1.11.2 - Estimação dos parâmetros do modelo

Para estimarmos os parâmetros do modelo de regressão linear heterocedástico tomamos a função de mínimos quadrados por

$$Q_w=\displaystyle\sum^n_{i=1}\eta^2_{i}= \sum_{i=1}^{n} w_i\left( Y_i-\left(\beta_{w0}+\beta_{w1}X_i\right) \right)^2,$$ que é soma dos desvios ponderados por $w_i$. No modelo de regressão admitimos que o vetor de erros experimentais tem matriz de covariância dada por $\sigma^2 V$. Assim, temos que $V$ é uma matriz diagonal com elementos da diagonal dados por $1/w_i$.

Os estimadores $\widehat{\beta}_{w0}$ e $\widehat{\beta}_{w1}$ que minimizam a função de mínimos quadrados são conhecidos como estimadores de mínimos quadrados ponderados. Notamos que esses estimadores, coincidem com os estimadores de mínimos quadrados ordinários apresentados nas seções anteriores (para mais detalhes consulte Estimação dos Parâmetros do Modelo) quando consideramos a suposição de homocedasticidade, que implica em pesos $(w_{i})$ iguais. 

As observações de maior variância têm menos influência sobre os estimadores de $\beta_{w0}$ e $\beta_{w1}$, e as de menor variância têm mais influência. Isso é devido ao fato de que as observações de menor variância apresentam informações mais pertinentes a respeito da $\mathbb{E}[Y|X_i],~~i=1,\dots,n.$

Calculamos os estimadores de mínimos quadrados ponderados derivando $Q_w$ em relação aos parâmetros e igualando a zero para obter o ponto de mínimo, ou seja:

$$ \dfrac{\partial Q_w}{\partial \beta_{w0}} = 2\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i\left(Y_i - \left( \beta_{w0} +\beta_{w1}X_i \right) \right)=2\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i Y_i -2\beta_{w0}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_i -2\beta_{w1}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_iX_i=0$$

$$ \dfrac{\partial Q_w}{\partial \beta_{w1}} = 2\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i\left(Y_i - \left( \beta_{w0} +\beta_{w1}X_i \right) \right)X_i=2\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i Y_i X_i -2\beta_{w0}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_iX_i -2\beta_{w1}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_i{X_i}^2=0$$

Desta forma, obtemos o sistema:

$$\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_iY_i = \beta_{w0} \displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_i + \beta_{w_{w1}} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_iX_i \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_iY_iX_i = \beta_{w0} \displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_iX_i + \beta_{w1} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i{X_i}^2\end{array}\right.$$

Com isso, a solução das equações são dadas por:

$$\beta_{w0}= \dfrac { \displaystyle\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i Y_i - \beta_{w1} \displaystyle\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i X_i }{ \displaystyle\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i}\quad \text{e}\quad\beta_{w1} = \dfrac{\displaystyle \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_iY_iX_i - \dfrac{\displaystyle \displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_iY_i \displaystyle \displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_iX_i }{ \displaystyle \displaystyle \sum_{i=1}^{n} {w_i}}}{ \displaystyle \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i{X_i}^2 - \dfrac{\left(\displaystyle \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i X_i \right)^2}{\displaystyle \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i}}$$

Para facilitar a notação, denotamos $\overline{Y}_w=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_i Y_i }{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_i}$ e $\overline{X}_w = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i X_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}wi}$ as médias ponderadas de $Y$ e $X$, respectivamente. Afim de facilitar os cálculos, vamos reescrever o estimador de mínimos quadrados ponderados de $\beta_{w1}$ da seguinte maneira: 

$\widehat{\beta}_{w1}=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i (X_i - \overline{X}_w)(Y_i - \overline{Y}_w) }{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_i (X_i -\overline{X}_w)^2} =$

$$=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n w_i X_i Y_i -\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i X_i \overline{Y}_w -\displaystyle \sum_{i=1}^n w_i \overline{X}_w Y_i +\displaystyle \sum_{i=1}^n w_i\overline{X}_w \overline{Y}_w}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_i (X_i -\overline{X}_w)^2}=$$

$$=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i Y_i X_i - \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i X_i \left( \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i Y_i}{ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i } \right) - \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i \overline{X}_w Y_i + \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i \overline{X}_w \left( \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i Y_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i}\right) }{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_i (X_i -\overline{X}_w)^2}=$$

$$=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i Y_i X_i - \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i Y_i\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i X_i}{ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i }- \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i \overline{X}_w Y_i + \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\overline{X}_w w_i Y_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i} }{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_i (X_i -\overline{X}_w)^2}=$$

$$= \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i Y_i X_i - \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_iY_i \overline{X}_w - \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i Y_i \overline{X}_w + \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i Y_i \overline{X}_w}{ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i (X_i - \overline{X}_w )^2}$$

$$=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_iY_iX_i -\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i Y_i \overline{X}_w}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i (X_i - \overline{X}_w)^2 } = \dfrac{ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i(X_i - \overline{X}_w)Y_i }{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i(X_i - \overline{X}_w)^2} \quad~~(1.11.1.5)$$

