1.8 Modelo de Regressão sem Intercepto

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Suponha que dispomos de $ n $ pares de observações $ (x_i, y_i), $ $ i=1,\ldots,n. $ O modelo de regressão linear simples, sem intercepto, é definido por

$ \begin{equation*}Y_i =\beta_1 x_i + \varepsilon_i, \quad i=1,\ldots, n.\end{equation*} $

Neste caso, a função de mínimos quadrados é

$$L=\sum_{i=1}^n\varepsilon^2_i=\sum_{i=1}^n(Y_i-\beta_1x_i)^2,$$

que derivando em relação a $ \beta_1 $ resulta em

$$\dfrac{\partial L(\beta_1)}{\partial \beta_1}=2\sum_{i=1}^n(Y_i-\beta_1 x_i)(-x_i).$$

Substituindo $ \beta_1 $ por $ \widehat\beta_1 $ e igualando a zero, obtemos

$$\sum_{i=1}^n(Y_i -\widehat{\beta}_1x_i)(x_i)=\sum_{i=1}^n x_iY_i -\widehat{\beta}_1\sum_{i=1}^n x_i^2=0,$$

que resolvendo em relação a $ \widehat{\beta}_1 $ resulta em

$$\widehat{\beta}_1 = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n x_i Y_i}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}.$$

Podemos mostrar que

$$E(\widehat{\beta}_1)=\beta_1 \mbox{\ e\ que}$$

$$\mbox{Var}(\widehat{\beta}_1)=\dfrac{\sigma^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}.$$

Sendo $ \varepsilon_i \ensuremath{\stackrel{\mbox{\footnotesize iid}}{\sim}} N(0, \sigma^2), $ temos que

i) $ \dfrac{\widehat{\beta}_1 - \beta_1}{\sqrt{\dfrac{\sigma^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}} \sim N(0, 1); $

ii) Um estimador não viciado para $ \sigma^2 $ é dado por

$$\widehat{\sigma}^2 = \frac{SQE}{n - 1};$$

iii) $ \dfrac{(n-1)\widehat{\sigma}^2}{\sigma^2} \sim \chi_{(n-1)}^2; $

iv)  $ T = \dfrac{\widehat{\beta}_1 - \beta_1}{\sqrt{\dfrac{\widehat{\sigma}^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}} \sim t_{(n-1)}. $

Um intervalo de $ 100(1-\alpha)\% $ de confiança para $ \beta_1 $ é dado por

$$\left[\widehat{\beta}_1 - t_{\left(\dfrac{\alpha}{2}, n - 1\right)} \sqrt{\dfrac{\widehat{\sigma}^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}~~;~~\widehat{\beta}_1 + t_{\left(\dfrac{\alpha}{2}, n - 1\right)}\sqrt{\dfrac{\widehat{\sigma}^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}\right].$$

Um intervalo de $ 100(1-\alpha)\% $ de confiança para a resposta média em $ X=x_0 $ é dado por

$$\left[\widehat{\mu}_{Y\mid x_0}-t_{\left(\dfrac{\alpha}{2},n-1\right)}\sqrt{\dfrac{\widehat{\sigma}^2 x_0^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}~~;~~\widehat{\mu}_{Y\mid x_0} + t_{\left(\dfrac{\alpha}{2},n-1\right)} \sqrt{\dfrac{\widehat{\sigma}^2 x_0^2}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}\right],$$

em que $ \widehat{\mu}_{Y\mid x_0} = \widehat{\beta}_1x_0. $

Um intervalo de $ 100(1-\alpha)\% $ de confiança para a predição de $ Y_h $ dado $ X=x_h $ é

$$\left[\widehat{Y}_{h}-t_{\left(\dfrac{\alpha}{2},n-1\right)}\sqrt{\widehat{\sigma}^2+\dfrac{\widehat{\sigma}^2 x_0}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}~~;~~\widehat{Y}_{h}+t_{\left(\dfrac{\alpha}{2},n-1\right)}\sqrt{\widehat{\sigma}^2+\dfrac{\widehat{\sigma}^2 x_0}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}\right],$$

em que $ \widehat{Y}_{h} = \widehat{\beta}_1 x_h. $

Exemplo 1.8.1

Voltando à "Motivação 1", em que queríamos determinar os valores de temperatura em $ ^{\circ}\mathrm{C} $ que otimizam a dureza do material, calculemos a estimativa de $ \beta_1 $ considerando o modelo sem intercepto.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Temos que a estimativa de $ \beta_1 $ do modelo sem intercepto é

$$\widehat{\beta}_1 = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n x_i Y_i}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}=\dfrac{588125}{1035750}=0,567.$$

Usando o Software Action temos os seguintes resultados:

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Análise de Regressão

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