1.10.3.3 - Incerteza devido a curva de calibração: Método Delta

Nesta seção, vamos utilizar o método delta para calcularmos a incerteza devido a curva de calibração. O método delta é uma técnica para aproximar um vetor aleatório, através da expansão pela séria de Taylor. Ela proporciona transformações que levam a uma variância assintótica que é independente do parâmetro. Se usarmos a aproximação de 1a ordem para $g(\widehat{x}_0)$ obtemos

$g( \widehat{y_0}, \widehat{\beta_0}, \widehat{\beta_1} ) = \widehat{x_0} = \dfrac{\widehat{y_0} - \widehat{\beta_0} }{ \widehat{\beta_1} }$

Expandimos em série de Taylor até primeira ordem, com isso obtemos,

$\mathbb{E}(g(\widehat{x}_0))=g( \widehat{y_0}, \widehat{\beta}_0, \widehat{\beta}_1 ) \approx g( y_0, \beta_0, \beta_1 ) + ( \hat{y_0} - y_0 ) \dfrac{ \partial g( y_0, \beta_0, \beta_1 ) }{ \partial y_0 } +$

$+( \hat{\beta_0} - \beta_0 ) \dfrac{ \partial g( y_0, \beta_0, \beta_1 ) }{ \partial \beta_0 }+ ( \hat{\beta_1} - \beta_1 ) \dfrac{ \partial g( y_0, \beta_0, \beta_1 ) }{ \partial \beta_1 } + 2 (\hat{y_0} - y_0)( \hat{\beta_0} - \beta_0 ) \dfrac{ \partial^2 g( y_0, \beta_0, \beta_1 ) }{\partial y_0 \partial \beta_0}+$

$+ 2 (\hat{y_0} - y_0)( \hat{\beta_1} - \beta_1 ) \dfrac{ \partial^2 g( y_0, \beta_0, \beta_1 ) }{\partial y_0 \partial \beta_1} + 2 (\hat{\beta_0} - \beta_0)( \hat{\beta_1} - \beta_1 ) \dfrac{ \partial^2 g( y_0, \beta_0, \beta_1 ) }{\partial \beta_0 \partial \beta_1}$

Então $\hat{\phi} = g( \widehat{y_0}, \widehat{\beta_0}, \widehat{\beta_1} )$ é o estimador de $g( y_0, \beta_0, \beta_1 )$ e temos aproximadamente,

$\text{Var}( \hat{\phi} ) = \text{Var} ( \widehat{x_0} ) \approx \text{Var}( \widehat{y_0} ) \left( \dfrac{\partial \hat{\phi} }{ \partial y_0 } \right)^2 + \text{Var}( \widehat{\beta_0} ) \left( \dfrac{\partial \hat{\phi} }{ \partial \beta_0 } \right)^2 + \text{Var}( \widehat{\beta_1} ) \left( \dfrac{\partial \hat{\phi} }{ \partial \beta_1 } \right)^2$

$+ 2 \text{Cov}( \hat{y_0}, \hat{\beta_0} ) \left( \dfrac{ \partial \hat{\phi} }{ \partial y_0} \dfrac{ \partial \hat{\phi} }{ \partial \beta_0 } \right) + 2 \text{Cov}( \widehat{y_0}, \widehat{\beta_1} ) \left( \dfrac{ \partial \hat{\phi} }{ \partial y_0} \dfrac{ \partial \hat{\phi} }{ \partial \beta_1 } \right) + 2 \text{Cov}( \widehat{\beta_0}, \widehat{\beta_1} ) \left( \dfrac{ \partial \hat{\phi} }{ \partial \beta_0} \dfrac{ \partial \hat{\phi} }{ \partial \beta_1 } \right)$ (1.10.3.3.1)

Da seção 1.3 Propriedades dos Estimadores, temos que

$\text{Var}( y_0 ) = \sigma^2$
$\text{Var} ( \widehat{\beta_0} ) = \sigma^2 \left( \dfrac{1}{n} + \dfrac{ \overline{x}^2 }{ S_{xx} } \right)$
$\text{Var} ( \widehat{\beta_1} ) = \dfrac{ \sigma^2 }{ S_{xx} }$
$\text{Cov} ( \widehat{\beta_0}, \widehat{\beta_1} ) = - \dfrac{ \overline{x}\sigma^2 }{ S_{xx} }$

Agora, é necessário calcularmos as derivadas. Assim,

$\dfrac{ \partial \hat{\phi} }{ \partial y_0 } = \dfrac{1}{ \beta_1 }$

$\dfrac{ \partial \hat{\phi} }{ \partial \beta_0 } = -\dfrac{1}{ \beta_1 }$

$\dfrac{ \partial \hat{\phi} }{ \partial \beta_1 } = - \dfrac{(y_0 - \beta_0) }{ \beta_1^2 } = - \dfrac{\phi}{\beta_1}$

$\dfrac{ \partial \hat{\phi} }{ \partial y_0} \dfrac{ \partial \hat{\phi} }{ \partial \beta_0 } = \dfrac{1}{\beta_1} \left( -\dfrac{1}{\beta_1} \right) = - \dfrac{1}{\beta_1^2}$

$\dfrac{ \partial \hat{\phi} }{ \partial y_0} \dfrac{ \partial \hat{\phi} }{ \partial \beta_1 } = \dfrac{1}{\beta_1} \left( - \dfrac{(y_0 - \beta_0) }{ \beta_1^2 } \right) = \left( - \dfrac{ y_0 - \beta_0 }{ \beta_1^3 } \right) = - \dfrac{\phi}{\beta_1^2}$

