9.1 - Índices de Capacidade para Posição Real: PCp e PCpk

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Alguns processos multivariados possuem uma tolerância de engenharia especial, chamada de tolerância posicional. A tolerância posicional é um tipo de dimensionamento geométrico que descreve a região de tolerância entre a localização real dos resultados de saída do processo e a localização alvo. Em geral, essa região de tolerância é dada por um círculo. Por exemplo, considere uma chapa de aço no qual devemos fazer um furo no centro. O centro da chapa é determinado pelas coordenadas $ (x,y) $, que é uma característica bi-dimensional. Neste caso, a especificação de posicionamento deste furo é determinada por um círculo. Estas características da qualidade são denominadas "Posição Real" ("True Position"). A seguir, apresentaremos a estratégia proposta por Krishnamoorthi (1990) para avaliar a capacidade de tais tipos de processos.

Suponha que estamos interessados em avaliar a capacidade de um processo de produção em relação a uma característica que possui tolerância posicional. Suponha que as especificação da posição alvo ("target position") é $ {\bf TP}=(a,b) $ e que temos uma região tolerância circular $ R_T $  de diâmetro $ D \in R $ em torno de $ {\bf TP} $. A figura 1 ilustra essa situação.

Figura 9.1.1: Elementos geométricos de um processo sujeito a tolerância posicional.

Note que, neste caso, $ R_{T} $ é definida por:

 \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} \leq \frac{D}{2}\right\}.$$

Definimos:

  • $ X $: variável aleatória que representa a coordenada da característica de interesse no eixo $ x $;
  • $ Y $: variável aleatória que representa a coordenada da característica de interesse no eixo $ y $.
  • Consequentemente, $ {\bf P}=(X,Y)^T $ é o vetor aleatório que representa a posição da característica de interesse.

 

Nesta técnica, supomos que o vetor aleatório $ {\bf P}=(X,Y)^T $, segue distribuição normal bivariada com vetor de médias

\[ {\bf \mu_p} = \left[ \begin{array}{c}\mu_x\\ \mu_y\end{array} \right]\]

e matriz de variâncias e covariâncias

\[ {\bf \Sigma} = \left[ \begin{array}{cc}\sigma^2 & 0 \\ 0 & \sigma^2 \end{array} \right].\]

Dessa forma

$$f_{{\bf P}} ({\bf p})=f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}\exp\left\{-\frac{(x-\mu_x)^2}{2 \sigma^2} \right\} \times \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}\exp\left\{-\frac{(y-\mu_y)^2}{2 \sigma^2} \right\}$$

$$=\frac{1}{2\pi \sigma^2}\exp \left\{ \frac{-(x-\mu_x)^2 -(y-\mu_y)^2}{2\sigma^2}\right\}$$

$$=\frac{1}{2\pi \sigma^2}\exp \left\{-\frac{1}{2}\frac{({\bf p}-{\bf \mu_p})^T {(\bf p}-{\bf \mu_p})}{\sigma^2} \right\}.$$

Ou seja, supomos que as coordenadas seguem distribuição normal, com variâncias iguais e são independentes. Utilizando este modelo, Krishnamoorthi propõe um índice formado por duas componentes para avaliar a capacidade do processo. Estas componentes serão apresentadas a seguir.

 

$ PC_p $ - Positional $ C_p $

Nesta componente estamos interessados em avaliar a área da região de variabilidade natural do processo $ R_{V} $, em relação a área da região de tolerância $ R_{T} $. Assumimos que o vetor de médias $ {\bf \mu_p} $  coincide com $ \bf TP $. A figura 2 exemplifica essa suposição.

Figura 9.1.2: Ilustração do comportamento de um processo centrado no alvo.