Logo, os estimadores de mínimos quadrados ponderados são dadas por:

$$\widehat{\beta}_{w0} = \overline{Y}_w - \widehat{\beta}_{w1}\overline{X}_w\quad \text{e}\quad \widehat{\beta}_{w1} = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i (X_i - \overline{X}_w) Y_i }{ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i (X_i - \overline{X}_w )^2 } $$

Os valores de $\widehat{\beta}_{w0}$ e$\widehat{\beta}_{w0}$ obtidos são denominados Estimadores de Mínimos Quadrados Ponderados (EMQP).

O modelo de regressão linear simples ponderado ajustado é dado por

$$\widehat{Y}_i=\widehat{\beta}_{w0}+\widehat{\beta}_{w1}X_i\quad i=1,\dots,n$$

em que $\widehat{Y}$ é um estimador pontual da média da variável Y para um valor de $x$, ou seja,

$$\widehat{\mathbb{E}(Y|X_i)}=\widehat{\beta}_{w0}+\widehat{\beta}_{w1}X_i,\quad i=1,\dots,n$$

 

Exemplo 1.11.1.1

Voltamos à motivação, considere a curva de calibração para o ensaio de certo composto químico realizado por um equipamento chamado Cromatógrado. A seguir, vamos calcular as estimativas dos parâmetros $\beta_{w0}$ e $\beta_{w1}$ pelo método dos mínimos quadrados ponderados. Vale lembrar que estamos desenvolvendo a teoria, como se as variâncias fossem conhecidas, porém para resolvermos este exemplo vamos admitir que as variâncias sejam desconhecidas. Com isso, vamos utilizar a variância amostral $s^2_i$ no lugar de $\sigma^2_i.$ Através do software Action obtemos os valores dos pesos $1/s^2_i:$

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o Manual do Usuário.

Dos resultados obtidos do Action, calculamos $w_i=1/s^2_i=$1/Variância.  Com isso, obtemos a tabela:

n	Área $(Y_i)$	Concentração $(X_i)$	$w_i$	$w_i X_i$	$w_i Y_i$	$V=(X_i-\overline{X}_w)$	$w_i*V*Y_i$	$w_i*V^2$
1	0,078	0	5,45	0	0,42	-17,81	-7,57	1727,75
2	1,329	0	5,45	0	7,24	-17,81	-128,92	1727,75
3	0,483	0	5,45	0	2,63	-17,81	-46,85	1727,75
4	0,698	0	5,45	0	3,80	-17,81	-67,71	1727,75
5	0,634	0	5,45	0	3,45	-17,81	-61,50	1727,75
6	0,652	0	5,45	0	3,55	-17,81	-63,25	1727,75
7	0,071	0	5,45	0	0,39	-17,81	-6,89	1727,75
8	20,718	25	0,27	6,67	5,53	7,19	39,74	13,79
9	21,805	25	0,27	6,67	5,82	7,19	41,82	13,79
10	16,554	25	0,27	6,67	4,42	7,19	31,75	13,79
11	19,948	25	0,27	6,67	5,32	7,19	38,26	13,79
12	21,676	25	0,27	6,67	5,78	7,19	41,58	13,79
13	22,207	25	0,27	6,67	5,92	7,19	42,59	13,79
14	19,671	25	0,27	6,67	5,25	7,19	37,73	13,79
15	33,833	50	2,65	132,37	89,57	32,19	2883,23	2743,15
16	34,726	50	2,65	132,37	91,94	32,19	2959,33	2743,15
17	35,463	50	2,65	132,37	93,89	32,19	3022,14	2743,15
18	34,04	50	2,65	132,37	90,12	32,19	2900,87	2743,15
19	34,194	50	2,65	132,37	90,53	32,19	2913,99	2743,15
20	33,664	50	2,65	132,37	89,12	32,19	2868,83	2743,15
21	34,517	50	2,65	132,37	91,38	32,19	2941,52	2743,15
22	79,224	100	0,040	4,01	3,18	82,19	261,37	271,15
23	73,292	100	0,040	4,01	2,94	82,19	241,80	271,15
24	85,514	100	0,040	4,01	3,43	82,19	282,12	271,15
25	82,072	100	0,040	4,01	3,29	82,19	270,76	271,15
26	85,044	100	0,040	4,01	3,41	82,19	280,57	271,15
27	73,876	100	0,040	4,01	2,97	82,19	243,72	271,15
28	82,568	100	0,040	4,01	3,31	82,19	272,40	271,15
29	108,065	150	0,011	1,58	1,14	132,19	150,40	183,98
30	118,268	150	0,011	1,58	1,25	132,19	164,60	183,98
31	108,89	150	0,011	1,58	1,15	132,19	151,55	183,98
32	127,183	150	0,011	1,58	1,34	132,19	177,01	183,98
33	121,447	150	0,011	1,58	1,28	132,19	169,03	183,98
34	122,414	150	0,011	1,58	1,29	132,19	170,37	183,98
35	135,555	150	0,011	1,58	1,43	132,19	188,66	183,98
36	224,932	250	0,013	3,13	2,82	232,19	654,74	675,86
37	200,113	250	0,013	3,13	2,51	232,19	582,50	675,86
38	200,368	250	0,013	3,13	2,51	232,19	583,24	675,86
39	205,17	250	0,013	3,13	2,57	232,19	597,22	675,86
40	213,059	250	0,013	3,13	2,67	232,19	620,18	675,86
41	207,931	250	0,013	3,13	2,61	232,19	605,25	675,86
42	201,766	250	0,013	3,13	2,53	232,19	587,31	675,86
43	371,534	500	0,0047	2,35	1,75	482,19	842,14	1092,95
44	408,86	500	0,0047	2,35	1,92	482,19	926,74	1092,95
45	383,509	500	0,0047	2,35	1,80	482,19	869,28	1092,95
46	405,143	500	0,0047	2,35	1,90	482,19	918,32	1092,95
47	404,132	500	0,0047	2,35	1,90	482,19	916,03	1092,95
48	379,243	500	0,0047	2,35	1,78	482,19	859,61	1092,95
49	387,419	500	0,0047	2,35	1,82	482,19	878,14	1092,95
Soma							33845,74	46960,42
Média ponderada	12,86	17,81					$\widehat{\beta}_{w1}$	0,720729081
							$\widehat{\beta}_{w0}$	0,020396847

