6.1 - Índices de performance do processo

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Como objeto de estudo, vamos utilizar o índice proposto por Shahriari, Hubele e Lawrence (1995). Na verdade, eles propõem um vetor composto por três componentes. A primeira, chamada CPM, mede a razão de áreas ou volumes (depende da dimensão), esta componente é análoga ao índice Cp univariado que mede a razão entre o comprimento de variação dos limites de especificação e o comprimento de variação do processo. A segunda componente, chamada PV, está baseada na suposição de que o centro da região de tolerância é considerado como a média verdadeira da região do processo. A terceira componente do vetor, chamada LI, avalia a locação da região do processo (modificado) e da região de tolerância.

 

Primeira componente - $ C_{PM} $:

A primeira componente é definida por


$$C_{PM} = \left[\dfrac{\mbox{Volume da região de tolerância}}{\mbox{Volume da região modificada do processo}}\right]^{\frac{1}{\nu}}$$

em que $ \nu $ representa o número de características.

Figura: 6.1.1: Processo Multivariado.

Os limites do retângulo da região modificada do processo da Figura 6.1.1 (LIP1, LIP2, LSP1 e LSP2) são obtidos resolvendo o sistema de equações das primeiras derivadas da forma quadrática com respeito a cada característica (Nickerson (1994))


$$\left(\mathbf{X} - \mathbf{\mu}\right)^{\prime}~\mathbf{\Sigma}^{-1}~\left(\mathbf{X} - \mathbf{\mu}\right) = \chi^2_{(\nu,~\alpha)}$$

Assim,


$$LSP_i = \mu_i+ \sqrt{\dfrac{\chi^2_{(\nu,~\alpha)}~det\left(\mathbf{\Sigma}_i^{-1}\right)}{det\left(\mathbf{\Sigma}^{-1}\right)}}$$


$$LIP_i = \mu_i- \sqrt{\dfrac{\chi^2_{(\nu,~\alpha)}~det\left(\mathbf{\Sigma}_i^{-1}\right)}{det\left(\mathbf{\Sigma}^{-1}\right)}}$$

para $ i = 1, \ldots, \nu $ sendo

$ \mathbf{X} $: vetor aleatório em que $ \mathbf{X}\sim N_\nu(\mu, \mathbf{\Sigma}); $

$ \mu $: vetor de médias do processo;

$ \mu_i $: média do processo para a característica $ i; $

$ \mathbf{\Sigma} $:  matriz de variância e covariância;

$ \chi^2_{(\nu,~\alpha)} $: quantil da distribuição $ \chi^2 $ com $ \nu $ graus de liberdade e nível de confiança $ \alpha; $

$ det\left(\mathbf{\Sigma}_i^{-1}\right) $: determinante da matriz obtida de $ \mathbf{\Sigma}^{-1} $, desconsiderando a i-ésima linha e coluna.

Com isso, temos a primeira componente CPM


$$C_{PM} = \left[\dfrac{\prod^{\nu}_{i=1}(LSE_i - LIE_i)}{\prod^{\nu}_{i=1}(LSP_i - LIP_i)}\right]^{\frac{1}{\nu}}$$

 

Segunda componente - PV:

Nesta componente, estamos interessados em avaliar a suposição de que o processo está centrado no alvo especificado. Aqui, adotaremos uma estratégia baseada no p-valor inerente da estatística de Hotelling para o teste:

~~\mu \ne \mu_0~~~\hbox{(Processo não centrado).}\end{array}\right$$

em que

$ \mu_0 $: vetor de médias da região de tolerância (Target);

$ \mu $: vetor de médias do processo.

Para o teste definido acima, utilizamos a estatística propostota por Hotelling (1947), definida como

$$T^2 = n~\left(\overline{\mathbf{X}} - \mu_0\right)^{\prime}~\mathbf{S}^{-1}~\left(\overline{\mathbf{X}} - \mu_0\right)$$

em que

• n: tamanho de cada amostra;

$ \overline{\mathbf{X}} $: vetor de médias amostrais do processo;

$ S^{-1} $: inversa da matriz de variância e covariância amostral do processo.

Além disso, sob $ H_0 $,

$$\frac{n-\nu }{(n-1)\nu }T^2\sim F_{\nu,n-\nu}$$

em que $ F_{\nu,n-\nu} $ representa a distribuição $ F $ com $ \nu $ graus de liberdade no numerador e $ n-\nu $ no denominador.

