- Estatcamp: (16) 3376-2047 [email protected]
- [email protected] https://www.actionstat.com.br
Vamos explorar a normalidade dos dados e os índices de capacidade do processo para calcularmos as probabilidades de peças fora de especificação. Dessa forma, tomamos
$$Z_{LSE} = \dfrac{LSE - \mu}{\sigma}~~~~~~\mbox{ou}~~~~~~Z_{LIE} = \dfrac{\mu - LIE}{\sigma}$$
$$Z_{min} = \min\{Z_{LSE}; ~Z_{LIE}\}$$
Quando o processo está sob controle estatístico e é normalmente distribuído, os valores de Z podem ser utilizados para estimar a proporção de defeituosos (ou, fora de especificações). A expressão do Cpk pode ser expressa em termos de Z, por
$$C_{pk} = \dfrac{Z_{min}}{3}$$
Desta forma, concluímos que Zmin = 3 implica em Cpk = 1, se Zmin = 4 temos Cpk = 1,33 , se Zmin = 5 temos Cpk = 1,67 e se Zmin = 6 temos Cpk = 2.
Para tratar adequadamente o problema de localização do processo, Taguchi propôs a utilização do seguinte índice
$$C_{pm} = \dfrac{LSE - LIE}{6\sqrt{(\mu - T)^{2}+\sigma^{2}}}$$
em que T corresponde ao valor nominal do processo (alvo). Através desta definição, observamos que
A tabela a seguir apresenta dados de grau de brancura de um material enviado para análise. Neste exemplo vamos avaliar a capacidade e performance do processo.
Temos as seguintes especificações: LIE = 125 e LSE = 135.
Tabela 3.1: Grau de brancura de um material.
n | Medida |
1 | 126,54 |
2 | 126,64 |
3 | 127,03 |
4 | 126,66 |
5 | 130,01 |
6 | 126,8 |
7 | 128,74 |
8 | 129,2 |
9 | 128,34 |
10 | 128,27 |
11 | 128,94 |
12 | 128,96 |
13 | 130,78 |
14 | 131,89 |
15 | 131,17 |
16 | 130,57 |
17 | 129,02 |
18 | 127,55 |
19 | 127,59 |
20 | 127,11 |
21 | 129,55 |
22 | 130,35 |
23 | 129,4 |
24 | 127,08 |
25 | 129,31 |
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Primeiramente vamos fazer uma análise da estabilidade do processo através de um gráfico de controle.
Figura 3.1: Gráficos I-MR
Verificamos no gráfico de amplitude móvel que todos os valores estão dentro dos limites de controle. No entanto, no gráfico de valores individuais temos um ponto a mais de 3 desvios padrão da linha central, o que pode indicar a presença de uma causa especial de variação no processo.
Em seguida, vamos verificar se os dados possuem distribuição normal. Para isso usaremos o teste de Anderson-Darling.
Figura 3.2: Papel de probabilidade e resultado do teste de Normalidade.
Como o p-valor associado ao teste de Anderson-Darling é maior que 0,05 não rejeitamos a hipótese de que os dados tem distribuição aproximadamente normal.
Com isso, podemos fazer uma análise da capacidade e performance do processo.
Então, para o método de variabilidade a longo prazo temos
$$\widehat{\sigma} = s = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}{n - 1}} = 1,555822$$
e com isso,
$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}} = \dfrac{135 - 125}{6 \ast (1,555822)} = 1,071245$$
$$P_{pk} = \min\left\{\dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{3\widehat{\sigma}}~;~\dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{3\widehat{\sigma}}\right\} = \min\left\{\dfrac{135 - 128,7}{3 \ast (1,555822)}~;~\dfrac{128,7 - 125}{3 \ast (1,555822)}\right\}$$
$$P_{pk} = \min\{1,349769;~0,792721\} = 0,792721$$
Calculando o valor de Z, obtemos
$$Z_{LSE} = \dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{135 - 128,7}{1,555822} = 4,049306$$
$$Z_{LIE} = \dfrac{\widehat{\mu} - LIE }{\widehat{\sigma}} = \dfrac{128,7 - 125}{1,555822} = 2,378164$$
Calculando o PPMTotal
$$PPM_{LSE} = [1 - \Phi(Z_{LSE})] \times 1.000.000 = [1 - \Phi(4,049306)] \times 1.000.000 = 25,68487$$
$$PPM_{LIE} = \Phi(Z_{LIE}) \times 1.000.000 = \Phi(-2,378164) \times 1.000.000 = 8699,54282$$
Assim,
$$PPM_{Total} = PPM_{LSE} + PPM_{LIE} = 25,68487 + 8699,54282 = 8725,228$$