Tabela 1.11.2.1: Cálculo dos coeficientes de regressão.

Agora, vamos calcular as médias ponderadas.

$\overline{Y}_w=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_i Y_i }{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_i}=\dfrac{758,58}{59}=12,86~~$ e $~\overline{X}_w = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i X_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}wi}=\dfrac{1050,84}{59}=17,81$

Para ilustrar as contas, vamos tomar a observação 8, com isso obtemos:

$$w_8(X_8-\overline{X}_w)Y_8=0,27(25\sqrt{0,27}-17,81)20,718=39,74$$

e

$$w_8(X_8-\overline{X}_w)^2=0,27~(25\sqrt{27}-17,81)^2=13,79 $$

Repetimos as contas para todas as observações e obtemos:

$$\widehat{\beta}_{w1} = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i (X_i - \overline{X}_w) Y_i }{ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i (X_i - \overline{X}_w )^2 }=\dfrac{33845,74}{46960,42}=0,7207 $$

$$\widehat{\beta}_{w0} = \overline{Y}_w - \widehat{\beta}_{w1}\overline{X}_w=12,86-0,7207\times 17,81=0,02039.$$

 

Figura 1.11.1.1: Gráfico do modelos ajustado.

Da figura 1.11.1.1 notamos que as faixas de maior concentração apresentam maior variabilidade que as faixas iniciais de concentração.

 

Exemplo 1.11.1.2

Neste exemplo aplicamos o modelo de regressão ponderada para peso $w_i = k\times \frac{1/s_i^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^k 1/s_i^2}$ em que $s_i$ é a estimativa do desvio padrão no nível $i$, $i=1,...,k$ e $k=8.$ Aqui utilizamos a coluna ponto, pois foi utilizado concentrações reais, o que são muito utilizados na prática.  Na tabela a seguir, temos os valores da Concentração e da Absorbância do analito e alguns cálculos que serão utilizados para a estimativa dos parâmetros.

Ponto	Concentração	Área
A	0,020253	0,00154
A	0,020713	0,00152
A	0,020289	0,00152
B	0,11507	0,00617
B	0,11644	0,00608
B	0,1093	0,00608
C	0,23444	0,01234
C	0,22935	0,01215
C	0,22946	0,01215
D	0,35652	0,0185
D	0,35304	0,01823
D	0,34955	0,01823
E	0,47907	0,02467
E	0,48037	0,02431
E	0,47239	0,02431
F	0,60912	0,03084
F	0,59584	0,03038
F	0,58696	0,03038
G	0,73821	0,03701
G	0,69549	0,03646
G	0,71271	0,03646
H	0,80135	0,04009
H	0,76376	0,0395
H	0,77783	0,0395

Tabela 1.11.2.2: Validação de regressão ponderada.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

A seguir descrevemos os passos da validação

• Estimativas dos Parâmetros:

Para calcularmos as estimativas dos parâmetros do modelo de regressão ponderada, consideramos os cálculos:

$\overline{Y}_w=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}w_i Y_i }{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}w_i}=\dfrac{0,781927533}{24}=0,002134747$

$\overline{X}_w = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} w_i X_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}wi}=\dfrac{0,051233925}{24}=1,165731963$

$\widehat{\beta}_{w1} = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} w_i (X_i - \overline{X}_w) Y_i }{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} w_i (X_i - \overline{X}_w )^2 }=\dfrac{0,004434393}{0,088253868}=0,050245873 $

$\widehat{\beta}_{w0} = \overline{Y}_w - \widehat{\beta}_{w1}\overline{X}_w=0,002134747-0,050245873\times 1,165731963 =0,000497721.$

Portanto, o modelo ponderado ajustado é

$$\mbox{Absorbância} = 0,000497721 + 0,050245873*\mbox{Concentração}$$

Comprovamos estes cálculos através da tabela a seguir:

Ponto	Concentração	Área	$\frac{k\frac{1}{s^2_i}}{\displaystyle\sum^p_{i=1}\frac{1}{s^2_i}}$	$w_i X_i$	$w_i Y_i$	$w^{1/2}_i X_i$	$w^{1/2}_i Y_i$	$X_i-\overline{X}_w$	$w^{1/2}_i(X_i-\overline{X}_w)$	$w_i(X_i-\overline{X}_w)Y_i$	$w_i(X_i-\overline{X}_w)^2$
A	0,020253	0,00154	7,45297	0,150944916	0,011477567	0,055290934	0,004204219	-0,012327314	-0,033653715	-0,000141488	0,001132573
A	0,020713	0,00152	7,45297	0,154373281	0,011328508	0,05654674	0,004149618	-0,011867314	-0,03239791	-0,000134439	0,001049625
A	0,020289	0,00152	7,45297	0,151213223	0,011328508	0,055389214	0,004149618	-0,012291314	-0,033555435	-0,000139242	0,001125967
B	0,11507	0,00617	0,36805	0,042351238	0,002270854	0,069809433	0,003743149	0,082489686	0,050043958	0,000187322	0,002504398
B	0,11644	0,00608	0,36805	0,042855463	0,002237729	0,07064057	0,003688549	0,083859686	0,050875094	0,000187655	0,002588275
B	0,1093	0,00608	0,36805	0,040227603	0,002237729	0,066308951	0,003688549	0,076719686	0,046543476	0,000171678	0,002166295
C	0,23444	0,01234	0,08258	0,01936037	0,001019054	0,067370951	0,003546142	0,201859686	0,058008356	0,000205706	0,003364969
C	0,22935	0,01215	0,08258	0,01894003	0,001003363	0,065908239	0,003491542	0,196769686	0,056545644	0,000197431	0,00319741
C	0,22946	0,01215	0,08258	0,018949114	0,001003363	0,06593985	0,003491542	0,196879686	0,056577255	0,000197542	0,003200986
D	0,35652	0,0185	0,04089	0,014579592	0,000756542	0,072096576	0,003741127	0,323939686	0,065508084	0,000245074	0,004291309
D	0,35304	0,01823	0,04089	0,014437281	0,000745501	0,07139284	0,003686527	0,320459686	0,064804348	0,000238903	0,004199603
D	0,34955	0,01823	0,04089	0,01429456	0,000745501	0,070687081	0,003686527	0,316969686	0,064098589	0,000236301	0,004108629
E	0,47907	0,02467	0,02300	0,011020035	0,000567483	0,072659262	0,003741633	0,446489686	0,067717893	0,000253375	0,004585713
E	0,48037	0,02431	0,02300	0,011049939	0,000559202	0,072856429	0,003687032	0,447789686	0,06791506	0,000250405	0,004612455
E	0,47239	0,02431	0,02300	0,010866375	0,000559202	0,071646124	0,003687032	0,439809686	0,066704755	0,000245943	0,004449524
F	0,60912	0,03084	0,01409	0,008581757	0,000434498	0,072300207	0,00366059	0,576539686	0,068433049	0,000250505	0,004683082
F	0,59584	0,03038	0,01409	0,008394658	0,000428017	0,070723922	0,003605989	0,563259686	0,066856764	0,000241085	0,004469827
F	0,58696	0,03038	0,01409	0,00826955	0,000428017	0,0696699	0,003605989	0,554379686	0,065802742	0,000237284	0,004330001
G	0,73821	0,03701	0,00986	0,007275179	0,00036474	0,073284446	0,0036741	0,705629686	0,070050095	0,000257371	0,004907016
G	0,69549	0,03646	0,00986	0,006854167	0,000359319	0,069043497	0,0036195	0,662909686	0,065809146	0,000238196	0,004330844
G	0,71271	0,03646	0,00986	0,007023873	0,000359319	0,070752981	0,0036195	0,680129686	0,06751863	0,000244384	0,004558765
H	0,80135	0,04009	0,00856	0,006862895	0,000343337	0,074159159	0,00371004	0,768769686	0,071144086	0,000263947	0,005061481
H	0,76376	0,0395	0,00856	0,006540968	0,000338285	0,070680476	0,00365544	0,731179686	0,067665403	0,000247347	0,004578607
H	0,77783	0,0395	0,00856	0,006661466	0,000338285	0,000122521	0,00365544	0,745249686	0,06896748	0,000252106	0,004756513
Soma			24	0,781927533	0,051233925	1,575280303	0,089189395			0,004434393	0,088253868
Média	0,411146875	0,021184167		0,032580314	0,002134747	30,74682062	1,740826908
										$\widehat{\beta}_{1w}$	0,050245873
										$\widehat{\beta}_{0w}$	0,000497721

