3 - Capacidade/Performance do Processo e a Distribuição Normal Padronizada (Z)

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Vamos explorar a normalidade dos dados e os índices de capacidade do processo para calcularmos as probabilidades de peças fora de especificação. Dessa forma, tomamos

  • Especificações Unilaterais:


$$Z_{LSE} = \dfrac{LSE - \mu}{\sigma}~~~~~~\mbox{ou}~~~~~~Z_{LIE} = \dfrac{\mu - LIE}{\sigma}$$

  • Especificações Bilaterais:


$$Z_{min} = \min\{Z_{LSE}; ~Z_{LIE}\}$$

Quando o processo está sob controle estatístico e é normalmente distribuído, os valores de Z podem ser utilizados para estimar a proporção de defeituosos (ou, fora de especificações). A expressão do Cpk pode ser expressa em termos de Z, por


$$C_{pk} = \dfrac{Z_{min}}{3}$$

Desta forma, concluímos que Zmin = 3 implica em Cpk = 1, se Zmin = 4 temos Cpk = 1,33 , se Zmin = 5 temos Cpk = 1,67  e se Zmin = 6 temos Cpk = 2.

Índice Cpm

Para tratar adequadamente o problema de localização do processo, Taguchi propôs a utilização do seguinte índice


$$C_{pm} = \dfrac{LSE - LIE}{6\sqrt{(\mu - T)^{2}+\sigma^{2}}}$$

em que T corresponde ao valor nominal do processo (alvo). Através desta definição, observamos que

  • muita importância é destinada ao alvo (T);
  • pouca importância é destinada aos limites de especificação;
  • variação é expressa em dois componentes, a variação do processo ($ \sigma $) e a variação em torno do alvo (μ - T).

Aplicações

Exemplo 3.1:

A tabela a seguir apresenta dados de grau de brancura de um material enviado para análise. Neste exemplo vamos avaliar a capacidade e performance do processo.

 Temos as seguintes especificações: LIE = 125 e LSE = 135.

Tabela 3.1: Grau de brancura de um material.

n Medida
1 126,54
2 126,64
3 127,03
4 126,66
5 130,01
6 126,8
7 128,74
8 129,2
9 128,34
10 128,27
11 128,94
12 128,96
13 130,78
14 131,89
15 131,17
16 130,57
17 129,02
18 127,55
19 127,59
20 127,11
21 129,55
22 130,35
23 129,4
24 127,08
25 129,31

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Primeiramente vamos fazer uma análise da estabilidade do processo através de um gráfico de controle.

Figura 3.1: Gráficos I-MR

Verificamos no gráfico de amplitude móvel que todos os valores estão dentro dos limites de controle. No entanto, no gráfico de valores individuais temos um ponto a mais de 3 desvios padrão da linha central, o que pode indicar a presença de uma causa especial de variação no processo.

Em seguida, vamos verificar se os dados possuem distribuição normal. Para isso usaremos o teste de Anderson-Darling.

Figura 3.2: Papel de probabilidade e resultado do teste de Normalidade.

Como o p-valor associado ao teste de Anderson-Darling é maior que 0,05 não rejeitamos a hipótese de que os dados tem distribuição aproximadamente normal.

Com isso, podemos fazer uma análise da capacidade e performance do processo.

Então, para o método de variabilidade a longo prazo temos


$$\widehat{\sigma} = s = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}{n - 1}} = 1,555822$$

e com isso,


$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}} = \dfrac{135 - 125}{6 \ast (1,555822)} = 1,071245$$


$$P_{pk} = \min\left\{\dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{3\widehat{\sigma}}~;~\dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{3\widehat{\sigma}}\right\} = \min\left\{\dfrac{135 - 128,7}{3 \ast (1,555822)}~;~\dfrac{128,7 - 125}{3 \ast (1,555822)}\right\}$$


$$P_{pk} = \min\{1,349769;~0,792721\} = 0,792721$$

Calculando o valor de Z, obtemos


$$Z_{LSE} = \dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{135 - 128,7}{1,555822} = 4,049306$$


$$Z_{LIE} = \dfrac{\widehat{\mu} - LIE }{\widehat{\sigma}} = \dfrac{128,7 - 125}{1,555822} = 2,378164$$