Rejeitamos $ H_0 $ a um nível de significância $ \alpha $ se $ T^2_{obs} \geq \frac{(n-1)\nu}{n-\nu}F_{\alpha,\nu,n-\nu} $, em que $ F_{\alpha,\nu,n-\nu} $ é o quantil de $ \alpha \% $ da distribuição $ F_{\nu,n-\nu} $. Dessa maneira, podemos calcular o p-valor associado ao teste utilizando a seguinte estratégia:

$$\text{p-valor}=\mathbb{P}\left( T^2 \geq T_{obs} \left| \right. H_0\right)=\mathbb{P}\left( \frac{n-\nu}{(n-1)\nu}T^2 \geq \frac{n-\nu}{(n-1)\nu}T_{obs} \left| \right. H_0\right) =\mathbb{P}\left(F_{\nu,n-\nu} \geq \frac{n-\nu}{(n-1)\nu}T_{obs}\right).$$

Finalmente, definimos a segunda componente como:

$$PV=\text{p-valor}=\mathbb{P}\left(F_{\nu,n-\nu} \geq \frac{n-\nu}{(n-1)\nu}T_{obs}\right).$$

Note que $ 0 \leq PV \leq 1 $, além disso, observamos que valores de PV próximos de zero indicam que o centro do processo está distante do valor do Target.

 

Terceira componente - $ LI $:

A terceira componente é uma função indicadora, ou seja, assume valor 1 se a região modificada do processo está toda dentro da região de tolerância e, assume valor 0 caso contrário. Sendo assim,

$$LI = \left\{\begin{array}{ll} 1,~~\hbox{se a região modificada do processo está toda dentro da região de tolerância;}\\ 0,~~\hbox{caso contrário.}\end{array}\right$$

Dependendo do nível de confiança escolhido para construir a região de contorno do processo, a terceira componente, definida acima, pode indicar a quantidade de itens fora de especificação.

Para ilustrar o que foi discutido acima, consideremos o seguinte exemplo:

Exemplo 6.1.1: 

Consideremos os dados de um sistema de areia, dispostos na Tabela 6.1.1, em que as variáveis de interesse (características) são Compactabilidade e Plasticidade.

Tabela 6.1.1: Dados de um sistema de areia.

Corrida Compactabilidade Plasticidade
E188 11,22 21,3
E188 11,35 21,82
E188 10,46 20,7
E188 10,39 20,81
E188 9,94 19,24
E189 9,62 20,3
E189 10,19 19,37
E189 9,14 20,86
E189 10,51 21,61
E189 9,4 17,58
E190 10,14 18,38
E190 9,29 20,5
E190 9,33 19,77
E190 8,97 19,23
E190 10,2 20,04
E191 8,12 17,08
E191 10,69 21,64
E191 10,51 20,82
E191 8,31 18,02
E191 9,35 19,24
E192 10,82 20,97
E192 11,1 21,3
E192 10,18 19,41
E192 9,99 20,45
E192 9,57 19,06
E193 9,37 17,23
E193 9,58 20,18
E193 10,21 19,84
E193 10,51 20,9
E193 10,18 20,37
E194 9,2 19,19
E194 9,6 18,64
E194 9,52 19,44
E194 11,01 21,5
E194 10,49 19,64
E195 8,97 15,54
E195 10,6 20,37
E195 10,9 22,21
E195 9,64 18,07
E195 9,71 20,89
E196 10,02 18,81
E196 9,65 18,78
E196 8,74 18,83
E196 9,63 18,81
E196 10,22 19,62
E197 9,22 18,5
E197 10,18 18,45
E197 10,48 21,25
E197 10,15 19,22
E197 8,73 19,99
E198 11,06 23,17
E198 10,99 19,6
E198 11,75 22,63
E198 10,69 20,33
E198 9,95 19,36
E199 8,93 17,5
E199 8,42 17,76
E199 10,8 19,31
E199 9,78 18,06
E199 9,85 21,42
E200 10,16 17,77
E200 10,25 20,11
E200 9,77 18,64
E200 9,62 20,41
E200 9,41 18,7
E201 9,68 18,19
E201 8,13 15,87
E201 10,81 22,11
E201 10,19 19,4
E201 10,62 18,9
E202 11,08 21,1
E202 10,16 20,82
E202 9,55 21,27
E202 9,57 19,05
E202 11,26 20,52