Tabela 1.11.2.3: Validação dos cálculos dos coeficientes de regressão para o exemplo 1.11.2.2.

A seguir apresentamos os resultados obtidos pelo Action Stat.

 

1.11.2.1 Resíduos

 

A diferença entre o valor observado $Y_{i}$ e o correspondente valor ajustado $\widehat{Y}_{i}$, é chamada de resíduo e é denotada por

$$e_{i}=Y_{i}-\widehat{Y}_{i}=Y_{i}-(\widehat\beta_{w0}+\widehat\beta_{w1}x_{i})$$

Essa medida é importante já que por meio dela verificamos o ajuste do modelo.

Algumas propriedades do ajuste de mínimos quadrados 

• A soma dos resíduos ponderados é sempre nula.

$$\sum^n_{i=1}\eta_i=\sum\limits_{i=1}^{n}(w_i)^{1/2}e_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}(w_i)(Y_{i}-\widehat{Y}_{i})=0;$$

De fato,

$$\sum^n_{i=1}\eta_i=\sum^n_{i=1}w_i(Y_i-\widehat{Y}_i)=\sum^n_{i=1}w_i\left\{Y_i-\widehat{\beta}_{w0}-\widehat{\beta}_{w1}x_i\right\}=$$

$$=\sum^n_{i=1}w_i\left\{Y_i-\overline{Y}_{w}+\widehat{\beta}_{w1}\overline{X}_{w}-\widehat{\beta}_{w1}x_i\right\}=$$

$$=\sum^n_{i=1}w_i\left\{Y_i-\frac{\displaystyle\sum^n_{i=1}w_i Y_i}{\displaystyle\sum^n_{i=1}w_i}-\widehat{\beta}_{w1}\left(x_i-\frac{\displaystyle\sum^n_{i=1}w_i x_i}{\displaystyle\sum^n_{i=1}w_i}\right)\right\}=$$

$$=\sum^n_{i=1}w_iY_i-\sum^n_{i=1}w_i\frac{\displaystyle\sum^n_{i=1}w_i Y_i}{\displaystyle\sum^n_{i=1}w_i}-\widehat{\beta}_{w1}\left(\sum^n_{i=1}w_ix_i-\sum^n_{i=1}w_i\frac{\displaystyle\sum^n_{i=1}w_i x_i}{\displaystyle\sum^n_{i=1}w_i}\right)=$$

$$=\sum^n_{i=1}w_iY_i-\sum^n_{i=1}w_iY_i-\widehat{\beta}_{w1}\left(\sum^n_{i=1}w_ix_i-\sum^n_{i=1}w_ix_i\right)=0$$

• A reta de regressão de mínimos quadrados passa pelo ponto $(\overline{X},\overline{Y})$. De fato,

$$Y_i=\beta_{w0}+\beta_{w1}X_i+\varepsilon_i=\beta_{w0}+\beta_{w1}(X_i-\overline{X})+\beta_{w1}\overline{X}+\varepsilon_i=$$

$$=(\beta_{w0}+\beta_{w1}\overline{X})+\beta_{w1}(X_i-\overline{X})+\varepsilon_i=\beta_{w0}^{*}+\beta_{w1}(X_i-\overline{X})+\varepsilon_i,$$

com $\beta_{w0}^{*}=\beta_{w0}+\beta_{w1}\overline{X}$. Assim, a reta de regressão ajustada é dada por

$$\widehat{Y}=\widehat{\beta}_{w0}^{*}+\widehat{\beta}_{w1}(X_i-\overline{X})=\widehat{\beta}_{w0}+\widehat{\beta}_{w1}\overline{X}+\widehat{\beta}_{w1}(X_i-\overline{X})=$$

$$=(\overline{Y}-\widehat{\beta}_{w1}\overline{X})+\widehat{\beta}_{w1}\overline{X}+\widehat{\beta}_{w1}(X_i-\overline{X})=\overline{Y}+\widehat{\beta}_{w1}(X_i-\overline{X}).$$

Logo, $$\widehat{Y}=\overline{Y}+\widehat{\beta}_{w1}(\overline{X}-\overline{X})=\overline{Y}$$

e portanto, temos que a reta ajustada passa por $(\overline{X},\overline{Y})$.