 

Além disso, sob as suposições apresentadas anteriormente, a região de variabilidade natural do processo, em que esperamos que 99,73% das obsevações estejam contidas, pode ser definida como:

 \sqrt{(x-\mu_x)^2+(y-\mu_y)^2} \leq 3\sigma \right\}.$$

Deste modo,

$$\text{Área} \left( R_{V} \right)=\pi r^2=\pi \left(3\sigma\right)^2 = 9\pi \sigma^2$$

$$\text{Área} \left( R_{T} \right)=\pi r^2=\pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4} $$

Nestas circustâncias, Krishnamoorthi propõe a primeira componente do índice de capacidade $ PC_p $ (positional $ C_p $) como:

$$PC_p=\frac{\text{Área} \left( R_{T} \right)}{\text{Área} \left( R_{V} \right)}=\frac{\dfrac{\pi D^2}{4}}{9\pi\sigma^2} =\frac{D^2}{36\sigma^2}.$$

Note que quando:

  • $ PC_p=1 \Rightarrow $ área da variação natural do processo é igual da área de tolerância;
  • $ PC_p\textgreater1 \Rightarrow $ área de variação natural é menor que a área de tolerância;
  • $ PC_p \textless 1 \Rightarrow $ área de variação natural é maior que a área de tolerância.
     

Dessa forma, valores maiores de $ PC_p $ indicam melhor capacidade do processo produzir com menor variabilidade que variabilidade especificada para a posição de interesse. Usualmente assumimos que o processo é capaz se $ PC_p \textgreater 1.33 $, porém, cada processo tem necessidades diferentes, dessa forma, cada processo deve ser analisado de maneira diferente.

 

$ PC_{pk} $ - Positional  $

Nesta componete avaliamos a distância entre a média do processo e o alvo especificado. Consideramos agora que elas não coincidam, ou seja, $ {\bf \mu_p} \neq {\bf TP} $. A figura (3) exemplifica essa nova situação.

Figura 9.1.3: Ilustração do comportamento de um processo não centrado no alvo.

A componete $ PC_{pk} $ (Positional $ C_{pk} $) é definida como:

$$PC_{pk}=\dfrac{\dfrac{\pi D^2}{4}}{\pi \left[ \sqrt{(\mu_x-a_1)^2 + (\mu_y-a_2)^2} + 3\sigma \right]^2}= \dfrac{D^2}{4 \left[ \sqrt{(\mu_x-a_1)^2 + (\mu_y-a_2)^2} + 3\sigma \right]^2}.$$

Note que quando $ {\bf \mu_p}={\bf{TP}} $ temos que $ PC_p=PC_{pk} $. Como para $ PC_p $, usualmente buscamos $ PC_{pk}\textgreater 1.33 $. Quando satisfazemos essa exigência, $ {\bf \mu_p} $ está próximo de $ {\bf TP} $. Além disso, garantimos que a área da região de variabilidade natural do processo seja menor que a área da região de tolerância especificada.

Observações Gerais:

  1. Valores altos de $ C_p $ pareados com valores baixos de $ C_{pk} $ indicam que o processo apresenta variabilidade aceitável, porém, não está sua média está distante do alvo;
  2. Neste índice, assumimos que $ X $ e $ Y $ têm distribuição normal com variâncias iguais e são independentes. Essas suposições devem ser checadas para evitar conclusões erroneas;
  3. Na prática, em geral, não conhecemos as médias e variância populacionais. Utilizamos os etimadores $ \widehat{{\bf \mu_p}}=(\bar{X},\bar{Y}) $, $ S_x^2 $ e $ S_y^2 $ para $ \sigma^2 $;
  4. Assumimos que as variância são iguais, porém, os estimadores $ S_x^2 $ e $ S_y^2 $ podem ser diferentes. É recomendável utilizar o maior entre os estimadores (caso mais conservador).

 

Exemplo 9.1.1:

Considere que estamos interessados em avaliar a capacidade de um processo de produção de um pistão. Nossa característica de interesse é a posição do centro do furo superior da peça em relação as laterais nos eixos $ x $ e $ y $. A figura 4 ilutra um desenho da vista isométrica deste pistão.

Figura 9.1.4: Desenho vista Isométrica do pistão.