Calculando o PPMTotal


$$PPM_{LSE} = [1 - \Phi(Z_{LSE})] \times 1.000.000 = [1 - \Phi(4,049306)] \times 1.000.000 = 25,68487$$


$$PPM_{LIE} = \Phi(Z_{LIE}) \times 1.000.000 = \Phi(-2,378164) \times 1.000.000 = 8699,54282$$

Assim,


$$PPM_{Total} = PPM_{LSE} + PPM_{LIE} = 25,68487 + 8699,54282 = 8725,228$$

Para o método de variabilidade a curto prazo, temos


$$\widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{R}}{d_2} = \dfrac{1,165022}{1,128} = 1,032820974$$

sendo d2 = 1,128 (para n = 2) tabelado no Apêndice e


$$\overline{R} = \dfrac{\sum_{i=2}^{25}\mid (x_i - x_{i-1}) \mid}{n - 1} = 1,165022$$

Com isso, podemos calcular os índices de Capacidade do Processo, dados por


$$C_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}} = \dfrac{135 - 125}{6 \ast (1,032820974)} = 1,613703$$


$$C_{pk} = \min\left\{\dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{3\widehat{\sigma}}~;~\dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{3\widehat{\sigma}}\right\}$$


$$C_{pk} = \min\left\{\dfrac{135 - 128,7}{3 \ast (1,032820974)}~;~\dfrac{128,7 - 125}{3 \ast (1,032820974)}\right\}$$


$$C_{pk} = \min\{2,033266~;~1,194140\} = 1,194140$$

O valor de Z é obtido da seguinte forma


$$Z_{LSE} = \dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{135 - 128,7}{1,032820974} = 6,099799$$


$$Z_{LIE} = \dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{128,7 - 125}{1,032820974} = 3,582421$$

Assim, para encontrar o PPMTotal calculamos


$$PPM_{LSE} = [1 - \Phi(Z_{LSE})] \times 1.000.000 = [1 - \Phi(6,099799)] \times 1.000.000 = 0$$


$$PPM_{LIE} = \Phi(Z_{LIE}) \times 1.000.000 = \Phi(-3,582421) \times 1.000.000 = 170,21229$$

Logo,


$$PPM_{Total} = PPM_{LSE} + PPM_{LIE} = 0 + 170,21229 = 170,21229$$

 

A seguir temos os resultados da análise de performance do processo obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

 

Figura 3.3: Gráfico da análise de performance do processo.

Com isso, podemos concluir que como o processo não está sob controle, ou seja, é um processo instável temos que a capacidade do mesmo não reflete a realidade. Neste caso, os índices de performance indicam o comportamento real do processo e os índices de capacidade indicam o comportamento do processo se este for estabilizado.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 3.2:

Consideremos os dados da tabela a seguir referentes às medições de uma peça enviada para análise. Os limites de especificação para essa peça são: LSE = 324, VN = 270 (valor nominal) e LIE = 216. Vamos avaliar a capacidade e performance do processo.

Tabela 3.2: Peça - Roda LO lado direito - Mercedes-Benz.

Amostra Data Coleta de dados
X1 X2 X3 X4
1 13-11-06 307,00 317,40 303,20 307,70
2 20-11-06 260,40 259,60 270,50 244,50
3 20-11-06 261,40 275,80 257,90 263,90
4 27-11-06 274,50 280,30 278,00 263,20
5 27-11-06 254,90 266,40 275,50 228,90
6 27-11-06 251,30 257,10 253,40 248,60
7 27-11-06 269,60 278,80 286,00 267,70
8 04-12-06 281,80 274,30 263,20 251,60
9 04-12-06 281,60 284,10 303,00 290,40
10 04-12-06 301,50 303,30 285,60 280,70
11 11-12-06 308,30 292,40 309,00 297,70
12 11-12-06 283,60 284,30 255,40 258,40
13 11-12-06 305,80 299,50 296,40 295,60
14 18-12-06 239,50 252,60 218,90 271,20
15 15-01-07 291,10 299,20 300,40 315,10
16 15-01-07 283,10 280,30 284,80 280,80
17 22-01-07 276,00 271,00 264,90 242,00
18 22-01-07 248,10 267,70 266,70 272,20
19 29-01-00 245,40 250,60 260,00 296,30
20 29-01-07 307,70 288,90 281,80 290,40
21 03-02-07 246,30 240,70 258,80 240,50
22 03-02-07 231,00 255,90 249,80 223,60
23 03-02-07 257,10 239,50 257,90 272,20
24 12-02-07 266,10 284,70 281,50 289,80
25 17-02-07 279,10 278,40 247,40 286,10

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Primeiramente vamos fazer uma análise da estabilidade do processo através de um gráfico de controle.

