1.10.1 - Modelo Estatístico para Curva de Calibração

Nesta seção vamos descrever o modelo estatístico para a motivação, para isto é razoável supor que a relação existente entre a variável Área (Y) e níveis de Concentração (X) é linear. Desta forma, definimos o seguinte modelo de regressão linear simples entre Y (variável resposta) e X (variável regressora).

Consideramos duas variáveis Concentração e Área, neste caso, podemos estabelecer uma regressão linear simples cujo modelo estatístico é

$$Y_{ij}=\beta_0+\beta_1~x_{i}+\varepsilon_{ij}\quad i=1,\cdots, n;$$

em que,

• $Y_{ij}$: representa a j-ésima medição de área referente a i-ésima concentração;
• $X_{i}$: representa a i-ésima concentração;
• $\beta_0$: representa o coeficiente linear ou intercepto;
• $\beta_1$: representa o coeficiente angular;
• $\varepsilon_{ij}$: representa o j-ésimo erro cometido na medição da i-ésima área. Consideramos que os $\varepsilon_{ij}$ são independentes e identicamente distribuídos com distribuição $N(0,\sigma^2)$ .

Pelo método dos mínimos quadrados, obtemos

$$\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\quad e\quad\hat{\beta}_0=\overline{y}-\hat{\beta}_1\overline{x}$$

em que,

• $S_{xx}=\displaystyle\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2=\sum^n_{i=1}x_i^2-2\overline{x}\sum^n_{i=1}x_i+n\overline{x}^2 = \sum^n_{i=1} x_i^2-n\overline{x}^2;$
• $S_{xy}=\displaystyle\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})y_i;$
• $\overline{y}=\frac{1}{n}\displaystyle\sum^n_{i=1}(y_i)$ representa a média das leituras de área;
• $\overline{x}=\frac{1}{n}\displaystyle\sum^n_{i=1}(x_i)$ representa a média das leituras de concentração.

para mais detalhes consulte estimação dos parâmetros do modelo.

Exemplo

Voltando à Motivação, vamos calcular as estimativas dos parâmetros $\beta_{0}$ e $\beta_{1}$ pelo Método dos Mínimos Quadrados.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Solução:

As médias amostrais das variáveis Concentração (X) e Área (Y) são, respectivamente, 

$$\overline{x}=\dfrac{1}{15}\sum_{i=1}^{15}x_i=0,73\quad\text{e}\quad\overline{y}=\dfrac{1}{15}\sum_{i=1}^{15} y_i=0,039.$$

Além disso, na Tabela, apresentamos os valores de $x^2$, $y^2$ e $xy$ para cada observação $i=1,\ldots,15$. 

Da tabela calculamos as somas de quadrados da seguinte forma:

$$S_{xx}=\sum^n_{i=1}x_i^2-n\overline{x}^2=15,788-15\times 0,73^2=7,794$$

$$S_{yy}=\sum^n_{i=1}y_i^2-n\overline{y}^2= 0,00000331 - 15 \times 0,73^2=1,73\times 10^{-6}$$

$$S_{xy}=\sum^n_{i=1}x_i y_i-n\overline{x}\overline{y}=0,007 - 15 \times 0,73 \times 0,0003=0,0036.$$

Logo, as estimativas dos parâmetros $\beta_{1}$ e $\beta_{0}$ são, respectivamente

$$\widehat\beta_1=\dfrac{0,0036}{7,794}=0,00047\quad\text{e }\quad\widehat\beta_0=0,0003-(0,00047)\times 0,73=-1,95\times 10^{-5}.$$

Portanto, o modelo ajustado é dado por

$$\mbox{Área}~=~-1,95\times 10^{-5}~+~0,00047~\times\mbox{Concentração}.$$

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action.

Da seção análise de variância obtemos que

$$QME=\dfrac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(Y_i-\overline{Y})^2-\widehat{\beta}_1\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})Y_i}{n-2}.$$

Substituindo os valores obtemos que

$$QME=3,98\times 10^{-10}$$

Com isso, podemos calcular as variâncias dos parâmetros

$$\widehat{\text{Var}}(\hat{\beta}_0)=QME\left(\frac{1}{n}+\frac{\overline{x}^2}{S_{xx}}\right)=5,38\times 10^{-11}$$

$$\widehat{\text{Var}}(\hat{\beta}_1)=\frac{QME}{S_{xx}}=5,11\times 10^{-11}$$

O $R^2$ é uma medida descritiva da qualidade do ajuste obtido. Como obtemos um $R^2$ de 0,99, logo a quantidade de variabilidade dos dados bem é explicada pelo modelo de regressão ajustado. Como dito anteriormente, na prática temos interesse em predizer o valor de concentração (X) dado uma observação em área (Y). Então, dado $y_0$ observado, tomamos como estimativa (invertendo a função linear)

$$\hat{x_0} = \frac{y_0 -\hat{\beta_0} }{\hat{\beta_1}}~\quad \text{que é equivalente a}\quad \widehat{\text{Concentração}}_0=\dfrac{\text{Área}_0-\hat{\beta}_0}{\hat{\beta}_1}.$$

Logo, a variância da estimativa $\hat{x_0}$ é dada por (Veja Brown [13], 1993, pg. 26)

$$\widehat{Var(\hat{x_0})}=\frac{QME}{\hat{\beta_1}^2}=\frac{3,98\times 10^{-10}}{0,00047^2}=0,00179.$$