• A soma dos resíduos ponderados pelo correspondente valor da variável regressora é sempre nula. 

$$\sum\limits_{i=1}^{n}(w_i)^{1/2} x_{i}e_{i}=0;$$

• A soma dos resíduos ponderados pelo correspondente valor ajustado é sempre zero.

$$\sum\limits_{i=1}^{n}(w_i) \widehat{Y}_{i}e_{i}=0.$$

Área	Concentração	$w_i$	$w_i\times X_i$	$w_i\times Y_i$	$\widehat{Y}_i$	$e_i$	$w_i\times e_i$	$w_i\times \widehat{Y}_i\times e_i$
0,078	0	5,446474769	0	0,424825	0,020397	0,057603	0,313734574	0,00639917
1,329	0	5,446474769	0	7,238365	0,020397	1,308603	7,12727451	0,145373333
0,483	0	5,446474769	0	2,630647	0,020397	0,462603	2,519556855	0,051390806
0,698	0	5,446474769	0	3,801639	0,020397	0,677603	3,690548931	0,075275254
0,634	0	5,446474769	0	3,453065	0,020397	0,613603	3,341974545	0,068165465
0,652	0	5,446474769	0	3,551102	0,020397	0,631603	3,440011091	0,070165093
0,071	0	5,446474769	0	0,3867	0,020397	0,050603	0,27560925	0,005621537
20,718	25	0,266796415	6,66991	5,527488	18,03862	2,679376	0,714848045	12,89487474
21,805	25	0,266796415	6,66991	5,817496	18,03862	3,766376	1,004855748	18,12621451
16,554	25	0,266796415	6,66991	4,416548	18,03862	-1,48462	-0,39609223	-7,14495857
19,948	25	0,266796415	6,66991	5,322055	18,03862	1,909376	0,509414805	9,189141874
21,676	25	0,266796415	6,66991	5,783079	18,03862	3,637376	0,97043901	17,50538394
22,207	25	0,266796415	6,66991	5,924748	18,03862	4,168376	1,112107907	20,06089582
19,671	25	0,266796415	6,66991	5,248152	18,03862	1,632376	0,435512198	7,856040571
33,833	50	2,647451113	132,3726	89,57121	36,05685	-2,22385	-5,88753479	-212,28596
34,726	50	2,647451113	132,3726	91,93539	36,05685	-1,33085	-3,52336095	-127,041298
35,463	50	2,647451113	132,3726	93,88656	36,05685	-0,59385	-1,57218947	-56,6882004
34,04	50	2,647451113	132,3726	90,11924	36,05685	-2,01685	-5,33951241	-192,525999
34,194	50	2,647451113	132,3726	90,52694	36,05685	-1,86285	-4,93180494	-177,825352
33,664	50	2,647451113	132,3726	89,12379	36,05685	-2,39285	-6,33495403	-228,418489
34,517	50	2,647451113	132,3726	91,38207	36,05685	-1,53985	-4,07667823	-146,992176
79,224	100	0,040140331	4,014033	3,180078	72,0933	7,130696	0,286228509	20,6351588
73,292	100	0,040140331	4,014033	2,941965	72,0933	1,198696	0,048116066	3,468846133
85,514	100	0,040140331	4,014033	3,43256	72,0933	13,4207	0,53871119	38,83746944
82,072	100	0,040140331	4,014033	3,294397	72,0933	9,978696	0,400548171	28,87684095
85,044	100	0,040140331	4,014033	3,413694	72,0933	12,9507	0,519845235	37,47736038
73,876	100	0,040140331	4,014033	2,965407	72,0933	1,782696	0,071558019	5,158853989
82,568	100	0,040140331	4,014033	3,314307	72,0933	10,4747	0,420457775	30,31219009
108,065	150	0,010528595	1,579289	1,137773	108,1298	-0,06476	-0,0006818	-0,0737231
118,268	150	0,010528595	1,579289	1,245196	108,1298	10,13824	0,106741449	11,54192695
108,89	150	0,010528595	1,579289	1,146459	108,1298	0,760243	0,008004288	0,865501761
127,183	150	0,010528595	1,579289	1,339058	108,1298	19,05324	0,20060387	21,69124775
121,447	150	0,010528595	1,579289	1,278666	108,1298	13,31724	0,140211851	15,16107342
122,414	150	0,010528595	1,579289	1,288847	108,1298	14,28424	0,150393002	16,26195881
135,555	150	0,010528595	1,579289	1,427204	108,1298	27,42524	0,288749264	31,22238783
224,932	250	0,012536482	3,134121	2,819856	180,2027	44,72934	0,560748529	101,0483789
200,113	250	0,012536482	3,134121	2,508713	180,2027	19,91034	0,249605574	44,9795894
200,368	250	0,012536482	3,134121	2,51191	180,2027	20,16534	0,252802377	45,55566182
205,17	250	0,012536482	3,134121	2,57211	180,2027	24,96734	0,313002565	56,40389611
213,059	250	0,012536482	3,134121	2,67101	180,2027	32,85634	0,411902874	74,22599531
207,931	250	0,012536482	3,134121	2,606723	180,2027	27,72834	0,347615793	62,64129197
201,766	250	0,012536482	3,134121	2,529436	180,2027	21,56334	0,270328379	48,71389413
371,534	500	0,00470075	2,350375	1,746488	360,3849	11,14907	0,052408983	18,88740762
408,86	500	0,00470075	2,350375	1,921949	360,3849	48,47507	0,227869174	82,1206165
383,509	500	0,00470075	2,350375	1,80278	360,3849	23,12407	0,108700463	39,17400882
405,143	500	0,00470075	2,350375	1,904476	360,3849	44,75807	0,210396486	75,82372325
404,132	500	0,00470075	2,350375	1,899723	360,3849	43,74707	0,205644028	74,11100895
379,243	500	0,00470075	2,350375	1,782726	360,3849	18,85807	0,088647064	31,94706596
387,419	500	0,00470075	2,350375	1,82116	360,3849	27,03407	0,127080395	45,7978594
Soma		59,00039919	1050,842	758,5758			5,84061E-13	2,90896E-11
Média			17,81076	12,85713			1,19196E-14