A figura 5 ilustra o desenho de corte da visão superior do pistão, bem como suas especificações em relação aos eixos cartesianos de interesse

Figura 9.1.5: Desenho do corte da visão superior do pistão. 

Analisando as dimensões da peça em relação aos pontos do plano temos que o alvo está localizado no ponto $ y=30 $ e $ x=30 $, ou seja $ {\bf{TP}}=(30,30) $. Além disso, o diametro de tolerância é de 2, isto é, $ D=2 $. Definimos a região de tolerância ($ R_{T} $) como os pontos internos ao círculo de diâmetro $ D $ e centro em $ {\bf TP} $. Isto é

 \sqrt{(x-30)^2+(y-30)^2} \leq 1\}$$

Definimos também

  • $ X $: variável aleatória que representa a coordenada do centro do furo do pistão no eixo $ x $;
  • $ Y $: variável aleatória que representa a coordenada do centro do furo do pistão no eixo $ y $;
  • $ {\bf P}=(X,Y)^T $: O vetor aleatório que representa a posição do centro do furo do pistão.

 

Para esse estudo, foram coletados 50 pistões e uma medição foi feita em cada. Os dados coletados são apresentados a seguir:

Peça 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 30,372 30,068 29,75 30,222 29,95 30,546 30,129 30,036 29,828 30,018
Y 30,98 30,596 30,059 31,279 30,476 31,025 30,182 30,319 30,294 31,219

 

 

Peça 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
X 29,893 29,646 30,312 30,026 29,901 29,723 30,036 29,894 29,867 29,974
Y 30,393 30,186 30,654 30,785 30,175 30,414 30,717 30,51 30,331 30,704

 

 

Peça 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
X 30,01 30,153 29,93 30,044 30,028 30,189 29,974 29,78 29,943 30,199
Y 30,019 30,446 30,551 30,531 30,615 30,546 30,212 30,354 30,137 31,187

 

 

Peça 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
X 29,903 30,106 29,984 30,134 29,905 30,192 30,24 29,656 29,719 30,048
Y 30,686 30,336 30,546 30,576 30,377 31,051 30,587 30,191 30,44 30,467

 

 

Peça 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
X 30,133 30,29 30,146 29,735 29,768 29,852 29,96 30,263 30,129 30,289
Y 30,709 31,052 30,712 30,273 30,252 30,332 30,468 31,103 30,657 31,172

 

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

 

Neste caso, temos que:

$$\widehat{\mu}_x=\bar{X}= \frac{30,372+30,068+\dots + 30,289}{50}=30,01786$$

$$\widehat{\mu}_y=\bar{Y}= \frac{30,980+30,596+\dots + 31,172}{50}=30,55766$$

$$S_X = \sqrt{\frac{(30,372-30,01786)^2+(30,068-30,01786)^2+\dots + (30,289-30,01786)^2}{50-1}}=0,195888$$

$$S_Y = \sqrt{\frac{(30,980-30,55766)^2+(30,596-30,55766)^2+\dots + (31,172-30,55766)^2}{50-1}}=0,323313$$

 

Uma vez que $ S_Y \textgreater S_X $, fazemos $ \widehat{\sigma}=S_Y=0,323313. $

 

$$PC_p=\frac{\text{Área} \left( R_{T} \right)}{\text{Área} \left( R_{V} \right)}=\frac{\dfrac{\pi D^2}{4}}{9\pi\sigma^2} =\frac{D^2}{36\sigma^2}=\frac{2^2}{36\times 0,323313^2}=1,062944.$$

$$PC_{pk}=\dfrac{\dfrac{\pi D^2}{4}}{\pi \left[ \sqrt{(\mu_x-a)^2 + (\mu_y-b)^2} + 3\sigma \right]^2}= \dfrac{D^2}{4 \left[ \sqrt{(\mu_x-a)^2 + (\mu_y-b)^2} + 3\sigma \right]^2} =$$

$$=\frac{2^2}{4\left[ \sqrt{(30,01786-30)^2 +(0,323313-30)^2 } + 3\times 0,323313\right]^2 } =0,428369.$$

 

 

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