1.11.1 - Modelo de regressão linear ponderada

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Vamos considerar um modelo de regressão linear no qual a variância dos erros não é constante, mas os erros são não correlacionados. A matriz de convariância dos erros é dada por $ \sigma^2 V $ no qual $ V $ é uma matriz diagonal e positiva definida.  

Na seção anterior, fizemos uma boa discussão sobre a necessidade da ponderação, aplicada aos casos nos quais detectamos heterocedasticidade. O modelo é descrito na forma:

$$K^{-1}Y_i=K^{-1}\beta_{0} + K^{-1}\beta_{1}X_i + K^{-1}\varepsilon_{i}$$

$$Z_{i}=\beta_{0w} + \beta_{1w}B_{i} + \eta_{i}\quad~~(1.11.1)$$

em que,  

  • $ Y_i $ é a i-ésima observação da variável resposta;  
  • $ X_i $ é a i-ésima observação da covariável constante e conhecida;  
  • $ \beta_{w0} $ e $ \beta_{w1} $ são os parâmetros desconhecidos da regressão;  
  • $ \eta_{i} $ é o i-ésimo erro, consideramos $ \eta_{i} \sim N(0,\sigma^2 V) $ para $ i=1,2,\dots,n $ e $ n $ é o número de observações.

Como apresentado na seção "Regressão Linear Ponderada", ao denotarmos por $ K $ a raiz quadrada de $ V $$ (K^\top K =V) $, sabemos que o modelo $ Z = B \beta + \eta $, nos quais $ Z=K^{-1} Y $, $ B = K^{-1} X $ e $ \eta = K^{-1} \varepsilon $, satisfazem as hipóteses usuais do modelo de regressão linear. Assim, as estimativas de mínimos quadrados são consistentes e de variância mínima.  

 

 

Análise de Regressão

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