Tabela 1.11.2.4: Exemplo de cálculo dos resíduos ponderados.

 

Exemplo 1.11.1.3

 

Voltando o exemplo 1.11.2, aplicamos os mesmos conjunto de dados para calcularmos os resíduos ponderados. Desta forma, calculamos os resíduos ponderados para primeira observação obtidas da tabela 1, os demais são calculados de forma análoga.

$$e_{1}=Y_1-\widehat{Y_1}= Y_1-\widehat{\beta_{0w}}-\widehat{\beta_{1w}}x_1=0,00154-0,000497721-0,050245873\times 0,020253=2,46498\times 10^{-5}$$

$$e_{1w}=w^{1/2}_1\times e_1= \sqrt{7,453}\times 2,46498\times 10^{-5}=6,72942\times 10^{-5}$$

Ponto	Concentração	Área	$\widehat{Y}_i$	$e_i$	$w_i^{1/2}e_i$
A	0,020253	0,00154	0,001515	2,46E-05	6,72942E-05
A	0,020713	0,00152	0,001538	-1,8E-05	-5,04051E-05
A	0,020289	0,00152	0,001517	2,84E-06	7,75575E-06
B	0,11507	0,00617	0,00628	-0,00011	-6,64383E-05
B	0,11644	0,00608	0,006348	-0,00027	-0,0001628
B	0,1093	0,00608	0,00599	9,04E-05	5,48462E-05
C	0,23444	0,01234	0,012277	6,26E-05	1,8E-05
C	0,22935	0,01215	0,012022	0,000128	3,68949E-05
C	0,22946	0,01215	0,012027	0,000123	3,53066E-05
D	0,35652	0,0185	0,018411	8,86E-05	1,79212E-05
D	0,35304	0,01823	0,018237	-6,5E-06	-1,31923E-06
D	0,34955	0,01823	0,018061	0,000169	3,41422E-05
E	0,47907	0,02467	0,024569	0,000101	1,53167E-05
E	0,48037	0,02431	0,024634	-0,00032	-4,91904E-05
E	0,47239	0,02431	0,024233	7,66E-05	1,16225E-05
F	0,60912	0,03084	0,031103	-0,00026	-3,12749E-05
F	0,59584	0,03038	0,030436	-5,6E-05	-6,6733E-06
F	0,58696	0,03038	0,02999	0,00039	4,6287E-05
G	0,73821	0,03701	0,03759	-0,00058	-5,75513E-05
G	0,69549	0,03646	0,035443	0,001017	0,000100939
G	0,71271	0,03646	0,036308	0,000152	1,50442E-05
H	0,80135	0,04009	0,040762	-0,00067	-6,2212E-05
H	0,76376	0,0395	0,038874	0,000626	5,79772E-05
H	0,77783	0,0395	0,03958	-8E-05	-7,44675E-06
	$\widehat{\beta}_{1w}$	0,050246
	$\widehat{\beta}_{0w}$	0,000498

Tabela 1.11.2.5: Validação do cálculo dos resíduos ponderados para o exemplo 1.11.2.2.

