3 - Capacidade/Performance do Processo e a Distribuição Normal Padronizada (Z)

Vamos explorar a normalidade dos dados e os índices de capacidade do processo para calcularmos as probabilidades de peças fora de especificação. Dessa forma, tomamos

• Especificações Unilaterais:

$$Z_{LSE} = \dfrac{LSE - \mu}{\sigma}~~~~~~\mbox{ou}~~~~~~Z_{LIE} = \dfrac{\mu - LIE}{\sigma}$$

• Especificações Bilaterais:

$$Z_{min} = \min\{Z_{LSE}; ~Z_{LIE}\}$$

Quando o processo está sob controle estatístico e é normalmente distribuído, os valores de Z podem ser utilizados para estimar a proporção de defeituosos (ou, fora de especificações). A expressão do C_pk pode ser expressa em termos de Z, por

$$C_{pk} = \dfrac{Z_{min}}{3}$$

Desta forma, concluímos que Z_min = 3 implica em C_pk = 1, se Z_min = 4 temos C_pk = 1,33 , se Z_min = 5 temos C_pk = 1,67  e se Z_min = 6 temos C_pk = 2.

Índice C_pm

Para tratar adequadamente o problema de localização do processo, Taguchi propôs a utilização do seguinte índice

$$C_{pm} = \dfrac{LSE - LIE}{6\sqrt{(\mu - T)^{2}+\sigma^{2}}}$$

em que T corresponde ao valor nominal do processo (alvo). Através desta definição, observamos que

• muita importância é destinada ao alvo (T);
• pouca importância é destinada aos limites de especificação;
• variação é expressa em dois componentes, a variação do processo ($\sigma$) e a variação em torno do alvo (μ - T).

Aplicações

Exemplo 3.1:

A tabela a seguir apresenta dados de grau de brancura de um material enviado para análise. Neste exemplo vamos avaliar a capacidade e performance do processo.

 Temos as seguintes especificações: LIE = 125 e LSE = 135.

Tabela 3.1: Grau de brancura de um material.

n	Medida
1	126,54
2	126,64
3	127,03
4	126,66
5	130,01
6	126,8
7	128,74
8	129,2
9	128,34
10	128,27
11	128,94
12	128,96
13	130,78
14	131,89
15	131,17
16	130,57
17	129,02
18	127,55
19	127,59
20	127,11
21	129,55
22	130,35
23	129,4
24	127,08
25	129,31

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Primeiramente vamos fazer uma análise da estabilidade do processo através de um gráfico de controle.

Figura 3.1: Gráficos I-MR

Verificamos no gráfico de amplitude móvel que todos os valores estão dentro dos limites de controle. No entanto, no gráfico de valores individuais temos um ponto a mais de 3 desvios padrão da linha central, o que pode indicar a presença de uma causa especial de variação no processo.

Em seguida, vamos verificar se os dados possuem distribuição normal. Para isso usaremos o teste de Anderson-Darling.

Figura 3.2: Papel de probabilidade e resultado do teste de Normalidade.

Como o p-valor associado ao teste de Anderson-Darling é maior que 0,05 não rejeitamos a hipótese de que os dados tem distribuição aproximadamente normal.

Com isso, podemos fazer uma análise da capacidade e performance do processo.

Então, para o método de variabilidade a longo prazo temos

$$\widehat{\sigma} = s = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}{n - 1}} = 1,555822$$

e com isso,

$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}} = \dfrac{135 - 125}{6 \ast (1,555822)} = 1,071245$$

$$P_{pk} = \min\left\{\dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{3\widehat{\sigma}}~;~\dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{3\widehat{\sigma}}\right\} = \min\left\{\dfrac{135 - 128,7}{3 \ast (1,555822)}~;~\dfrac{128,7 - 125}{3 \ast (1,555822)}\right\}$$

$$P_{pk} = \min\{1,349769;~0,792721\} = 0,792721$$

Calculando o valor de Z, obtemos

$$Z_{LSE} = \dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{135 - 128,7}{1,555822} = 4,049306$$

$$Z_{LIE} = \dfrac{\widehat{\mu} - LIE }{\widehat{\sigma}} = \dfrac{128,7 - 125}{1,555822} = 2,378164$$