Para o método de variabilidade a curto prazo, temos
$$\widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{R}}{d_2} = \dfrac{1,165022}{1,128} = 1,032820974$$
sendo d2 = 1,128 (para n = 2) tabelado no Apêndice e
$$\overline{R} = \dfrac{\sum_{i=2}^{25}\mid (x_i - x_{i-1}) \mid}{n - 1} = 1,165022$$
Com isso, podemos calcular os índices de Capacidade do Processo, dados por
$$C_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}} = \dfrac{135 - 125}{6 \ast (1,032820974)} = 1,613703$$
$$C_{pk} = \min\left\{\dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{3\widehat{\sigma}}~;~\dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{3\widehat{\sigma}}\right\}$$
$$C_{pk} = \min\left\{\dfrac{135 - 128,7}{3 \ast (1,032820974)}~;~\dfrac{128,7 - 125}{3 \ast (1,032820974)}\right\}$$
$$C_{pk} = \min\{2,033266~;~1,194140\} = 1,194140$$
O valor de Z é obtido da seguinte forma
$$Z_{LSE} = \dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{135 - 128,7}{1,032820974} = 6,099799$$
$$Z_{LIE} = \dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{128,7 - 125}{1,032820974} = 3,582421$$
Assim, para encontrar o PPMTotal calculamos
$$PPM_{LSE} = [1 - \Phi(Z_{LSE})] \times 1.000.000 = [1 - \Phi(6,099799)] \times 1.000.000 = 0$$
$$PPM_{LIE} = \Phi(Z_{LIE}) \times 1.000.000 = \Phi(-3,582421) \times 1.000.000 = 170,21229$$
Logo,
$$PPM_{Total} = PPM_{LSE} + PPM_{LIE} = 0 + 170,21229 = 170,21229$$
A seguir temos os resultados da análise de performance do processo obtidos pelo Software Action para esse exemplo.
Figura 3.3: Gráfico da análise de performance do processo.
Com isso, podemos concluir que como o processo não está sob controle, ou seja, é um processo instável temos que a capacidade do mesmo não reflete a realidade. Neste caso, os índices de performance indicam o comportamento real do processo e os índices de capacidade indicam o comportamento do processo se este for estabilizado.
![]() |
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
Consideremos os dados da tabela a seguir referentes às medições de uma peça enviada para análise. Os limites de especificação para essa peça são: LSE = 324, VN = 270 (valor nominal) e LIE = 216. Vamos avaliar a capacidade e performance do processo.
Tabela 3.2: Peça - Roda LO lado direito - Mercedes-Benz.
Amostra | Data | Coleta de dados | |||
X1 | X2 | X3 | X4 | ||
1 | 13-11-06 | 307,00 | 317,40 | 303,20 | 307,70 |
2 | 20-11-06 | 260,40 | 259,60 | 270,50 | 244,50 |
3 | 20-11-06 | 261,40 | 275,80 | 257,90 | 263,90 |
4 | 27-11-06 | 274,50 | 280,30 | 278,00 | 263,20 |
5 | 27-11-06 | 254,90 | 266,40 | 275,50 | 228,90 |
6 | 27-11-06 | 251,30 | 257,10 | 253,40 | 248,60 |
7 | 27-11-06 | 269,60 | 278,80 | 286,00 | 267,70 |
8 | 04-12-06 | 281,80 | 274,30 | 263,20 | 251,60 |
9 | 04-12-06 | 281,60 | 284,10 | 303,00 | 290,40 |
10 | 04-12-06 | 301,50 | 303,30 | 285,60 | 280,70 |
11 | 11-12-06 | 308,30 | 292,40 | 309,00 | 297,70 |
12 | 11-12-06 | 283,60 | 284,30 | 255,40 | 258,40 |
13 | 11-12-06 | 305,80 | 299,50 | 296,40 | 295,60 |
14 | 18-12-06 | 239,50 | 252,60 | 218,90 | 271,20 |
15 | 15-01-07 | 291,10 | 299,20 | 300,40 | 315,10 |
16 | 15-01-07 | 283,10 | 280,30 | 284,80 | 280,80 |
17 | 22-01-07 | 276,00 | 271,00 | 264,90 | 242,00 |
18 | 22-01-07 | 248,10 | 267,70 | 266,70 | 272,20 |
19 | 29-01-00 | 245,40 | 250,60 | 260,00 | 296,30 |
20 | 29-01-07 | 307,70 | 288,90 | 281,80 | 290,40 |
21 | 03-02-07 | 246,30 | 240,70 | 258,80 | 240,50 |
22 | 03-02-07 | 231,00 | 255,90 | 249,80 | 223,60 |
23 | 03-02-07 | 257,10 | 239,50 | 257,90 | 272,20 |
24 | 12-02-07 | 266,10 | 284,70 | 281,50 | 289,80 |
25 | 17-02-07 | 279,10 | 278,40 | 247,40 | 286,10 |
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Primeiramente vamos fazer uma análise da estabilidade do processo através de um gráfico de controle.
