5.2 - Análise de performance para dados Poisson

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Dados com distribuição Poisson estão associados com o número de não-conformidades observados num certo item (amostra) ao longo do espaço/tempo.

  • A taxa de não-conformidades por unidade (tempo, medida, etc.) é a mesma para qualquer item.
  • O número de não-conformidades observados em um item é independente de qualquer outro.

A média de não-conformidades por item é dado pela fração


$$\overline{Def} = \dfrac{D_{Tot}}{N}$$

em que

DTot = Soma de todas as não-conformidades

N = Quantidade de amostras.

Intervalo de confiança para $ \overline{Def} $ com 95% de confiança

Os limites são dados por


$$\mbox{Limite~inferior}~(LI) = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1}\right)}$$


$$\mbox{Limite~superior}~(LS) = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{\left(1 - \frac{\alpha}{2},~\nu_{2}\right)}$$

em que

$ \nu_{1} = 2 \ast D_{Tot} $

$ \nu_{2} = 2 \ast (D_{Tot} + 1) $

$ \chi^2_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1}\right)} $ = quantil da distribuição qui-quadrado com $ \nu_{1} $ graus de liberdade e que deixa uma área de $ \alpha/2 $ á esquerda.

$ \chi^2_{\left(1 - \frac{\alpha}{2},~\nu_{2}\right)} $ = quantil da distribuição qui-quadrado com $ \nu_{2} $ graus de liberdade e que deixa uma área de $ 1 - \alpha/2 $ à esquerda.

A média de não-conformidades por unidade de medida dentre todas as amostras é dada por


$$\overline{DPU} = \dfrac{D_{Tot}}{N_{Tot}}$$

em que

DTot = Soma de todas as não-conformidades

NTot = Soma de todos os tamanhos de amostra.

Intervalo de confiança para $ \overline{DPU} $ com 95% de confiança

Os limites são dados por


$$\mbox{Limite~inferior}~(LI) = 0,5 \ast \dfrac{1}{N} \ast \chi^2_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1}\right)}$$


$$\mbox{Limite~superior}~(LS) = 0,5 \ast \dfrac{1}{N} \ast \chi^2_{\left(1 - \frac{\alpha}{2},~\nu_{2}\right)}$$

em que

$ \nu_{1} = 2 \ast D_{Tot} $

$ \nu_{2} = 2 \ast (D_{Tot} + 1) $

$ \chi^2_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1}\right)} $ = quantil da distribuição qui-quadrado com $ \nu_{1} $ graus de liberdade e que deixa uma área de $ \alpha/2 $ à esquerda.

$ \chi^2_{\left(1 - \frac{\alpha}{2},~\nu_{2}\right)} $ = quantil da distribuição qui-quadrado com $ \nu_{2} $ graus de liberdade e que deixa uma área de $ 1 - \alpha/2 $ à esquerda.

Ainda,

$ \min\{DPU\} $: é o menor valor de DPU entre todas as amostras.

$ \max\{DPU\} $: é o maior valor de DPU entre todas as amostras.

Exemplo 5.2.1:

Uma indústria está interessada em analisar a capacidade do processo no qual verifica-se o número de pontos não-conformes numa lâmina de aço, sendo que cada lâmina mede 50 cm2. Os dados estão dispostos na Tabela 5.2.1.

Tabela 5.2.1: Defeituosos em uma lâmina de aço.

Amostra Nº de Não-conformidade Tamanho da Amostra (cm2)
1 2 50
2 4 50
3 3 50
4 1 50
5 2 50
6 5 50
7 2 50
8 5 50
9 4 50
10 1 50
11 6 50
12 3 50
13 3 50
14 6 50
15 1 50
16 4 50
17 1 50
18 8 50
19 1 50
20 4 50
21 4 50
22 2 50
23 4 50
24 2 50
25 1 50
26 2 50
27 2 50
28 3 50
29 4 50
30 4 50
Total 94 1500

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo


$$\overline{Def} = \dfrac{D_{Tot}}{N} = \dfrac{94}{30} = 3,13333$$

Intervalo de confiança para $ \overline{Def} $ com 95% de confiança

Calculando $ \nu_1 $ e $ \nu_2 $ obtemos


$$\nu_1 = 2 \ast D_{Tot} = 2 \ast 94 = 188$$


$$\nu_2 = 2 \ast (D_{Tot} + 1) = 2 \ast 95 = 190$$

Com isso, os limites serão


$$LI = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{(0,025,~\nu_{1})} = 0,5 \ast \dfrac{1}{30} \ast 151,9231 = 2,532052$$


$$LS = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{(0,975,~\nu_{2})} = 0,5 \ast \dfrac{1}{30} \ast 230,0644 = 3,834407$$


$$\overline{DPU} = \dfrac{D_{Tot}}{N_{Tot}} = \dfrac{94}{1500} = 0,0627$$

Intervalo de confiança para $ \overline{DPU} $ com 95% de confiança


$$LI = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{(0,025,~\nu_{1})} = 0,5 \ast \dfrac{1}{1500} \ast 151,9231 = 0,05064103$$


$$LS = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{(0,975,~\nu_{2})} = 0,5 \ast \dfrac{1}{1500} \ast 230,0644 = 0,07668813$$

em que

$ \nu_{1} = 2 \ast D_{Tot} = 2 \ast 94 = 188 $

$ \nu_{2} = 2 \ast (D_{Tot} + 1) = 2 \ast 95 = 190 $

Ainda,


$$\min\{DPU\} = 0,02~~~~~\mbox{e}~~~~~\max\{DPU\} = 0,16.$$

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

 

Figura 5.2.1: Gráficos da análise de performance do processo.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Análise de Capacidade

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