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Para esses dados temos as seguintes especificações:

Limites de Especificação
  LIE LSE Alvo
Compactabilidade 7 12 9,9704
Plasticidade 16 24 19,7035
 Limites do Processo
  LIP LSP
Compactabilidade 8,05 11,88
Plasticidade 16,05 23,35

Antes de fazer a análise de capacidade do processo precisamos saber se as variáveis de interesse são correlacionadas. Para obter a correlação entre essas variáveis podemos utilizar a ferramenta Matriz de Correlação do Software Action. Dessa forma, temos

Podemos ver que a correlação positiva (0,7) entre as variáveis Compactabilidade e Plasticidade é significativa. Portanto, concluímos que ambas as variáveis influenciam conjuntamente o processo.

 Dessa forma, após algumas manipulações algébricas obtemos as componentes do vetor que representa o estudo de capacidade multivariada. Ou seja, a primeira componente é dada por


$$C_{PM} = \left[\dfrac{(12-7) \ast (24-16)}{(11,88-8,05) \ast (23,35-16,05)}\right]^{\frac{1}{2}} = 1,196$$

O valor do CPM encontrado indica que a região modificada do processo é menor do que a região de tolerância.

A segunda componente é dada por


$$PV = P\left(T^2~\textgreater~\dfrac{2 \ast (5-1)}{5-2}F_{(2,~3)}\right) = 1$$

sendo n = 5 o tamanho de cada amostra e $ \nu = 2 $ o número de características.

O p-valor igual a 1 significa que o processo está conseguindo manter a média próximo do valor central dos limites de especificação.

Por fim, temos a terceira componente, isto é


$$LI = 1$$

indicando que a elipse está toda dentro dos limites de especificação.

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

 

Figura 6.1.2: Gráfico da análise de capacidade do processo multivariado.

A Figura 6.1.2 apresenta o gráfico bivariado (Compactabilidade versus Plasticidade), em que os limites de especificação correspondem às linhas vermelhas e os limites da região modificada do processo às linhas azuis.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 6.1.2:

Consideremos os dados referentes às características da areia utilizada na fabricação do molde do platô de embragem.

Tabela 6.1.2: Dados.

