1.11.5 - Mínimos quadrados ponderados por meio de transformações

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O software Action Stat, assim como diversos software estatísticos disponíveis, permitem ao usuário especificar os pesos, não só o usado nas seções anteriores, isto é, o peso $ 1/s^2_i. $ Quando esta opção não estiver disponível, os estimadores de mínimos quadrados ponderados podem ser obtidos através da aplicação de mínimos quadrados não ponderados em observações transformadas especialmente.

O método dos mínimos quadrados ponderados é equivalente ao dos mínimos quadrados ordinários de dados transformadas especialmente, para ilustrar isto consideramos o caso em que a variância dos erros são proporcionais à variável explicativa ao quadrado, ou seja, $ \sigma^2_i=k X^2_i $ em que $ w_i=1/X^2_i. $

$$Q_w= \sum^n_{i=1}w_i(Y_i-\beta_0-\beta_1 X_i)^2=\sum^n_{i=1}\dfrac{1}{X^2_i}(Y_i-\beta_0-\beta_1 X_i)^2$$

$$=\sum^n_{i=1}(\dfrac{Y_i}{X^2_i}-\dfrac{\beta_0}{X^2_i}-\beta_1)^2\quad (1.11.4.1)$$

Denotamos por

$$Y^*_i=\dfrac{Y_i}{X_i};\quad \beta^*_0=\beta_1;\quad X^*_i=\dfrac{1}{X_i}\quad \text{e}\quad \beta^*_1=\beta_0$$

E substituímos em (1.11.4.1) e obtemos

$$Q_w= \sum^n_{i=1}w_i(Y^*_i-\beta^*_0-\beta^*_1 X^*_i)^2$$

que é o critério de mínimos quadrados não ponderada para as observações $ X^*_i $ e $ Y^*_i $ transformadas.

A variância dos resíduos (erro) para o modelo com as variáveis transformadas, agora é constante. Isto pode ser visto através da divisão dos termos no modelo original:

$$Y_i=\beta_0+\beta_i X_i+\varepsilon_i,\quad i=1,\dots,n.$$

por $ \sqrt{w_i}=1/X_i. $

$$\dfrac{Y_i}{X_i}=\dfrac{\beta_0}{X_i}+\beta_i +\dfrac{\varepsilon_i}{X_i}$$

Ao usarmos a mesma notação obtemos

$$Y^*_i=\beta^*_0+\beta^*_i X^*_i+\varepsilon^*_i\quad (1.11.4.2)$$

Com isso, obtemos que $ \varepsilon^*_i=\varepsilon_i/X_i $

Portanto, (1.11.4.2) é o modelo de regressão linear simples usando a transformação de variáveis. A variância dos resíduos agora são constantes, pois:

$$\text{Var}(\varepsilon^*_i)=\text{Var}\left(\dfrac{\varepsilon_i}{X_i}\right)=\dfrac{1}{X^2_i}\text{Var}\left(\varepsilon_i\right)= \dfrac{1}{X^2_i}(k X^2_i)=k$$

O softaware Action disponibiliza diveros pesos para regressão linear simples ponderada, os principais pesos são:

$$w_i=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{X_i},\quad X_i\neq 0~\text{para todo}~ i\\ \\ \dfrac{1}{X^2_i},\quad X^2_i\neq 0~\text{para todo}~ i\\ \\ \dfrac{1}{Y_i},\quad Y_i\neq 0~\text{para todo}~ i\\ \\ \dfrac{1}{Y^2_i},\quad Y^2_i\neq 0~\text{para todo}~ i\\ \\ \dfrac{1}{s^2_i},\quad s^2_i\neq 0~\text{para todo}~ i\\ \\ \dfrac{1/s^2_i}{n\displaystyle\sum^n_{j=1}\frac{1}{s^2_i}}\quad s^2_i\neq 0 ~\text{para todo}~i\\ \end{array}\right.$$

 

Existem estratégias para escolha destes pesos, por exemplo, no artigo de Almeida et al [15], cita um método para curvas de calibração. Neste artigo, o melhor peso é escolhido segundo o cálculo da porcentagem do erro relativo (%RE), em que compara a concentração encontrada através do ajuste do modelo de regressão ponderado ($ C_{adj} $) versus  a concentração nominal ($ C_{nom} $). A porcentagem do erro relativo é calculado da seguinte forma:

$$\%RE= \dfrac{C_{adj}-C_{nom}}{C_{nom}}\times 100\%$$

Vale lembrar que na estatística este é o estudo de viés ou vício da concentração ajustada versus a concentração empírica do modelo.

A avaliação do melhor modelo é feito através do gráfico da porcentagem de erro relativo versus concentração, em que %RE devem estar distribuídos aleatoriamente em torno do zero e por meio do cálculo da soma da porcentagem de erro relativo (%RE). Esta soma é definida como a soma dos valores absolutos da porcentagem de erro relativo e a avaliação desta medida é feita através da menor dentre todos os modelos testados.

A seguir apresentamos um resumo da estratégia adotada para tratarmos a falha da suposição de homocedasticidade do modelo de regressão linear simples.

 

Figura 1.11.4.1: Fluxograma para modelo heterocedástico.

Concluímos que existem diversas estratégias para ponderarmos o modelo de regressão linear simples para tratarmos a heterocedasticidade do modelo e o software Action  possibilita a escolha destas e inclusive deixa livre a opção do usuário montar o peso que melhor se adeque a aplicação pretendida.

Análise de Regressão

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