5.2 - Análise de performance para dados Poisson

Dados com distribuição Poisson estão associados com o número de não-conformidades observados num certo item (amostra) ao longo do espaço/tempo.

• A taxa de não-conformidades por unidade (tempo, medida, etc.) é a mesma para qualquer item.
• O número de não-conformidades observados em um item é independente de qualquer outro.

A média de não-conformidades por item é dado pela fração

$$\overline{Def} = \dfrac{D_{Tot}}{N}$$

em que

D_Tot = Soma de todas as não-conformidades

N = Quantidade de amostras.

Intervalo de confiança para $\overline{Def}$ com 95% de confiança

Os limites são dados por

$$\mbox{Limite~inferior}~(LI) = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1}\right)}$$

$$\mbox{Limite~superior}~(LS) = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{\left(1 - \frac{\alpha}{2},~\nu_{2}\right)}$$

em que

• $\nu_{1} = 2 \ast D_{Tot}$

• $\nu_{2} = 2 \ast (D_{Tot} + 1)$

• $\chi^2_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1}\right)}$ = quantil da distribuição qui-quadrado com $\nu_{1}$ graus de liberdade e que deixa uma área de $\alpha/2$ á esquerda.

• $\chi^2_{\left(1 - \frac{\alpha}{2},~\nu_{2}\right)}$ = quantil da distribuição qui-quadrado com $\nu_{2}$ graus de liberdade e que deixa uma área de $1 - \alpha/2$ à esquerda.

A média de não-conformidades por unidade de medida dentre todas as amostras é dada por

$$\overline{DPU} = \dfrac{D_{Tot}}{N_{Tot}}$$

em que

D_Tot = Soma de todas as não-conformidades

N_Tot = Soma de todos os tamanhos de amostra.

Intervalo de confiança para $\overline{DPU}$ com 95% de confiança

Os limites são dados por

$$\mbox{Limite~inferior}~(LI) = 0,5 \ast \dfrac{1}{N} \ast \chi^2_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1}\right)}$$

$$\mbox{Limite~superior}~(LS) = 0,5 \ast \dfrac{1}{N} \ast \chi^2_{\left(1 - \frac{\alpha}{2},~\nu_{2}\right)}$$

em que

• $\nu_{1} = 2 \ast D_{Tot}$

• $\nu_{2} = 2 \ast (D_{Tot} + 1)$

• $\chi^2_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1}\right)}$ = quantil da distribuição qui-quadrado com $\nu_{1}$ graus de liberdade e que deixa uma área de $\alpha/2$ à esquerda.

• $\chi^2_{\left(1 - \frac{\alpha}{2},~\nu_{2}\right)}$ = quantil da distribuição qui-quadrado com $\nu_{2}$ graus de liberdade e que deixa uma área de $1 - \alpha/2$ à esquerda.

Ainda,

$\min\{DPU\}$: é o menor valor de DPU entre todas as amostras.

$\max\{DPU\}$: é o maior valor de DPU entre todas as amostras.

Exemplo 5.2.1:

Uma indústria está interessada em analisar a capacidade do processo no qual verifica-se o número de pontos não-conformes numa lâmina de aço, sendo que cada lâmina mede 50 cm². Os dados estão dispostos na Tabela 5.2.1.

Tabela 5.2.1: Defeituosos em uma lâmina de aço.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

$$\overline{Def} = \dfrac{D_{Tot}}{N} = \dfrac{94}{30} = 3,13333$$

Intervalo de confiança para $\overline{Def}$ com 95% de confiança

Calculando $\nu_1$ e $\nu_2$ obtemos

$$\nu_1 = 2 \ast D_{Tot} = 2 \ast 94 = 188$$

$$\nu_2 = 2 \ast (D_{Tot} + 1) = 2 \ast 95 = 190$$

Com isso, os limites serão

$$LI = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{(0,025,~\nu_{1})} = 0,5 \ast \dfrac{1}{30} \ast 151,9231 = 2,532052$$

$$LS = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{(0,975,~\nu_{2})} = 0,5 \ast \dfrac{1}{30} \ast 230,0644 = 3,834407$$

$$\overline{DPU} = \dfrac{D_{Tot}}{N_{Tot}} = \dfrac{94}{1500} = 0,0627$$

Intervalo de confiança para $\overline{DPU}$ com 95% de confiança

$$LI = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{(0,025,~\nu_{1})} = 0,5 \ast \dfrac{1}{1500} \ast 151,9231 = 0,05064103$$

$$LS = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{(0,975,~\nu_{2})} = 0,5 \ast \dfrac{1}{1500} \ast 230,0644 = 0,07668813$$

em que

• $\nu_{1} = 2 \ast D_{Tot} = 2 \ast 94 = 188$

• $\nu_{2} = 2 \ast (D_{Tot} + 1) = 2 \ast 95 = 190$

Ainda,

$$\min\{DPU\} = 0,02~~~~~\mbox{e}~~~~~\max\{DPU\} = 0,16.$$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

Figura 5.2.1: Gráficos da análise de performance do processo.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.