Calculando o PPM_Total

$$PPM_{LSE} = [1 - \Phi(Z_{LSE})] \times 1.000.000 = [1 - \Phi(4,049306)] \times 1.000.000 = 25,68487$$

$$PPM_{LIE} = \Phi(Z_{LIE}) \times 1.000.000 = \Phi(-2,378164) \times 1.000.000 = 8699,54282$$

Assim,

$$PPM_{Total} = PPM_{LSE} + PPM_{LIE} = 25,68487 + 8699,54282 = 8725,228$$

Para o método de variabilidade a curto prazo, temos

$$\widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{R}}{d_2} = \dfrac{1,165022}{1,128} = 1,032820974$$

sendo d₂ = 1,128 (para n = 2) tabelado no Apêndice e

$$\overline{R} = \dfrac{\sum_{i=2}^{25}\mid (x_i - x_{i-1}) \mid}{n - 1} = 1,165022$$

Com isso, podemos calcular os índices de Capacidade do Processo, dados por

$$C_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}} = \dfrac{135 - 125}{6 \ast (1,032820974)} = 1,613703$$

$$C_{pk} = \min\left\{\dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{3\widehat{\sigma}}~;~\dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{3\widehat{\sigma}}\right\}$$

$$C_{pk} = \min\left\{\dfrac{135 - 128,7}{3 \ast (1,032820974)}~;~\dfrac{128,7 - 125}{3 \ast (1,032820974)}\right\}$$

$$C_{pk} = \min\{2,033266~;~1,194140\} = 1,194140$$

O valor de Z é obtido da seguinte forma

$$Z_{LSE} = \dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{135 - 128,7}{1,032820974} = 6,099799$$

$$Z_{LIE} = \dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{128,7 - 125}{1,032820974} = 3,582421$$

Assim, para encontrar o PPM_Total calculamos

$$PPM_{LSE} = [1 - \Phi(Z_{LSE})] \times 1.000.000 = [1 - \Phi(6,099799)] \times 1.000.000 = 0$$

$$PPM_{LIE} = \Phi(Z_{LIE}) \times 1.000.000 = \Phi(-3,582421) \times 1.000.000 = 170,21229$$

Logo,

$$PPM_{Total} = PPM_{LSE} + PPM_{LIE} = 0 + 170,21229 = 170,21229$$

 

A seguir temos os resultados da análise de performance do processo obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

 

Figura 3.3: Gráfico da análise de performance do processo.

Com isso, podemos concluir que como o processo não está sob controle, ou seja, é um processo instável temos que a capacidade do mesmo não reflete a realidade. Neste caso, os índices de performance indicam o comportamento real do processo e os índices de capacidade indicam o comportamento do processo se este for estabilizado.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 3.2:

Consideremos os dados da tabela a seguir referentes às medições de uma peça enviada para análise. Os limites de especificação para essa peça são: LSE = 324, VN = 270 (valor nominal) e LIE = 216. Vamos avaliar a capacidade e performance do processo.

Tabela 3.2: Peça - Roda LO lado direito - Mercedes-Benz.

Amostra	Data	Coleta de dados
		X1	X2	X3	X4
1	13-11-06	307,00	317,40	303,20	307,70
2	20-11-06	260,40	259,60	270,50	244,50
3	20-11-06	261,40	275,80	257,90	263,90
4	27-11-06	274,50	280,30	278,00	263,20
5	27-11-06	254,90	266,40	275,50	228,90
6	27-11-06	251,30	257,10	253,40	248,60
7	27-11-06	269,60	278,80	286,00	267,70
8	04-12-06	281,80	274,30	263,20	251,60
9	04-12-06	281,60	284,10	303,00	290,40
10	04-12-06	301,50	303,30	285,60	280,70
11	11-12-06	308,30	292,40	309,00	297,70
12	11-12-06	283,60	284,30	255,40	258,40
13	11-12-06	305,80	299,50	296,40	295,60
14	18-12-06	239,50	252,60	218,90	271,20
15	15-01-07	291,10	299,20	300,40	315,10
16	15-01-07	283,10	280,30	284,80	280,80
17	22-01-07	276,00	271,00	264,90	242,00
18	22-01-07	248,10	267,70	266,70	272,20
19	29-01-00	245,40	250,60	260,00	296,30
20	29-01-07	307,70	288,90	281,80	290,40
21	03-02-07	246,30	240,70	258,80	240,50
22	03-02-07	231,00	255,90	249,80	223,60
23	03-02-07	257,10	239,50	257,90	272,20
24	12-02-07	266,10	284,70	281,50	289,80
25	17-02-07	279,10	278,40	247,40	286,10

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Primeiramente vamos fazer uma análise da estabilidade do processo através de um gráfico de controle.

