4332$$


$$\%~\mbox{Peças~defeituosas} = 43,32.$$

Intervalo de confiança para % peças defeituosas

Calculando os valores de $ \nu $ e F temos


$$\nu_1 = 2 \ast D_{Tot} = 2 \ast (8664) = 17328$$


$$\nu_2 = 2 \ast (N_{Tot} - D_{Tot} + 1) = 2 \ast (20000 - 8664 + 1) = 22674$$


$$\nu_3 = 2 \ast (D_{Tot} + 1) = 2 \ast (8664 + 1) = 17330$$


$$\nu_4 = 2 \ast (N_{Tot} - D_{Tot}) = 2 \ast (20000 - 8664) = 22672$$


$$F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_1,~\nu_2\right)} = 0,9723927$$


$$F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},~\nu_3,~\nu_4\right)} = 1,028336$$

Com isso, os limites são dados por


$$\mbox{Limite inferior}~(LI) = \dfrac{\nu_{1} \ast F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1},~\nu_{2}\right)}}{\nu_2 + \nu_1 \ast F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1},~\nu_{2}\right)}}$$

isto é,


$$LI = \dfrac{17328 \ast 0,972}{22674 + (17328 \ast 0,972)} = \dfrac{16842,82}{22674 + 16842,82} = 0,426219$$


$$\%~LI~\mbox{para peças defeituosas} = LI \ast 100 = 0,426219 \ast 100 = 42,6219$$

Já para o limite superior temos


$$\mbox{Limite superior}~(LS) = \dfrac{\nu_{3} \ast F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},~\nu_{3},~\nu_{4}\right)}}{\nu_4 +\nu_3 \ast F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},~\nu_{3},~\nu_{4}\right)}}$$


$$LS = \dfrac{17330 \ast 1,028336}{22672 + (17330 \ast 1,028336)} = \dfrac{17821,06}{22672 + 17821,06} = 0,440102$$


$$\%~LS~\mbox{para peças defeituosas} = LS \ast 100 = 0,440102 \ast 100 = 44,0102$$

Intervalo de confiança para PPM


$$PPM = \overline{p} \ast 1.000.000 = 0,4332 \ast 1.000.000 = 433200$$


$$\mbox{Limite inferior} = 1.000.000 \ast LI = 1.000.000 \ast 0,426219 = 426219$$


$$\mbox{Limite superior} = 1.000.000 \ast LS = 1.000.000 \ast 0,440102 = 440102$$

Índice de capacidade (Z)


$$\mbox{Processo~Z} = -1 \ast \phi^{-1}(\overline{p}) = -1 \ast \phi^{-1}(0,4332) = 0,168233$$

sendo


$$\phi^{-1}(\overline{p}) = -0,168233$$

Intervalo de confiança para índice de capacidade (Z)


$$\mbox{Limite~superior} = -1 \ast \phi^{-1}(0,440102) = 0,1507114$$


$$\mbox{Limite~inferior} = -1 \ast \phi^{-1}(0,426219) = 0,1857569$$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

 

Figura 5.1.1: Gráficos da análise de performance do processo.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Análise de Capacidade

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]