1.1 Modelo Estatístico

Como visto na Figura 1.1 referente à "Motivação 1", é razoável supor que a relação existente entre as variáveis dureza de pistões, denotada por Y e níveis de temperatura, denotada por X, é linear. Desta forma, definimos o seguinte modelo de regressão linear simples entre Y (variável resposta) e X (variável regressora).

Definição 1.1.1

Consideremos duas variáveis X e Y. Dados n pares , se Y é função linear de X, pode-se estabelecer uma regressão linear simples cujo modelo estatístico é 

em que substituímos por uma vez que é uma variável determinística (constante conhecida).

Neste modelo,

é uma variável aleatória e representa o valor da variável resposta (variável dependente) na i-ésima observação;
representa o valor da variável explicativa (variável independente, variável regressora) na i-ésima observação;
é uma variável aleatória que representa o erro experimental;
e são os parâmetros do modelo, que serão estimados, e que definem a reta de regressão e
n é o tamanho da amostra.

1.1.1 Interpretação dos parâmetros do modelo

O parâmetro é chamado intercepto ou coeficiente linear e representa o ponto em que a reta regressora corta o eixo dos y's, quando x=0. Já o parâmetro  representa a inclinação da reta regressora e é dito coeficiente de regressão ou coeficiente angular. Além disso, temos que para um aumento de uma unidade na variável x, o valor E(Y|x) aumenta  unidades. A interpretação geométrica dos parâmetros  e pode ser vista na Figura 1.1.1.

Figura 1.1.1: Reta Regressora.

Um ponto negativo na Definição 1.1.1 é que o modelo de regressão linear simples não acomoda impactos de erros experimentais (variação de matéria prima), de erros de medida, entre outras inúmeras fontes de variabilidade, tornando-se inadequado nestes casos.

1.1.2 Suposições para o modelo

Ao estabelecer o modelo 1.1.1 para os dados, pressupomos que:

i) A relação matemática entre Y e X é linear;

ii) Os valores de x são fixos (ou controlados), isto é, x não é uma variável aleatória; 

iii) A média do erro é nula, ou seja, . Desta forma, segue que

e portanto, a função de regressão para o modelo 1.1.1 é dada por:

Note que o valor observado de  está em torno do valor da função de regressão com erro experimental .

iv) Para um dado valor de x, a variância de é sempre , isto é,

isto implica em:

Neste caso, dizemos que o erro é homocedástico (tem variância constante);

v) O erro de uma observação é não correlacionado com o erro de outra observação, isto é,

Esta hipótese não implica que os erros sejam independentes. Se a distribuição dos erros for normal,  esta hipótese é equivalente a independência dos erros.

vi) Frequentemente, supomos que os erros tem distribuição Normal.

Desta forma, combinando (iii), (iv) e (vi) temos que . Como é a soma de um termo constante, , com um termo aleatório, , segue que Além disso, por (v) e (vi) temos que e  são independentes. A suposição de normalidade é necessária para a elaboração dos testes de hipóteses e obtenção de intervalos de confiança.