Figura 3.4: Gráfico $\overline{X}$ e R.

Verificamos no gráfico de amplitude móvel que todos os valores estão dentro dos limites de controle. No entanto, no gráfico de $\overline{X}$ indica a presença de causas especiais, as quais deixam o processo instável.

Em seguida, vamos verificar se os dados possuem distribuição normal. Para isso usaremos o teste de Anderson-Darling.

Figura 3.5: Papel de probabilidade e resultado do teste de Normalidade.

Como o p-valor associado ao teste de Anderson-Darling (0,6) é maior do que 0,05 não rejeitamos a hipótese de que os dados tem distribuição aproximadamente normal.

Com isso, podemos fazer uma análise da capacidade e performance do processo.

Então, para o método de variabilidade a longo prazo temos

$$\widehat{\sigma} = s = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}{n - 1}} = 21,879$$

e com isso,

$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}} = \dfrac{324 - 216}{6 \ast (21,879)} = 0,8227$$

$$P_{pk} = \min\left\{\dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{3\widehat{\sigma}}~;~\dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{3\widehat{\sigma}}\right\} = \min\left\{\dfrac{324 - 272,84}{3 \ast (21,879)}~;~\dfrac{272,84 - 216}{3 \ast (21,879)}\right\}$$

$$P_{pk} = \min\{0,7794;~0,866\} = 0,7794$$

Calculando o valor de Z, obtemos

$$Z_{LSE} = \dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{324 - 272,84}{21,879} = 2,3383$$

$$Z_{LIE} = \dfrac{\widehat{\mu} - LIE }{\widehat{\sigma}} = \dfrac{272,84 - 216}{21,879} = 2,5979$$

Calculando o PPM_Total

$$PPM_{LSE} = [1 - \Phi(Z_{LSE})] \times 1.000.000 = [1 - \Phi(2,3383)] \times 1.000.000 = 9685,846$$

$$PPM_{LIE} = \Phi(Z_{LIE}) \times 1.000.000 = \Phi(-2,5979) \times 1.000.000 = 4689,79$$

Assim,

$$PPM_{Total} = PPM_{LSE} + PPM_{LIE} = 9685,846 + 4689,79 = 14375,64$$

Para o método de variabilidade a curto prazo, temos

$$\widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{R}}{d_2} = \dfrac{25,6}{2,326} = 12,4328$$

sendo d₂ = 2,326 (para n = 5) tabelado no Apêndice .

Com isso, podemos calcular os índices de Capacidade do Processo, dados por

$$C_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}} = \dfrac{324 - 216}{6 \ast (12,4328)} = 1,4478$$

$$C_{pk} = \min\left\{\dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{3\widehat{\sigma}}~;~\dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{3\widehat{\sigma}}\right\}$$

$$C_{pk} = \min\left\{\dfrac{324 - 272,84}{3 \ast (12,4328)}~;~\dfrac{272,84 - 216}{3 \ast (12,4328)}\right\}$$

$$C_{pk} = \min\{1,3716;~1,5239\} = 1,3716$$

O valor de Z é obtido da seguinte forma

$$Z_{LSE} = \dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{324 - 272,84}{12,4328} = 4,1149$$

$$Z_{LIE} = \dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{272,84 - 216}{12,4328} = 4,5718$$

Assim, para encontrar o PPM_Total calculamos

$$PPM_{LSE} = [1 - \Phi(Z_{LSE})] \times 1.000.000 = [1 - \Phi(4,1149)] \times 1.000.000 = 19,3674$$

$$PPM_{LIE} = \Phi(Z_{LIE}) \times 1.000.000 = \Phi(-4,5718) \times 1.000.000 = 2,4178$$

Logo,

$$PPM_{Total} = PPM_{LSE} + PPM_{LIE} = 19,3674 + 2,4178 = 21,7851$$

 

A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.

 

Figura 3.6: Gráfico da análise de performance do processo.

Concluímos que este é um processo instável, o que justifica a diferença entre os índices C_p e P_p. Neste caso, os índices de performance indicam o comportamento real do processo e os índices de capacidade indicam o comportamento do processo se este for estabilizado. Dessa forma, observando os índices de performance vemos que o processo não atende às especificações com relação a variabilidade (índice P_p baixo).

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.