$\dfrac{ \partial \hat{\phi} }{ \partial \beta_0} \dfrac{ \partial \hat{\phi} }{ \partial \beta_1 } = \left( -\dfrac{1}{\beta_1} \right) \left( -\dfrac{y_0 - \beta_0}{ \beta_1^2 } \right) = \dfrac{y_0 - \beta_0}{ \beta_1^3 } = \dfrac{\phi}{\beta_1^2}$

em que $\phi = \dfrac{y_0 - \beta_0}{\beta_1}$

Substituímos as derivadas e os dados obtidos nas seções anteriores em (1.10.3.3.1).

$\text{Var}(\widehat{x_0}) \approx \dfrac{2 \text{QME}}{n\widehat{\beta}^2_1}+\dfrac{\widehat{x}^2_0 \text{QME}}{\widehat{\beta}^2_1 S_{xx}} +\dfrac{2\overline{x}^2 \text{QME}}{\widehat{\beta}^2_1 S_{xx}}- 2\dfrac{\widehat{x}_0\overline{x} \text{QME}}{\widehat{\beta}^2_1 S_{xx}} +$

$+\dfrac{\widehat{y}^2_0 \text{QME}}{\widehat{\beta}^2_1 S_{xx}}+\dfrac{\widehat{\beta}^2_0 \text{QME}}{\widehat{\beta}^2_1 S_{xx}} - 2\dfrac{\widehat{y}_0\widehat{\beta}_0 \text{QME}}{\widehat{\beta}^2_1 S_{xx}}+2\dfrac{\text{QME}}{2\widehat{\beta}^2_1}+ 2\dfrac{\overline{x}^2 \text{QME}}{\widehat{\beta}^2_1 S_{xx}}-$

$-2\dfrac{\widehat{x}_0\overline{x}\widehat{\beta}_0 \text{QME}}{\widehat{\beta}^2_1 S_{xx}} -4\dfrac{\widehat{y}^2_0\overline{x}\widehat{\beta}_0 \text{QME}}{\widehat{\beta}^2_1 S_{xx}} - 4\dfrac{\widehat{\beta}^2_0\overline{x}\text{QME}}{\widehat{\beta}^2_1 S_{xx}} +8\dfrac{\widehat{y}_0\widehat{\beta}_0 \text{QME}}{\widehat{\beta}^2_1 S_{xx}}+$

$+ 2\dfrac{\widehat{x}^2_0\widehat{y}^2_0 \text{QME}}{\widehat{\beta}^2_1 S_{xx}}+2\dfrac{\widehat{x}^2_0\widehat{\beta}^2_0 \text{QME}}{\widehat{\beta}^2_1 S_{xx}} -4\dfrac{\widehat{x}^2_0\widehat{y}_0\widehat{y}_0 \text{QME}}{\widehat{\beta}^2_1 S_{xx}}$

Com algumas manipulações algébricas obtemos

$\text{Var}(\widehat{x_0}) \approx \dfrac{ \text{QME}}{\widehat{\beta}^2_1}\left[\dfrac{4}{n}+\dfrac{(\widehat{x}_0-2\overline{x})^2}{S_{xx}} + +\dfrac{(\widehat{y}_0-\widehat{\beta}_0)^2}{S_{xx}}(1-4\overline{x}+2\widehat{x}^2_0)\right]$

Portanto, a incerteza devido à curva de calibração pelo método delta é dada por

$u(\widehat{x_0}) \approx \dfrac{ \sqrt{\text{QME}}}{\widehat{\beta}_1}\sqrt{\dfrac{4}{n}+\dfrac{(\widehat{x}_0-2\overline{x})^2}{S_{xx}} + \dfrac{(\widehat{y}_0-\widehat{\beta}_0)^2}{S_{xx}}(1-4\overline{x}+2\widehat{x}^2_0)}$

Exemplo 1.10.3.3.1:

Voltamos ao exemplo da motivação. Já temos calculado:

$\overline{x} = 0,73$
$S_{xx} = 7,794$
$\widehat{\beta_1} = 0,00047$
$\widehat{\beta}_0=-1,958\times 10^{-5}$
$QME = 3,98 \times 10^{-10}$
$\widehat{y}_0=0,000451085$

Suponhamos, $\hat{x}_0 = 1,$ logo a incerteza devido à curva de calibração pelo método Delta é dada por

$u(\widehat{x_0}) = \dfrac{ \sqrt{\text{QME}}}{\widehat{\beta}_1}\sqrt{\dfrac{4}{n}+\dfrac{(\widehat{x}_0-2\overline{x})^2}{S_{xx}} + \dfrac{(\widehat{y}_0-\widehat{\beta}_0)^2}{S_{xx}}(1-4\overline{x}+2\widehat{x}^2_0)}$

$=\dfrac{ \sqrt{3,98\times 10^{-10}}}{0,00047}\sqrt{\dfrac{4}{15}+\dfrac{(1-2\times 0,73)^2}{7,794} + \dfrac{(0,000451+1,958\times 10^{-5})^2}{7,794}(1-4\times 0,73+2 \times 1^2)}=$

$=0,022977$

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Na próxima seção, vamos descrever o método de Fieller.

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