A seguir apresentamos os resultados obtidos pelo Action Stat.

 

1.11.2.2. Estimador da variância residual

 

Assim como os parâmetros $\beta_{w0}$ e $\beta_{w1}$, a variância $\sigma^2_i$ dos termos do erro $\varepsilon_i$ precisa ser estimada. Isto é necessário já que inferências a respeito da função de regressão e da predição de Y requerem uma estimativa de $\sigma^2_i$. Consideremos os resíduos $\varepsilon_{i}$. Desta forma, definimos a Soma de Quadrados dos Resíduos (Erros),

$$SQE = \sum\limits_{i=1}^n w_i e_i^{2} =\sum\limits_{i=1}^n w_i(Y_i - \widehat{Y}_i)^{2}=\sum\limits_{i=1}^n w_i(Y_i - (\widehat{\beta}_{w0}+\widehat{\beta}_{w1}X_i))^{2}.$$

Não utilizamos a soma dos resíduos uma vez que em (i),

$$\sum\limits_{i=1}^{n} w_i\widehat{\varepsilon}_{i}=0.$$

Na seção "Propriedades dos Estimadores" vamos demonstrar que SQE é um estimador não viciado de $\sigma^2$, isto é, 

$$\mathbb{E}(SQE)= \sigma^2_w(n-2).$$

Desta forma, um estimador não viciado para $\sigma^2_w$ é dado por

$$\widehat{\sigma}^2_w=QME_w=\dfrac{SQE}{n-2},$$

em que QME é o Quadrado Médio dos Erros (Resíduos).

Área	Concentração	1/s²	$w_i\times e^2_i$
0,078	0	5,446475	0,018072
1,329	0	5,446475	9,326774
0,483	0	5,446475	1,165555
0,698	0	5,446475	2,500728
0,634	0	5,446475	2,050646
0,652	0	5,446475	2,172722
0,071	0	5,446475	0,013947
20,718	25	0,266796	1,915347
21,805	25	0,266796	3,784665
16,554	25	0,266796	0,588048
19,948	25	0,266796	0,972665
21,676	25	0,266796	3,529852
22,207	25	0,266796	4,635684
19,671	25	0,266796	0,71092
33,833	50	2,647451	13,093
34,726	50	2,647451	4,689066
35,463	50	2,647451	0,933645
34,04	50	2,647451	10,769
34,194	50	2,647451	9,187214
33,664	50	2,647451	15,1586
34,517	50	2,647451	6,277474
79,224	100	0,04014	2,041009
73,292	100	0,04014	0,057677
85,514	100	0,04014	7,229879
82,072	100	0,04014	3,996949
85,044	100	0,04014	6,732358
73,876	100	0,04014	0,127566
82,568	100	0,04014	4,404167
108,065	150	0,010529	4,42E-05
118,268	150	0,010529	1,082171
108,89	150	0,010529	0,006085
127,183	150	0,010529	3,822154
121,447	150	0,010529	1,867235
122,414	150	0,010529	2,14825
135,555	150	0,010529	7,919019
224,932	250	0,012536	25,08191
200,113	250	0,012536	4,969731
200,368	250	0,012536	5,097845
205,17	250	0,012536	7,81484
213,059	250	0,012536	13,53362
207,931	250	0,012536	9,638807
201,766	250	0,012536	5,829182
371,534	500	0,004701	0,584311
408,86	500	0,004701	11,04597
383,509	500	0,004701	2,513597
405,143	500	0,004701	9,41694
404,132	500	0,004701	8,996323
379,243	500	0,004701	1,671712
387,419	500	0,004701	3,4355
Soma		59,0004	244,5585
$\sqrt{\text{QME}_w}$			2,28109

 A seguir apresentamos os resultados obtidos pelo Action Stat.

 

Exemplo 1.11.1.4

 

Voltando o exemplo 1.11.1.2, aplicamos os mesmos conjunto de dados para calcularmos o desvio-padrão dos resíduos.

Com os resíduos ponderados da tabela 1.11.2.5 calculamos a soma de quadrado dos resíduos.

$$QME = \frac{1}{n-2}\sum\limits_{i=1}^n w_i \varepsilon_i^{2} =\frac{1}{n-2}\sum\limits_{i=1}^n w_i(Y_i - \widehat{Y}_i)^{2}=3,29293\times 10^{-9} $$

O desvio-padrão dos resíduos são calculados da seguinte forma:

$$\widehat{\sigma}=\sqrt{QME} =\sqrt{3,29293\times 10^{-9}}=5,73840\times 10^{-5}  $$
 

SQEw	7,24444E-08
n-p	22
QMEw	3,29293E-09
$\widehat{\sigma}=\sqrt{\text{QME}_w}$	5,7384E-05

A seguir apresentamos os resultados obtidos pelo Action Stat.