Figura 3.4: Gráfico $ \overline{X} $ e R.

Verificamos no gráfico de amplitude móvel que todos os valores estão dentro dos limites de controle. No entanto, no gráfico de $ \overline{X} $ indica a presença de causas especiais, as quais deixam o processo instável.

Em seguida, vamos verificar se os dados possuem distribuição normal. Para isso usaremos o teste de Anderson-Darling.

Figura 3.5: Papel de probabilidade e resultado do teste de Normalidade.

Como o p-valor associado ao teste de Anderson-Darling (0,6) é maior do que 0,05 não rejeitamos a hipótese de que os dados tem distribuição aproximadamente normal.

Com isso, podemos fazer uma análise da capacidade e performance do processo.

Então, para o método de variabilidade a longo prazo temos


$$\widehat{\sigma} = s = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}{n - 1}} = 21,879$$

e com isso,


$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}} = \dfrac{324 - 216}{6 \ast (21,879)} = 0,8227$$


$$P_{pk} = \min\left\{\dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{3\widehat{\sigma}}~;~\dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{3\widehat{\sigma}}\right\} = \min\left\{\dfrac{324 - 272,84}{3 \ast (21,879)}~;~\dfrac{272,84 - 216}{3 \ast (21,879)}\right\}$$


$$P_{pk} = \min\{0,7794;~0,866\} = 0,7794$$

Calculando o valor de Z, obtemos


$$Z_{LSE} = \dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{324 - 272,84}{21,879} = 2,3383$$


$$Z_{LIE} = \dfrac{\widehat{\mu} - LIE }{\widehat{\sigma}} = \dfrac{272,84 - 216}{21,879} = 2,5979$$

Calculando o PPMTotal


$$PPM_{LSE} = [1 - \Phi(Z_{LSE})] \times 1.000.000 = [1 - \Phi(2,3383)] \times 1.000.000 = 9685,846$$


$$PPM_{LIE} = \Phi(Z_{LIE}) \times 1.000.000 = \Phi(-2,5979) \times 1.000.000 = 4689,79$$

Assim,


$$PPM_{Total} = PPM_{LSE} + PPM_{LIE} = 9685,846 + 4689,79 = 14375,64$$

Para o método de variabilidade a curto prazo, temos


$$\widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{R}}{d_2} = \dfrac{25,6}{2,326} = 12,4328$$

sendo d2 = 2,326 (para n = 5) tabelado no Apêndice .

Com isso, podemos calcular os índices de Capacidade do Processo, dados por


$$C_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}} = \dfrac{324 - 216}{6 \ast (12,4328)} = 1,4478$$


$$C_{pk} = \min\left\{\dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{3\widehat{\sigma}}~;~\dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{3\widehat{\sigma}}\right\}$$


$$C_{pk} = \min\left\{\dfrac{324 - 272,84}{3 \ast (12,4328)}~;~\dfrac{272,84 - 216}{3 \ast (12,4328)}\right\}$$


$$C_{pk} = \min\{1,3716;~1,5239\} = 1,3716$$

O valor de Z é obtido da seguinte forma


$$Z_{LSE} = \dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{324 - 272,84}{12,4328} = 4,1149$$


$$Z_{LIE} = \dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{272,84 - 216}{12,4328} = 4,5718$$

Assim, para encontrar o PPMTotal calculamos


$$PPM_{LSE} = [1 - \Phi(Z_{LSE})] \times 1.000.000 = [1 - \Phi(4,1149)] \times 1.000.000 = 19,3674$$


$$PPM_{LIE} = \Phi(Z_{LIE}) \times 1.000.000 = \Phi(-4,5718) \times 1.000.000 = 2,4178$$

Logo,


$$PPM_{Total} = PPM_{LSE} + PPM_{LIE} = 19,3674 + 2,4178 = 21,7851$$

 

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

 

Figura 3.6: Gráfico da análise de performance do processo.

Concluímos que este é um processo instável, o que justifica a diferença entre os índices Cp e Pp. Neste caso, os índices de performance indicam o comportamento real do processo e os índices de capacidade indicam o comportamento do processo se este for estabilizado. Dessa forma, observando os índices de performance vemos que o processo não atende às especificações com relação a variabilidade (índice Pp baixo).

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Análise de Capacidade

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