CORRIDA COMPACTABILIDADE RCV.1 PLASTICIDADE
E188 36,5 22,026 28,87
E188 36,5 22,026 28,87
E188 36,75 22,3 28,572
E188 36,75 22,3 28,572
E188 36,571 21,12 29,924
E189 36,571 21,12 29,924
E189 36,571 21,12 29,924
E189 36,571 21,12 29,924
E189 37 20,33 29,88
E189 37 20,33 29,88
E190 37 20,33 29,88
E190 36,167 21,182 29,368
E190 36,167 21,182 29,368
E190 37,625 20,423 30,047
E190 37,625 20,423 30,047
E191 36,5 22,134 29,822
E191 36,5 22,134 29,822
E191 36,5 22,134 29,822
E191 36,833 22,402 29,178
E191 36,833 22,402 29,178
E192 38 21,788 29,625
E192 38 21,788 29,625
E192 38 21,788 29,625
E192 38 21,788 29,625
E192 37,4 21,93 28,774
E193 39 21,98 28,72
E193 39 21,98 28,72
E193 37,333 21,507 28,812
E193 38,667 20,39 26,397
E193 37,167 23,132 29
E194 37,167 23,132 29
E194 37,167 23,132 29
E194 37,167 23,132 29
E194 36,667 20,86 29,24
E194 36,667 20,86 29,24
E195 37,167 20,835 28,33
E195 37,167 20,835 28,33
E195 38 19,653 30,885
E195 38 19,653 30,885
E195 38 19,653 30,885
E196 38 19,653 30,885
E196 38 19,867 28,543
E196 38 19,867 28,543
E196 38 19,867 28,543
E196 38 19,867 28,543
E197 39,75 20,05 30,255
E197 36,5 20,993 30,568
E197 36,5 20,993 30,568
E197 36,5 20,993 30,568
E197 38,25 20,733 28,84
E198 38,25 20,733 28,84
E198 38,25 20,733 28,84
E198 38,25 20,733 28,84
E198 37,25 19,48 29,225
E198 37,25 19,48 29,225
E199 37,643 19,513 28,818
E199 37,643 19,513 28,818
E199 37,643 19,513 28,818
E199 37,667 20,613 29,035
E199 37,667 20,613 29,035
E200 37,667 20,613 29,035
E200 37,667 20,613 29,035
E200 37,714 20,333 28,415
E200 38,5 21,722 28,695
E200 38,5 21,722 28,695
E201 36,833 22,423 26,685
E201 36,833 22,423 26,685
E201 36,833 22,423 26,685
E201 37 21,323 29,592
E201 37,333 20,29 28,74
E202 37,333 20,29 28,527
E202 37,333 20,29 28,527
E202 37,333 20,29 28,527
E202 37 20,995 28,527
E202 35 22,78 28,655
E203 35 22,78 26,24
E203 37,167 21,083 26,24
E203 37,333 20,68 29,663
E203 36 18,645 28,027
E203 36 19,523 26,93
E204 36 19,523 27,907
E204 36 19,523 27,907
E204 36 19,523 27,907
E204 38 20,363 27,907
E204 38 20,363 29,843
E205 38 20,363 29,843
E205 37,5 20,62 29,843
E205 37,5 20,62 29,037
E205 37,667 21,147 29,037
E205 37,667 21,147 29,273
E206 37,667 21,147 29,273
E206 37,667 21,147 29,273
E206 38 21,407 29,273
E206 38 21,407 29,067
E206 37,667 20,753 29,067
E207 37,667 20,753 28,393
E207 38,333 19,89 28,393
E207 36,333 21,923 27,45
E207 36 22,89 27,753
E207 38 22,603 28,357
E208 37 21,19 29,79
E208 37 21,19 28,523
E208 39 20,24 29,57
E208 39 20,24 29,57
E208 39 20,24 27,557
E209 37,333 19,75 27,557
E209 36,333 19,9 27,557
E209 36,333 19,9 27,89
E209 36,333 19,9 27,633
E209 39 20,29 27,633
E210 37,667 20,937 27,633
E210 37,667 20,937 27,5
E210 37,667 20,5 27,84
E210 38 19,547 27,84
E210 38,5 21,5 28,377
E211 39 20,24 27,557
E211 37,333 19,75 27,89
E211 36,333 19,9 27,633
E211 36,333 19,9 27,633
E211 36,333 19,9 27,633
E212 39 20,29 27,5
E212 37,667 20,937 27,84
E212 37,667 20,937 27,84
E212 37,667 20,5 28,377
E212 38 19,547 27,53

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Para esses dados temos as seguintes especificações:

Limites de Especificação
  LIE LSE Alvo
Compactabilidade 35 38 37
RCV.1 20 22 21
Plasticidade 27 30 29
Limites do Processo
  LIP LSP
Compactabilidade 34,97 39,79
RCV.1 18,09 23,65
Plasticidade 25,96 31,59

Antes de fazer a análise de capacidade do processo precisamos saber quais variáveis são correlacionadas, com isso podemos trabalhar apenas com aquelas características que conjuntamente influenciam o processo. Para obter a correlação entre as variáveis podemos utilizar a ferramenta Matriz de Correlação disponibilizada pelo Software Action.

Neste exemplo vamos considerar que todas as variáveis são correlacionadas para mostrarmos os cálculos quando temos mais de duas características.

Cuidado!

A correlação deve sempre ser analisada no caso multivariado.

Dessa forma, após algumas manipulações algébricas obtemos as componentes do vetor que representa o estudo de capacidade multivariada. Assim, a primeira componente é dada por


$$C_{PM} = \left[\dfrac{(38-35) \ast (22-20) \ast (30-27)}{(39,79-34,97) \ast (23,65-18,09) \ast (31,59-25,96)}\right]^{\frac{1}{3}} = 0,492$$

O valor do CPM encontrado indica que a região modificada do processo é maior do que a região de tolerância.

A segunda componente é dada por


$$PV = P\left(T^2~\textgreater~\dfrac{3 \ast (5-1)}{5-3}F_{(3,~2)}\right) = 1$$

sendo n = 5 o tamanho de cada amostra e $ \nu = 3 $ o número de características.

O p-valor igual a 1 significa que o processo está conseguindo manter a média próximo do valor central dos limites de especificação.

Por fim, temos a terceira componente, isto é


$$LI = 0$$

indicando que a região modificada do processo não está toda contida na região de tolerância e, consequentemente, produzindo peças fora dos limites de especificação.

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

 

Figura 6.1.3: Gráfico da análise de capacidade do processo multivariado.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Análise de Capacidade

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