1.11.1 - Modelo de regressão linear ponderada

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Vamos considerar um modelo de regressão linear no qual a variância dos erros não é constante, mas os erros são não correlacionados. A matriz de convariância dos erros é dada por $\sigma^2 V$ no qual $V$ é uma matriz diagonal e positiva definida.  

Na seção anterior, fizemos uma boa discussão sobre a necessidade da ponderação, aplicada aos casos nos quais detectamos heterocedasticidade. O modelo é descrito na forma:

$$K^{-1}Y_i=K^{-1}\beta_{0} + K^{-1}\beta_{1}X_i + K^{-1}\varepsilon_{i}$$

$$Z_{i}=\beta_{0w} + \beta_{1w}B_{i} + \eta_{i}\quad~~(1.11.1)$$

em que,  

  • $Y_i$ é a i-ésima observação da variável resposta;  
  • $X_i$ é a i-ésima observação da covariável constante e conhecida;  
  • $\beta_{w0}$ e $\beta_{w1}$ são os parâmetros desconhecidos da regressão;  
  • $\eta_{i}$ é o i-ésimo erro, consideramos $\eta_{i} \sim N(0,\sigma^2 V)$ para $i=1,2,\dots,n$ e $n$ é o número de observações.

Como apresentado na seção "Regressão Linear Ponderada", ao denotarmos por $K$ a raiz quadrada de $V$ $(K^\top K =V)$, sabemos que o modelo $Z = B \beta + \eta$, nos quais $Z=K^{-1} Y$, $B = K^{-1} X$ e $\eta = K^{-1} \varepsilon$, satisfazem as hipóteses usuais do modelo de regressão linear. Assim, as estimativas de mínimos quadrados são consistentes e de variância mínima.  

 

 

Análise de Regressão

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