Figura 3.4: Gráfico $\overline{X}$ e R.
Verificamos no gráfico de amplitude móvel que todos os valores estão dentro dos limites de controle. No entanto, no gráfico de $\overline{X}$ indica a presença de causas especiais, as quais deixam o processo instável.
Em seguida, vamos verificar se os dados possuem distribuição normal. Para isso usaremos o teste de Anderson-Darling.
Figura 3.5: Papel de probabilidade e resultado do teste de Normalidade.
Como o p-valor associado ao teste de Anderson-Darling (0,6) é maior do que 0,05 não rejeitamos a hipótese de que os dados tem distribuição aproximadamente normal.
Com isso, podemos fazer uma análise da capacidade e performance do processo.
Então, para o método de variabilidade a longo prazo temos
$$\widehat{\sigma} = s = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}{n - 1}} = 21,879$$
e com isso,
$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}} = \dfrac{324 - 216}{6 \ast (21,879)} = 0,8227$$
$$P_{pk} = \min\left\{\dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{3\widehat{\sigma}}~;~\dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{3\widehat{\sigma}}\right\} = \min\left\{\dfrac{324 - 272,84}{3 \ast (21,879)}~;~\dfrac{272,84 - 216}{3 \ast (21,879)}\right\}$$
$$P_{pk} = \min\{0,7794;~0,866\} = 0,7794$$
Calculando o valor de Z, obtemos
$$Z_{LSE} = \dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{324 - 272,84}{21,879} = 2,3383$$
$$Z_{LIE} = \dfrac{\widehat{\mu} - LIE }{\widehat{\sigma}} = \dfrac{272,84 - 216}{21,879} = 2,5979$$
Calculando o PPMTotal
$$PPM_{LSE} = [1 - \Phi(Z_{LSE})] \times 1.000.000 = [1 - \Phi(2,3383)] \times 1.000.000 = 9685,846$$
$$PPM_{LIE} = \Phi(Z_{LIE}) \times 1.000.000 = \Phi(-2,5979) \times 1.000.000 = 4689,79$$
Assim,
$$PPM_{Total} = PPM_{LSE} + PPM_{LIE} = 9685,846 + 4689,79 = 14375,64$$
Para o método de variabilidade a curto prazo, temos
$$\widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{R}}{d_2} = \dfrac{25,6}{2,326} = 12,4328$$
sendo d2 = 2,326 (para n = 5) tabelado no Apêndice .
Com isso, podemos calcular os índices de Capacidade do Processo, dados por
$$C_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}} = \dfrac{324 - 216}{6 \ast (12,4328)} = 1,4478$$
$$C_{pk} = \min\left\{\dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{3\widehat{\sigma}}~;~\dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{3\widehat{\sigma}}\right\}$$
$$C_{pk} = \min\left\{\dfrac{324 - 272,84}{3 \ast (12,4328)}~;~\dfrac{272,84 - 216}{3 \ast (12,4328)}\right\}$$
$$C_{pk} = \min\{1,3716;~1,5239\} = 1,3716$$
O valor de Z é obtido da seguinte forma
$$Z_{LSE} = \dfrac{LSE - \widehat{\mu}}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{324 - 272,84}{12,4328} = 4,1149$$
$$Z_{LIE} = \dfrac{\widehat{\mu} - LIE}{\widehat{\sigma}} = \dfrac{272,84 - 216}{12,4328} = 4,5718$$
Assim, para encontrar o PPMTotal calculamos
$$PPM_{LSE} = [1 - \Phi(Z_{LSE})] \times 1.000.000 = [1 - \Phi(4,1149)] \times 1.000.000 = 19,3674$$
$$PPM_{LIE} = \Phi(Z_{LIE}) \times 1.000.000 = \Phi(-4,5718) \times 1.000.000 = 2,4178$$
Logo,
$$PPM_{Total} = PPM_{LSE} + PPM_{LIE} = 19,3674 + 2,4178 = 21,7851$$
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.
Figura 3.6: Gráfico da análise de performance do processo.
Concluímos que este é um processo instável, o que justifica a diferença entre os índices Cp e Pp. Neste caso, os índices de performance indicam o comportamento real do processo e os índices de capacidade indicam o comportamento do processo se este for estabilizado. Dessa forma, observando os índices de performance vemos que o processo não atende às especificações com relação a variabilidade (índice Pp baixo).
![]() |
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.